关于公交车调度问题的探讨

摘要 ：本文主要讨论了公交车调度的最优策略问题 .

本文建立以公交公司获利最大为目标的优化模型 . 设计某一线路全天（工作日）的 公交车调度方案， 在这里需要考虑乘客和公交公司两方面的利益 . 在本文建立的模型中， 以公交公司拥有的车辆数目最少为目标函数，以公交车的载客率以及乘客的等车时间 （乘客候车时间一般不要超过 10分钟，早高峰时一般不要超过 5分钟）为约束条件 ,建立 最优解的优化模型 .

运用分类讨论的数学思想，将原始表格数据分成三部分，运用 Matlab 软件分别对 三组数据进行拟合，求得三个间断的拟合函数，而后利用 lingo 软件，对所求数据进行 计算和处理，求出各间段的最佳发车时间， 以及公交公司在该线路上应拥有的车辆数目 . 其中，在分析处理原始表格时，由于要使载客率尽量大，所以只需分析上车人数大于下 车人数的站点 （ 见表一，表二 ） ，其他站点忽略无需考虑 . 最终，运用 lingo 软件求得该 线路最少需要配置 50 辆公交车以及在不同时段的发车间隔（见表 4）.

本模型还可推广到应用于其他行业的运输问题或者其他运输方式的发车安排， 例如 火车和轮船的最优发车问题，飞机最优起飞问题等等，从而最终达到资源的最优配置 . 关键词： 公交车调度；优化模型；载客率

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一． 问题重述

公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、 改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义 . 下面考虑一条 公交线路上公交车的调度问题， 其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查 和运营资料 .

该条公交线路上行方向共 14站，下行方向共 13站，第 3-4 页给出的是典型的一个 工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计 . 公交公司配给该线路同一型号的大客 车，每辆标准载客 100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为 20 公里/ 小时.根 据运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过 10分钟，早高峰时一般不要超过 5 分钟， 车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%.

试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调 度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照 顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等 .

如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根 据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据 .

二．问题分析

本题目要求设计某一线路全天（工作日）的公交车调度方案，在这里需要考虑乘客 和公交公司两方面的利益，是一个优化问题 . 在本文建立的模型中，以公交公司拥有的 车辆数目尽量少为目标函数，以公交车的载客率以及乘客的等车时间 （ 乘客候车时间一 般不要超过 10分钟，早高峰时一般不要超过 5 分钟）为约束条件 ,建立最优解的优化模 型.

公交车的标准载客量为 100 人，且车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%. 当公交车的载客量太少时，公交公司的利益就会受损；在每趟车的载客率不大于最大载 客量的前提下，公交车的载客率越大，公交公司的盈利就越多 . 早高峰以及晚高峰时间， 由于候车人数剧增，要使等待乘车人的等待时间不超过 5 分钟，就要增加发车次数，减 少发车间隔；非高峰时段，等待乘车人数较高峰时段明显减少，且此时只需保证等待乘 车人的等待时间不超过 10 分钟，此时较高峰期是不同的发车间隔和发车次数 . 故如何合 理安排该路线在不同时间段的发车间隔以及该路线拥有总的车辆数， 使得公交公司的获 利最大 .

运用分类讨论的数学思想，将原始表格数据分成三部分，运用 Matlab 软件分别对 三组数据进行分析和讨论，而后运用拟合的数学方法，对所求数据进行处理，求出最佳 发车时刻表以及公交公司在该线路上拥有的总车辆数目 . 其中，在分析处理原始表格时， 由于要使载客率尽量大，即只需分析上车人数大于下车人数的站点 （见表一，表二 ），其 他站点忽略无需考虑 .

在求解模型的过程中，将模型分为上行方向和下行方向分别进行分析和计算，最后 再将两组数据进行比较， 得出该线路上拥有的最小总车辆数以及该线路公交车的最优发 车间隔.

二.基本假设

1. 公交公司配给该线路为同一型号的大客车；

2. 车辆满载率不应超过120%, —般也不要低于50%; 3. 该公交路线上行方向共14站，下行方向共13站；

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4. 客车在该线路上运行的平均速度为 20公里/小时； 5. 不考虑乘客上下车的时间；

6. 乘客侯车时间一般不超过 10分钟，早高峰时一般不超过 5分钟；

7. 该公交路线不存在堵塞以及红绿灯等待现象，且公共汽车之间按发车顺序依次行进, 不存在超车现象；

8. 乘客排队上车，遵循先来先上原则；

9. 上行、下行方向的头班车同时从起始站出发；

10. 各公交车为同一个型号公交车会按调度表准时到站和出站； 11. 乘客可以坐上他赶上的第一辆车.

四. 符号表示及说明

符号 t T 叶 符号说明 在t时刻 在线路上每趟车的发车间隔 上行方向车辆数 下行方向车辆数 上行方向全线路的总距离 下行方向全线路的总距离 公交车在线路上运行的平均速度 上行方向每站点上下人数之差 下行方向每站点上下人数之差 下行方向第i段乘客人数净增量 上行方向第i段乘客人数净 m2 3 S2 v Xi yj 乙 w 五. 模型建立

以每辆车的载客率以及乘客的等车时间为约束条件， 公交公司在该线路上拥有尽量 少的车辆数为目标函数建立优化模型.

在上行方向22:00 —23:00和下行方向5:00 — 6:00,从原始表格数据可以看出，在这 个时间段，每个站点上下车的人数较其他时段明显减少，为使模型更好地体现普遍性， 我们单独讨论上面的两个时段。易知各站只需一辆车就可以满足需求。在考虑问题时， 对该线路的两个方向，分别进行求解，而后将，两边所需的车辆数目相加，即可得到最 小的汽车需求数.

3

5.1上行方向

考虑问题时不妨将具体问题简单化，将题目所给上行方向的原始数据进行分析，只 考虑上车人数大于下车人数的站点，其中，上行方向中 求.

据此可以建立非线性规划模型.

Xi为上行方向每个站点的上下车人数之差.其中，i二0,1,2,3,4，m为上行方向需要 最少公交车数量.

由题目知，非高峰时段乘客候车时间不超过 10分钟，所以建立如下模型： 非高峰时段目标函数：

mi = -SL 1

vT

人,人0,人1,几2,几3站点符合要

（ 1）

s.t

-

4

Z xi

50% V T 叮20% I 100汉 60 0 :：T 乞10

又由题目知，高峰时段乘客候车时间不超过 5分钟，所以建立如下模型：

高峰时段目标函数：

= 9 +1 vT

s.t

'

4

（ 2）

（3）

瓦Xi

俨八击侦心120% [0（4）

5.2下行方向

考虑问题时不妨将具体问题简单化，将题目所给下行方向的原始数据进行分析，只

AC,A2,A3,A4站点符合要求.据此

考虑上车人数大于下车人数的站点，其中，下行方向中 可以建立非线性规划模型.

yj为下行方向每个站点的上下车人数之差.其中，j =0,1,2,3,,叫为下行方向需要 最少公交车数量.

由题目知，非高峰时段乘客候车时间不超过 10分钟，所以建立如下模型： 非高峰时段目标函数：

m2 二电 1

vT

( 5)

s.t

f 3 I Z yj

50% 兰 T :: 120%

4

(6)

| 100x60 0 :：T 乞10

又有题目知，高峰时段乘客候车时间不超过 5分钟，所以建立如下模型： 高峰时段目标函数：

m2 二电 1

vT

(7)

s.t

L

3

迟yj

50% 空 T <120% | 100^60 0 :: T 岂 5

( 8)

六. 模型求解

6.1上行方向：

在只考虑上车人数大于下车人数的站点，运用Matlab画出站点乘客净上车人数.见 图表1.

图表1 A?站全天乘客净上车人数

根据图像将全天乘客乘车时段分为三部分，分别为 5—11点，12—16点，17— 22 点.用拟合的数学方法，得到如下三个时段的净上车人数关于时间的函数 .

W为下行方向第i段乘客上车的净增量，其中，i =1,2,3

5

5-11点的总函数为:

w, =399.3251X4-3071.6833X‘

12—16点的总函数为：

w2 —12.6667X4 382.667X3-4294.3333X2

17—22点的总函数为：

叫=22.6847X6 - 434.0958X5 3095.3514X4-10098.8X3 14116.46X2-5439.7X 871

6273.6749X2-1213.3167X 552

21061.1333X-36712

6.2下行方向：

在只考虑上车人数大于下车人数的站点，运用Matlab画出站点乘客净上车人数.见 图表2.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

3500

3000

2500

2000

1500 1000

500

0

图表2 A站全天乘客净上车人数

根据图像将全天乘客乘车时段分为三部分，分别为 5—11点，12—16点，17— 22 点.用拟合的数学方法，得到如下三个时段的净上车人数关于时间的函数 .

Zi为下行方向第i段乘客上车的净增量，其中，i =1,2,3 5-11点的总函数为：

乙=15.4 X5 -99.375 X4 -113.3833 X3 1154875 X2 514.2833 X 27 12—16点的总函数为：

6

z2 二-412X5 32.4973X4 3.2122X3 5.5X2 - 188.2682X 986 17—22点的总函数为：

Z3 二-0.031X5 234.1429X4 -1926.5166X3 4401.7143X2 -1815.3096X 1302

运用lingo软件计算，得到如下（表3）上行方向和下行方向的发车间隔以及总的 需要车数.但是在现实生活中，发车间隔一般精确到分，以及车辆数量只能是正整数 .所 以，将发车间隔时间四舍五入，得到实际的发车间隔；计算得到的所需公交车总数全部 去掉小数部分再加一，即得到实际所需总的公交车数目 .

7

结果汇总如下:

5:00-6:00 6:00-7:00 7;00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 18:00-19:00 19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00

表3理论计算得到的发车间隔以及所需总车辆数 上行发车时间间隔 下行发车时间间隔 上行发车数 （分钟） （分钟） （辆） 5.373000 10.00000 10.00000 2.451481 18.84228 6.929740 1.436609 31.44669 2.617040 2.662714 17.42685 2.2345 4.721231 10.253 4.0004 6.117330 8.150178 7.1005 5.365267 9.152437 7.302231 8.674698 1 5.979407 8.315107 6.637888 7.5446 8.080812 7.194187 7.079909 7.079684 5.000000 「 8.266361 6.291325 3.375684 2.614945 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 13.95737 17.72693 5.374000 5.374000 5.374000 5.374000 3.278595 1.992591 2.9596 「 6.296694 10.00000 10.00000 下行发车数 （辆） 5.383000 7.324912 17.74793 20.57619 11.93316 7.172749 7.002275 6.052626 6.423960 7.190954 9.766000 14.36853 22.998 15.78448 7.960796 5.383000 5.383000 22:00-23:00 表4最终实际发车间隔以及需要总的车辆数 上行发车时间间隔 下行发车时间间隔 上行发车数 （分钟） （分钟） （辆） 5:00-6:00 10 2 1 3 5 6 5 6 7 7 8 3 3 10 10 10 10 6 19 32 18 11 9 10 9 8 8 7 14 18 6 6 6 6 10 7 3 2 4 7 7 9 8 7 5 3 2 3 6 10 10 : 下行发车数 （辆） 6 8 18 21 12 8 8 7 7 8 10 15 23 16 8 6 6 6:00-7:00 7;00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 18:00-19:00 19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00 22:00-23:00 8

七．结论分析

由表 4 得，公交公司在 5:00-23:00 期间，上行方向每小时发车时间间隔依次为： 10min，2min，1min，3min，5min，6min，5min，6min，7min，7min，8min，3min，

3min， 10min, 1Omin, 10min, 1Omin；下行方向每小时发车间隔依次为：1Omin, 7min, 3min, 2min， 4min， 7min， 7min， 9min， 8min， 7min， 5min， 3min， 2min，

3min， 6min， 10min， 10min;每小时需发车的总辆数依次为： 12, 27, 50, 39, 23, 17, 18, 16, 15, 16,

17, 29, 41 , 22, 14, 12, 12。所以,为最大程度满足乘客需求,公交公司需购置公交 车 50 辆.

八．模型评价及推广

8.1 模型评价

优点: 本模型把乘客的需求放在首位,在保证乘客的利益最大化的前提下,实现公 交公司的收益最大 . 在一定的假设条件下,建立一般的优化模型。并将复杂的现实问题, 先简单化,然后利用 Matlab 对模型,由简单到复杂对模型进行求解,确立符合题意的 最优解; 在最大程度满足乘客需求的同时,保证了公交公司所需购置公交车数的最小 .

缺点: 本题中只给了某一个工作日的数据样本,具有典型性,但不适用于长时间的 公交发车安排 ; 忽略了乘客上下车所占用的时间,与实际情况有些不符 . 8.2 模型推广

本模型是一个关于调度问题的一般模型 .在解决的过程中建立了一个较普遍且适用 的方法 .时间的合理安排以及车辆的购置, 不仅对公交公司至关重要, 对于其它运输部门 （铁道、航空、航海）也很重要,所以此优化模型也可应用于其它运输部门,在时间和 运输工具的安排问题上 ,从而最终达到资源的最优配置 .

参考文献：

[1] 姜启源 数学模型[ M ]北京：高等教育出版社

[2] 王兵团,数学建模基础 [M], 北京：清华大学出版社, 2004. [3] 李建平,大学计算机基础教程 [M] ,北京：科学出版社, 2006. [4] 王连堂,数学建模 [M], 西安：陕西师范大学出版社, 2008.

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附录：

表格一：上行方向前五站的上下车人数

某路公交汽车各时组前五站上下车人数统计表

A12 站名 A13 上行方向：A13开往A0

A11 0.5 52 9 333 105 528 227 305 123 166 75 120 55 157 58 140 49 103 41 108 39 98 39 240 85 311 118 107 48 55 23 43 17 32 14 A10 1 43 13 256 1 447 272 235 169 147 120 108 81 133 84 108 71 84 70 82 47 82 57 199 135 230 171 80 46 34 36 24 26 21 A9 0.73 76 20 5 239 948 461 477 300 281 181 215 136 254 131 215 111 186 103 162 78 152 88 396 194 497 257 167 108 91 63 72 38 53 33 站间距（公里） 5:00-6:00 1.6 上 下 371 0 1990 0 3626 0 20 0 1186 0 923 0 957 0 873 0 779 0 625 0 635 0 1493 0 2011 0 691 0 350 0 304 0 209 0 60 8 376 99 634 205 322 106 205 81 151 52 181 54 141 46 141 39 104 36 124 36 299 80 379 110 124 45 22 50 16 37 14 6:00-7:00 上 下 7:00-8:00 上 下 8:00-9:00 上 下 上 下 9:00-10:00 10:00-11:00 上 下 11:00-12:00 上 下 12:00-13:00 上 下 13:00-14:00 上 下 上 下 14:00-15:00 15:00-16:00 上 下 16:00-17:00 上 下 17:00-18:00 上 下 18:00-19:00 上 下 19:00-20:00 上 下 20:00-21:00 上 下 21:00-22:22 上 下 10

表格二：

下行方向前四站的上下车人数

某路公交汽车各时组前四站站上下车人数统计表 站名 5:00-6:00 下行方向：A0开往A13 A3 1 4 1 167 40 427 156 492 158 274 100 183 59 132 48 118 40 126 43 156 48 1 73 330 96 587 193 399 129 165 59 126 43 128 41 A4 0.44 2 1 84 40 224 157 224 149 125 80 82 59 67 48 66 40 59 43 69 48 79 63 146 106 248 194 204 150 88 59 69 43 56 42 A0 A2 1.56 站间距（公里） 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 12:00-13:00 22 0 795 0 2328 0 2706 0 1556 0 902 0 847 0 706 0 770 0 839 0 1110 0 1837 0 3020 0 1966 0 939 0 0 0 636 0 3 2 143 70 380 294 374 266 204 157 147 103 130 94 90 70 97 75 133 84 170 110 260 175 474 330 350 223 130 113 107 75 110 73 6:00-7:00 7:00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 10:00-11:00 11:00-12:00 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 上 下 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00

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