概率论中常见分布的数学期望、方差及其特征函数推导——连续性随机变量

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解决方案1：

概率论中常见分布的数学期望、方差及其特征函数推导——连续性随机变量1. 正态分布

概率密度函数：$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}, -infty leq x leq +infty$

数学期望：$E(X) = mu$

方差：$D(X) = sigma^2$

特征函数：$varphi(t) = e^{itmu - frac{1}{2}sigma^2t^2}$

概率密度函数：$f(x) = frac{1}{b-a}, a leq x leq b$

数学期望：$E(X) = frac{a+b}{2}$

方差：$D(X) = frac{(b-a)^2}{12}$

特征函数：$varphi(t) = frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}$

概率密度函数：$f(x) = lambda e^{-lambda x}, x geq 0$

数学期望：$E(X) = frac{1}{lambda}$

方差：$D(X) = frac{1}{lambda^2}$

特征函数：$varphi(t) = (1 - frac{it}{lambda})^{-1}$

概率密度函数：$f(x) = frac{lambda^alpha}{Gamma(alpha)}x^{alpha-1}e^{-lambda x}, x geq 0$

数学期望：$E(X) = frac{alpha}{lambda}$

方差：$D(X) = frac{alpha}{lambda^2}$

特征函数：当 $alpha = n$（正整数）时，由 $n$ 个同分布的指数分布随机变量之和得到，特征函数为 $varphi(t) = (1 - frac{it}{lambda})^{-n}$。对于任意正实数 $alpha$，特征函数为 $varphi(t) = (1 - frac{it}{lambda})^{-alpha}$。

概率密度函数：$f(x) = frac{Gamma(a+b)}{Gamma(a) Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} = frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}, 0 leq x leq 1$

数学期望：$E(X) = frac{a}{a+b}$

方差：$D(X) = frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$

特征函数：推导复杂且不常用，从略。

定义：卡方分布是伽玛分布的特例，$chi^2(n) = Ga(frac{n}{2}, frac{1}{2})$。

数学期望：$E(X) = n$

方差：$D(X) = 2n$

特征函数：$varphi(t) = (1 - 2it)^{-frac{n}{2}}$

数学期望与方差：不存在。

特征函数：存在，但具体形式在此省略，因为它不直接由常见的数学期望和方差推导得出。

以上是对概率论中常见连续性随机变量的数学期望、方差及其特征函数的详细推导。