“三位一体”自主招生综合测试试卷（3）
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 若0<𝑥<1，则𝑥2，𝑥，√𝑥，这四个数中（ ）
𝑥
A. 𝑥最大，𝑥2最小 B. 𝑥最大，𝑥最小 C. 𝑥2最大，√𝑥最小 D. 𝑥最大，𝑥2最小 2. 小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸出一张福娃纪念卡，则摸出的福娃都是贝贝的概率是（ ） A. B. C. D. 255583. 方程(𝑥2+𝑥−1)𝑥+3＝1的所有整数解的个数是（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
4. 顶点为𝐴(6, 6)，𝐵(−4, 3)，𝐶(−1, −7)，𝐷(9, −4)的正方形在第一象限的面积是（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 30 5. 使方程2𝑥2−5𝑚𝑥+2𝑚2＝5的一根为整数的整数𝑚的值共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 函数𝑦＝𝑎|𝑥|与𝑦＝𝑥+𝑎的图象恰有两个公共点，则实数𝑎的取值范围是（ ） A. 𝑎>1 B. −1<𝑎<1 C. 𝑎≥1或𝑎≤−1 D. 𝑎>1或𝑎<−1 7. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶＝80∘，𝑃在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝑃𝐵𝐶＝10∘，∠𝑃𝐶𝐵＝30∘，则
1
2
1
1
1
11
∠𝑃𝐴𝐵的度数为（ ）
A. 50∘ B. 60∘ C. 70∘ D. 65∘
8. 二次函数𝑦＝−𝑥2+2𝑥+8的图象与𝑥轴交于𝐵，𝐶两点，点𝐷平分𝐵𝐶，若在𝑥轴上侧的𝐴点为抛物线上的动点，且∠𝐵𝐴𝐶为锐角，则𝐴𝐷的取值范围是（ ）
A. 3<𝐴𝐷≤9 B. 3≤𝐴𝐷≤9 C. 4<𝐴𝐷≤10 D. 3≤𝐴𝐷≤8 9. 一个三角形有一内角为48∘，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
10. 甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有________块糖．
11. 设𝑎−𝑏＝2+√3，𝑏−𝑐＝2−√3，则𝑎2+𝑏2+𝑐2−𝑎𝑏−𝑎𝑐−𝑏𝑐＝________． 12. 已知△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形，其最大边𝐴𝐶上有一点𝑃（点𝑃与点𝐴，𝐶不重合），过点𝑃作直线𝑙，使直线𝑙截△𝐴𝐵𝐶所得的三角形与原三角形相似，这样的直线𝑙可作的条数是________．
13. 如图，△________中，∠________的平分线交________于________，若________＝6________，________＝4________，∠________＝60∘，则________的长为________．
14. 已知𝑎是整数，一次函数𝑦＝10𝑥+𝑎的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于________． 15. 如图，△________．
16. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是________分钟．
17. 如图，以半圆中的一条弦𝐵𝐶（非直径）为对称轴将弧𝐵𝐶折叠后与直径𝐴𝐵交于点𝐷，若
𝐴𝐷
=，且𝐴𝐵＝10，则𝐶𝐵的长为________． 𝐵𝐷3
2
三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 18. 解关于𝑥的不等式：𝑥2+3<4|𝑥|．
19. 如图(1)，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑏𝑐sin𝐴⋯① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，∠𝐴𝐶𝐷＝𝛼，∠𝐷𝐶𝐵＝𝛽
1
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶＝𝑆△𝐴𝐶𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷，由公式①得到2𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin(𝛼+𝛽)=2𝐴𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛼+2𝐵𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛽
即𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin(𝛼+𝛽)＝𝐴𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛼+𝐵𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛽…②
你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的𝐴𝐶、𝐵𝐶、𝐶𝐷吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75∘的值．
111
20. 如图，过△𝐴𝐵𝐶内一点𝑀做各边的平行线与各边分别交于𝐷，𝐸，𝐹，𝐺，𝐿，𝑁各点． 求证：𝐵𝐶+𝐴𝐶+𝐴𝐵=2．
𝐷𝐸
𝐹𝐺
𝐿𝑁
21. 已知二次函数𝑦1＝𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+4𝑎−1的图象是𝑀．
（1）求𝑀关于点𝑅(1, 0)中心对称的图象𝑁的解析式𝑦2； （2）当2≤𝑥≤5时，𝑦2的最大值为√5，求𝑎的值．
22. 证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．
参
1. A 2.
1
共有25种情
况，摸出的福娃都是贝贝的情况有1种，概率为25 3. B
4. 连接OA，过A、D两点的直线方程是=，即y=−3x+16，解得它与x轴的交−4−69−6点E的横坐标是x＝7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=−10x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，∴ S6=12.6，∴ S
△𝐴𝑂𝐸+S
△𝐴𝑂𝐸
3
𝑦−6
𝑥−6
10
=2×7.8×6=23.4，S
1
△𝐴𝐹𝑂
=2×4.2×
1
△𝐴𝐹𝑂＝23.4+12.6＝36，即顶点为
A（6，6），B（﹣4，3），C
（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是36 5. D 6. D 7. C 8. A 9. C 10. 40 11. 15 12. 3或2
13. 𝐴𝐵𝐶,𝐴,𝐵𝐶,𝐷,𝐴𝐵,𝑐𝑚,𝐴𝐶,𝑐𝑚,𝐴,𝐴𝐷,12√3𝑐𝑚
5
14. 5
15. 𝑃1𝑂𝐴1，△𝑃2𝐴1𝐴2是等腰直角三角形，点𝑃1，𝑃2在函数𝑦=(𝑥>0)的图象上，斜边
𝑥𝑂𝐴1，𝐴1𝐴2都在𝑥轴上，则点𝐴2的坐标是(4√2, 0) 16. 4 17. 4√5 18. 法一：
4
𝑥≥0𝑥<0
或②{2 ， 原不等式化为①{2
𝑥−4𝑥+3<0𝑥+4𝑥+3<0∵ 𝑥2−4𝑥+3＝(𝑥−1)(𝑥−3)，𝑥2+4𝑥+3＝(𝑥+1)(𝑥+3)， ∴ 解①得，1<𝑥<3，解②得，−3<𝑥<−1， 所以，原不等式的解为：1<𝑥<3或−3<𝑥<−1； 法二：原不等式化为：|𝑥|2+3<4|𝑥|， 即(|𝑥|−1)(|𝑥|−3)<0， ∴ 1<|𝑥|<3，
∴ 原不等式的解为−3<𝑥<−1或1<𝑥<3． 19. ①能消去②中的𝐴𝐶、𝐵𝐶、𝐶𝐷．
将𝐴𝐶⋅𝐵𝐶⋅sin(𝛼+𝛽)＝𝐴𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛼+𝐵𝐶⋅𝐶𝐷⋅sin𝛽，两边同除以𝐴𝐶⋅𝐵𝐶得： sin(𝛼+𝛽)=𝐵𝐶⋅sin𝛼+𝐴𝐶⋅sin𝛽③， 又∵ cos𝛽=𝐵𝐶、cos𝛼=𝐴𝐶，
代入③可得：sin(𝛼+𝛽)＝sin𝛼⋅cos𝛽+cos𝛼⋅sin𝛽．
②由sin(𝛼+𝛽)＝sin𝛼⋅cos𝛽+cos𝛼⋅sin𝛽得：sin75∘＝sin(30∘+45∘)＝sin30∘⋅cos45∘+cos30∘⋅sin45∘
1√2√3√2=×+× 2222
=
√2+√6． 4
𝐶𝐷
𝐶𝐷
𝐶𝐷
𝐶𝐷
20. 证明：根据题意，𝐷𝐸 // 𝐵𝐶， ∴ △𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶 ∴ 𝐵𝐶=𝐴𝐵； ∵ △𝐵𝐹𝐺∽△𝐵𝐴𝐶 ∴ 𝐴𝐶=𝐴𝐵；
∵ 𝐴𝐹𝑀𝐿是平行四边形， ∴ 𝐿𝑀＝𝐴𝐹；同理，𝑀𝑁＝𝐵𝐷； 则𝐴𝐵=
𝐿𝑁
𝐿𝑀+𝑀𝑁𝐴𝐵
𝐹𝐺
𝐵𝐹
𝐷𝐸
𝐴𝐷
，∴ 𝐵𝐶+𝐴𝐶+𝐴𝐵=
𝐷𝐸𝐹𝐺𝐿𝑁𝐴𝐷+𝐵𝐹+𝐿𝑀+𝑀𝑁
𝐴𝐵
=
2𝐴𝐵𝐴𝐵
=2．
21. 依题得，𝑎≠0，且𝑦1＝𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+4𝑎−1＝𝑎(𝑥+2)2−1， 故图象𝑀的顶点为𝐴(−2, −1)，由对称性可知，图象𝑁的顶点为𝐵(4, 1)，
且其开口方向与𝑀的相反， ∴ 𝑦2＝−𝑎(𝑥−4)2+1， 即𝑦2＝−𝑎𝑥2+8𝑎𝑥−16𝑎+1．
当𝑎<0时，抛物线𝑁的开口向上，对称轴为𝑥＝4， 若2≤𝑥≤5，则当𝑥＝2时，𝑦2取得最大值1−4𝑎， 由1−4𝑎=√5得，𝑎=
1−√54
．
22. 证明：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，设∠𝐴＝2∠𝐵，且三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐． 延长𝐶𝐴到点𝐷，使𝐴𝐷＝𝐴𝐵＝𝑐，则𝐶𝐷＝𝑏+𝑐，由∠𝐴＝2∠𝐵，知∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐷． 从而，△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝐷𝐶，故𝐷𝐶=𝐵𝐶，即𝑏+𝑐=𝑎 于是，𝑎2＝𝑏(𝑏+𝑐)①
当𝑎>𝑐>𝑏时，设𝑎＝𝑛+1，𝑐＝𝑛，𝑏＝𝑛−1，代入①式，解得，𝑛＝5． 此时，𝑎＝6，𝑏＝5，𝑐＝4；
当𝑐>𝑎>𝑏时，设𝑐＝𝑛+1，𝑎＝𝑛，𝑏＝𝑛−1，解得，𝑛＝2． 此时，𝑎＝2，𝑏＝1，𝑐＝3，不能构成三角形；
同理，当𝑎>𝑏>𝑐时，可得，𝑛2−3𝑛−1＝0，𝑛不是整数，舍去． 综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．
𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝑎
𝑏
