精选高中模拟试卷
富锦市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
一、选择题
1． 已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2016）=k，则f（﹣2016）=（ A．k
B．﹣k
C．1﹣k
D．2﹣k
2． 下列给出的几个关系中：①a,b；②④0,正确的有（ A.个
）个
B.个
）
C.个
D.个
）
姓名__________ 分数__________
a,ba,b；③a,bb,a；
3． 集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（
A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1}
4． 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ A．y2=4x或y2=8x
）
B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x
5． 常用以下方法求函数y=[f（x）]g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]g（
x）{g′
（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=xx（x＞0）的导函数．据此可以判断
）
D．h（）
）
下列各函数值中最小的是（ A．h（）
B．h（）
C．h（）
6． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（
A．10 13B．12.5 12C．12.5 13D．10 15
）
7． 等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（ A．3
B．
C．±
D．以上皆非
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8． 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（
）
A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅
9． 已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（ A．2
B．3甲8.33.5乙8.83.6C．4丙8.82.2丁8.75.4）D．5
10．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：平均环数x方差ssA．甲
B．乙
）
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（
C．丙
D．丁
）
11．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ A．3
B．
C．2）C．2个
D．6
12．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ A．0个
B．1个
D．4个
二、填空题
13．设
是空间中给定的个不同的点，则使
成立的点
的个数有_________个．．
14．命题“若x1，则x24x21”的否命题为
16．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ．15．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是 ．17．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈
R．若=，则a+3b的值为 ．18．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为
133，则|a2b| ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a的值；
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（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+）an，求证：当n≥2，n∈N时 f（．
）+f（
）+L+f（
）＜n•（
）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）
20．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．
．
21．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
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22．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
234，，，且各轮考核通过与否相互。345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。
23．x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为
．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．
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24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
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富锦市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，∴20163a+2016b=k﹣1，
∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2． 【答案】C【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C.考点：集合间的关系.3． 【答案】D
【解析】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．故选D．
【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．
4． 【答案】 C
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|=
=
，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
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∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
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5． 【答案】B
【解析】解：（h（x））′=xx[x′lnx+x（lnx）′]=xx（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
6． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
7． 【答案】C
【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=3，
又数列{an}是等比数列，则a62=a3a9=3，即a6=±故选C
8． 【答案】A
【解析】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
．
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则A∩B={﹣2}．故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
9． 【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大，甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小，∴丙的射击水平最高且成绩最稳定，
∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙．故选：C．
【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意从平均数和方差两个指标进行综合评价．
11．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
12．【答案】C
【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：
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①当a2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，∴
综上得，实数a的取值范围是
．
，解得
，
则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：C．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
二、填空题
13．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】设设
，则
因为，
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所以，所以
因此，存在唯一的点M，使故答案为：
成立。
14．【答案】若x1，则x24x21【解析】
试题分析：若x1，则x24x21，否命题要求条件和结论都否定．考点：否命题.15．【答案】
．
，
【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，
∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6，则d=故答案为：
．
≥3
．
，
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
16．【答案】 0或1 ．
【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解 或t2﹣t+1=0②，②无解
或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得 t=0或t=1．故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
17．【答案】 ﹣10 ．
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【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=∴1﹣a=
①
；又=，
又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．
18．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1，3(a2b)2|a|24ab4|b|22．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），
∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，
﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；当x=0时，该不等式成立；
当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．
设h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x•e﹣x＞0，
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∴h′（x）在（0，1]单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]单调递增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵an+1=（1+）an，∴
=
，又a1=1，
•…•
=1••…•
=n；
∴n≥2时，an=a1•对n=1也成立，∴an=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，∴f（）＜∴ [f（＜
）+f（
f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），）+…+f（
）]= [f（）+f（）+…+f（
）]
f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴
f（x）dx≤
g（x）dx=+
，
，）．
∴ [f（）+f（）+…+f（∴f（
）+f（
）+…+f（
）]＜+）＜n（+
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=∵AC=
，∴AE2+CE2=AC2，
，
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∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，则D（0，1，0），C（
，0，0），F（0，，
）G（﹣
，1，
），
平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），
=（0，﹣，
），
=（﹣
，1，
）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，1），
，
故平面FDG的一个法向量=（3，∴cos
=
=
，．
∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∴当
∴f（x）的单调递增区间是当∴当
即方程f（x）=α有三解．
22．【答案】（1）
；当
的图象有3个不同交点，
，单调递减区间是
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
2（2）X的分布列为5第 14 页，共 16 页
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数学期望为E(X)011124700--10002000300036105323423455解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2-------------4分5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1)33346345102342P(X3000)------------------9分
3455P(X0)1所以，X的分布列为数学期望为E(X)023．【答案】
【解析】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=曲线C的参数方程为可得曲线
…
，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
11124700---------------------12分100020003000361053．消去参数θ，
（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为
由直线l1与曲线C相交可得：
，即：
x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入由△≥0得
得：3x2+4mx+2m2﹣2=0
，
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故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线围的求解，是易错点．
24．【答案】
之间的两段弧…
【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范
【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…
（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，
∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…
【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．
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