求函数极值的若干方法

求函数极值的若干方法

摘要 函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.

关键词：函数极值 充分条件 乘数法

1 一元函数极值问题

1.1 一元函数极值的定义

设函数gx在x0的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于x0的所有的x都有以下不等式成立，即gx0gx，那么我们就把gx0称为函数gx的极小值, x0就是gx的极小值点; 反过来，如果gx0gx，那么我们就把gx0称为gx的极大值，x0就是gx的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点.

1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法

1.2.1 二次函数：

fxax2bxc在中学数学中我们曾讲了二次函数可以很清楚地分析出：

的图象是一条抛物线, 从所学的图象中

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当a0时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.

当a0时, 函数的图象抛物线开口向下, 它的纵坐标由递增变为递减，从而这个顶点的纵坐标就相当于极大值.

fxax2bxc因此, 想要求得二次函数的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶

2b4acb2fxaxx,yfxax2bxc2a4a，点坐标即可 ，于是用配方法将写成如下形式

2b4acb,2a4a则该二次函数的顶点坐标是.

4acb2fxa04a就是极小值. 当时, 该坐标值

4acb2fx4a 即为极大值. 当a0时，该坐标值

例1 某玩具厂生产某种儿童玩具，年产量为x百件，总成本是f1x3x(万元)，其总收入为

f2x5x0.5x2，试求总利润为最大时最佳产量.

Fxf2xf1x5x0.5x23x0.5x24x3解 设

Fx为总利润，则

x 为一元二次函

数的形式，则由上可知

b442a20.54acb2y54a，，即当产量为4百件时，利润取得

极大值5万元，此时极大值就是最大值.

1.2.2 一般函数

2

定理1：设函数gx在点x0处是连续的，在x0的某个邻域内是可求导的.

(1)当xUx0;时，所有的x都满足gx0；当xUx0;时，所有的x 都满足gx0，

如果上述两个条件都成立时，那么我们得出gx在x0处可以取到极小值.

(2)当xUx0;时，所有的x都满足gx0，而当xUx0;时，所有的x都满足gx0，

如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出gx在x0处可以取到极大值.

(3)当xUx0;时，gx的符号一直不会改变，即所有的xUx0;都满足gx0或所有的xUx0;都满足gx0，那么在这种情况下，我们可以得出gx在点x0不能取到极值.

定理2：设函数gx在点x0处存在二阶的导数，如果gx满足gx=0且gx0，那么gx可以取到极值.

(1)当gx00时，则我们可以在点x0取到极小值，x0就叫做gx的极小值点.

(2)当gx00时，x0就叫做gx的极大值点，gx在点x0可以取到极大值.

应该值得注意的是：如果出现gx=0且gx0的情形，那么这个时候如果我们还想着用

上述定理2的方法去寻找极值就不满足了，以下的定理可以帮助我们解决.

定理3：设函数gx在x0的某个邻域xUx0;内存在着直到n1阶的导函数，在点x0处n阶是可以求导的，并且成立

gkngx00x00（1，2，…，n1），，那么,

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(1)当n为偶数的时候，处取到极小值，如果

gngx在点处可以取到极值，并且如果

x0gnx00 我们可以在点x0x00 时，极大值在点x0取到.

(2)当n为奇数的时侯，在这种情况下gx在点x0处的极值我们是取不到的. 例2：对于上述事例1，也可用微分法求得极值.

解 Fxx4，令Fx0，那么x4,

当x4时， Fx0,

当x4时， Fx0,

根据定理1，我们得出,Fx在x4的时候可以取到极大值,这个时候的极大值其实也就是我们所要求得的最大值.

hxexex2cosx例3：求函数的极值.

解 对原函数求一阶导得，

hxexex2sinx，

令

hx0，

得到驻点，

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x0，

如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有

hxexex2cosx，hx0,

这时发现定理2条件也不满足，再进行求导,有

hxexex2sinx，hx0，

继续求导，得，

h4xexex2cosx,h4040.

由定理3，知：

h4040，导数第一个不是零的阶数n4，它是偶数的，因此这个函数

我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值.

例4：设ygx0是方程y2y4y0的一个解而且gx00，gx00，那么这个函数

在点x0点处（ ）.

A．可以取到极大值 B．某邻域xUx0;内是呈现单调递减的

xUx0;C. 可以取到极小值 D．某邻域内是呈现单调递增的

分析 这是一道考研题目，乍一看是关于微分方程方面的问题，假如从微分方程方面着手，

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那么就会容易走入误区，我们观察一下四个选项可以知道是关于极值问题的.

由于 y2y4y0，

所以 gx02gx04gx00，

又 gx00，gx00，

所以 gx02gx04gx04gx00.

根据定理2我们就可以得出 ygx在点x0处取到了极大值。这个题目巧妙地根据已知信息变形，然后运用了定理2，从而得到答案，故选(A).

总结：求一元函数（一般）的步骤：

a 首先我们把所要讨论的函数的定义域给求出来

b 求出导数gx0（当使用极值第一充分条件即定理1进行判断）和gx0 （当使用极值

第一充分条件即定理2进行判断）.

c 我们令gx0，gx0，求出函数gx和gx的所有的稳定点，还有gx的所有不可导点，因为此处是有可能成为极值点的.

d 当我们采用定理1的方法判定时，要判断出gx所有的稳定点左右邻域gx0的符号；当

我们采用定理2判定时，则要确定出

gx0在其稳定点两边的符号，然后再对照定理1或者2来

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判别出该点是不是极值点.

e 对于定理1和定理2的条件都不满足的情形，我们要运用定理3，继续求导，直到求导不为零为止，查看n的奇偶性，再做出进一步的判断，看看是取到极大值还是极小值.

f 将各个点带入原函数，就可以得到我们判定的每个极值点的函数值.

2 二元函数极值问题

2.1 二元函数极值的定义

设函数gx,y在点P0x0,y0的某个邻域UP0内有定义，如果对于任何的点Px,yUP0，都有不等式gPgP0（或者gPgP0）成立，那么就称函数gx,y在P0点取得极小值（或极大值），点P0叫作gx,y的极小（或极大）值点.我们把极小值和极大值都叫做极值.

备注：在这里讨论的函数极值都只是限定于定义域里的内点.

2.2 关于求二元函数极值的方法

2.2.1

gx,yPx,ygx,yPx,y定理7：如果函数在000处存在偏导数，而且函数在000处取得极值，

那么有

Pxx0,y00

，

Pyx0,y00.

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我们就把P0x0,y0叫做是gx,y的稳定点.

2.2.2

定理8：如果二元函数gx,y满足在P0x0,y0点处的某邻域UP0内具有二阶的偏导数且是连续的，而且P0x0,y0是gx,y的稳定点，那么当HgP0是正定的矩阵的时候，可以判定gx,y在P0x0,y0处取到极小值；当 HgP0判定是负定的矩阵的时候，gx,y在P0x0,y0处可取到极

gxxP0gxyP0HgP0gPgPHgPgx,yPx,yxy0yy00000大值；当 是不定矩阵，在处不取得极值，其中.

定理8：如果二元函数gx,y满足以上定理8的条件，令AgxxP0，BgxyP0，CgyyP0.

22A0，A0，(1)若ACB0，则gx,y在P0x0,y0处可取到极小值，若ACB0，则gx,y在P0x0,y0处可取到极大值.

2(2)若ACB0，则gx,y在P0x0,y0处极值不能取到.

2(3)若ACB0，则gx,y在P0x0,y0处能不能取到极值我们不能判断出来.

例5：讨论函数

gx,yx25y26x10y6是否存在极值.

g10y100解 因为 gx2x60，y,

所以求得稳定点，

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P0x0,y03,1，

又因为 gxxP02，gyyP010，gxyP00，

2则 A2，B0，C10，ACB200，A0.

根据定理8得出gx,y在P0x0,y0处极小值可以取到，并且g3,18, 又因为gx,y处处存在偏导数，所以P0x0,y03,1为gx,y的唯一极值点.

总结：求二元函数极值的步骤

a 首先求出偏导数gxx,y0，gyx,y0，gxxx,y，gxyx,y，gyyx,y .

gxx,y0yx,y0gb 然后解出所联立的方程组，求解出驻点P0x0,y0.

c 求出这个二元函数在所求点处Agxxx0,y0，Bgxyx0,y0，Cgyyx0,y0的值及

B2AC的符号，根据定理8来进一步分析出函数是不是有极值点.

d．把得到的点代人原函数即可得到我们所要的结果.

2.2.3 拉格朗日乘数法

此种方法主要针对求条件极值的问题，即在条件组k（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，

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m（mn）的下，求目标函数y=g（x1，x2，…，xn）的极值，在此我们只讨论n2的情形，也就是我们所熟悉的二元函数条件极值的问题.

x,y0gx,yx,y0，若gx,y与x,y0、x,y0在方法：设目标函数为，约束条件为区域内有连续的一阶导函数，而且雅克比矩阵得极值.

,x,y的秩为2，那么可以用拉格朗日乘数法求

a.构造出拉格朗日函数,

Lx,y,1,2gx,y1x,y2x,y.

b.求解方程组

Lx0L0yL01L02，得出驻点即可，然后按照实际情形加以判断.

22x4y4和一条直线2x4y90，求出在这个椭圆上到这条直例6：已知一个椭圆方程

线的最近距离与最远的距离的点.

解 把这个椭圆上所求得的点设为P0x0,y0，则这个点P0x0,y0到直线2x4y90的距离记做

d1212x04y09d22x024y09x024y0242020，那么所求的问题就转化成函数在条件

下最值的问题,

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令

2122x4y9x024y0240020,

Gx0,y0,解方程组,

1Gx052x04y092x001Gy02x04y098y005Gx024y0240，

11P012,P2,0222， 解得, ，

代人距离公式得,

d1942942d220，20,

11P012,P2,0222是所求得的最远距离的点. 因此, 是所求得的最近距离的点，

2.2.4 其它方法

首先，把条件极值化为无条件极值，然后，再依据一元函数求出极值的方法加以分析判定.

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例7：求函数

gx,y,zxyz2xyz1下的极值. xy1在与

2z2z2xy22，把其代人目标函数gx,y,zxyz中可以消去解 由已知的两个条件可得，x和y，可得

z5z3gz42，

两边同时求导有，

4gz5z46z2，

从而得到稳定点,

z10，

z266z35，5，

由于g00，而g0120，即n3为奇数，因此根据定理3可以得出，gx,y,zxyz在

z10处不能取到极值.

因为

6g12055，

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所以，gz在

z265处取得极大值，从而有,

666g5255. 又因为

6g12055,

所以，gz在

z365处取得极小值，从而有,

666g5255. 总结：由例10可知，在一些题目中,如果可以把求多元函数极值的问题通过分析综合转化为我们比较熟悉的一元函数的问题，就可能会使我们所要求的问题变得简单容易很多，但在实际中,有些条件极值是不易转化成没有条件的极值来解决的，这时我们可以使用拉格朗日乘数法这个通用的办法.

3.结束语

在我们的生活中处处可遇到求极值的例子，但是关于求函数极值的问题我们并没有什么套用的模式或者不变的方法，因此，我们要解决处理这一类问题，就要学会分析综合，归纳总结，结合题目特点，灵活运用所学知识，牢记公式、定理以及一些重要结论，融会贯通，只有这样

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我们才能达到学习的效果.

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Several methods for the extreme of the function

Name: Leng Nana Student Number : 200740510612 Advisor: Jing Ke

Abstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily

life may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.

Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier

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