T分布与T检验（笔记）

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解决方案1：

T分布公式

推导过程如下：T分布源于对样本均值与总体均值之差的标准化处理，其公式为T = [公式] ~t（n），其中n为自由度。

中心步骤是将样本均值与总体均值之差除以样本标准差与样本大小的平方根的乘积。此操作使得样本均值与总体均值之差的标准化，从而满足T分布的性质。

进一步推导，我们有：T = [公式] [公式] = [公式] s [公式] （其中s为样本标准差，[公式]为样本均值）。为确保标准化后的量满足正态分布，对s进行除法操作。

接着，考虑到s与[公式]的关联，引入（n-1）[公式] [公式] ~ [公式] (n-1)的公式，从而将问题转化为正态分布与卡方分布的关系。

具体地，设x ~ (0,1)为正态分布，y ~[公式] (n) 为卡方分布。通过上述步骤，我们可以将标准化后的T值转化为满足卡方分布的量。

值得注意的是，当样本量超过30时，中心极限定理开始发挥作用，使得样本均值的分布趋向于正态分布，这为T检验提供了理论基础。

T检验主要应用于评估一个样本的平均数与已知总体平均数之间的差异是否具有显著性。通过比较T统计量与T分布的临界值，我们可以判断这种差异是否为随机变异所致，还是具有统计学意义。