数学建模（3.9）多目标规划
理解
多目标规划跟一般的规划问题有所不同，多目标规划通常是要求学生做出满足各个优先度要求的最佳抉择。衡量出尽量满足所有需求而得出使得目标最优（如收益最大）的方案。
由于多目标规划跟线性规划完全不同，因此在此需要使用全新的解法。
正负偏差
为了将约束条件转换为等式，使得转换变成对偏差量的求解。在此引入d1,d1_，分别代表正负偏差变量。
d1=max{ fn-dn , 0 }表示决策值超过目标值的部分
d1_=-min{ f-dn , 0 }表示决策值未达到目标值的部分
前面的分段函数，是为了保证正负偏差变量不会出现负数情况
显然决策值只会要么多余目标值要么少于目标值，即b1,b1_中必定有一个为0
刚性约束和柔性约束
顾名思义，一定要满足的约束条件为刚性约束，尽量满足的约束条件为柔性约束条件。
其中刚性约束条件也可以不使用正负偏差变量代替。
优先等级
在随后的求解过程中，会出现达成目标的轻重缓急。在前的达成优先度会高于后者。
目标函数
（1）
要求尽可能接近（恰好达到目标值）
即要求正负偏差变量都尽可能的小
表示为使负偏差变量与系数乘积+正偏差变量与系数乘积最小
（2）
要求不能超过目标值（例如不能超过预算），即允许达不到目标值，使得正偏差变量尽可能的小
表示为正偏差变量与系数乘积最小
（3）
要求能超过目标值，即超过量不限，但是负偏差尽可能要小
表示为负偏差变量与系数乘积最小
实例
（1）年工资总额不超过1500000元；
（2）每级的人数不超过定编规定的人数；
（3）II、III级的升级面尽可能达到现有人数的20%；
（4）III级不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10%的人要退休. 相关资料汇总于表2-1中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案.
求解思路
为了考虑选取最优的调资方案，需要考虑三个约束条件，显然前两个约束条件为刚性约束，而第三个约束条件为柔性约束。
分别建立目标约束
设由II晋升为I的人数为x1，由III晋升为II的人数为x2，招聘为III的人数为x3，dn_为未满误差，dn为过盈误差,n=1.2.3.4.5
年工资总额不超标
（1）
为保证调资后的年工资预算仍在指标范围内，有约束条件
（3）
II，III的升级面尽量达到现有人数的20%
代入原模型解得
X1=2
X2=4
X3=6
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