医用高等数学定积分习题精讲

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1） 2π 0 0sinxdx；

（2） R R πR2x2dx；

（3）3xdx；

1（4）cosxdx.

0 π 2π1. 解：由定积分的几何意义 （1） 2π 0 RsinxdxsinxdxsinxdxA(A)0

0 （2） RR2x2dx R R1R2x2dxR2

2（3）3xdx 1 π 0 03 2π2 0 2 （4）cosxdxcosxdxπcosxdxA(A)0

2. 用定积分的定义，计算由曲线yx21与直线x1,x4及x轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数f(x)x21在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于

n3，分点仍记为 n1x0x1x2Lxn1xn4

nnn

3i23+1)1) nn并取ixi(i1，2，L，n)，得积分和

f()x(iii1i12i1)xi(xi1)xi((2i1i1

27n218n3i2i6 ni1ni119181n(n1)(2n1)n(n1)6 n32n229111(1)(2)9(1)6 2nnn令n（此时各小区间的长度都趋于零，故0），对上式取极限，由定积分的定义，

得

419111(x+1)dxlim(i21)xilim[(1)(2)9(1)6]24

0n2nnni12n3. 判断下列式子是否一定正确 （1）f(x)dx≥0（其中f(x)≥0）；

a b（2） b b af(x)dx≥ af(x)dx(ab).

3. 解：

（1）不一定正确，这是因为题中未指明a与b的大小关系. 当ab时，有 b b af(x)dx≥0；当ab时，有 af(x)dx0.

（2）一定正确.

由定积分的性质，已知ab，f(x)f(x)，则 b b af(x)dx≥ af(x)dx.

4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由 （1） 1xd 1 1 0x，  0x2dx，  0x3dx；

（2） 4 4 41 3lnxdx，  3(lnx)2dx，  3lnxdx； （3） 1xdx，  1 0ln(1x)dx，  1 0 0exdx.

4. 解：

（1）当x[0,1]时，有xx2x3，因此 1xdx 1x2dx 1 0 0 0x3dx.

（2）当x[3,4]时，有lnx1，(lnx)2lnx1lnx， 因此 4(lnx)2dx 4 41 3 3lnxdx 3lnxdx 5. 计算

x x（1）lim 0(1cos3t)dtx0xsinx；

（2）lim 0(1cos3t)dtx0tanxx.

解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质 lim x 0(1cos3t)dtx0xsinx

1cos3limxx01cosx lim(1x0cosxcos2x)3

（2）同理

xlim 0(1cos3t)dtx0tanxx

lim1cos3xx0sec2x1 lim3cos2xsinx3cos4xx02secxtanxsecxlimsinxx02tanx32 6. 求y x 1cost2dt(x0)的导函数y(x).

x解： y(x)[ 02x2 11costdt x x 0costdt][cost2dt x0 0cost2dt]

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2

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cos21x(11x2)cos(x)22x111x2cos2x2xcosx 7. 计算下列定积分 （1） 3 1(x21x2)dx； 解： （1） 3(x21 1x2)dx(13x31x)31913

（2） 9x1xdx 923191 4 4(xx)dx(3x22x2)4456

（3） 4xdx 124x t2令24xt,x24,dxt2dt

4xdx1182124x82)dt18[t3(t32t]1863622

（4） 5x1 1xdx 令x1t,xt21,dx2tdt

5x1xdx22t222110t21dx2[t-arctant]020[1t21]dx42arctan2

（5） 1 1xxdx 0 1 1x2dx 0x2dx=0

ππ（6） 22 πsinxdx20πsinxdx20sinxdx=2

（7）e1e1 1lnxdx[xlnx1e 1lnxdxe 1lnxdx1ee11dx]xlnx1ee1dx2-e（ π8）2 πcosxcos3xdxdx222-cosxsinx220cosxsinxdx

220cosxdcosx343cos2x24

03（9） ln22 0ex(1ex)dx ln2(ex2e2x+e3x)dx(exe2x+1ln21 03e3x)063

（10） 1 1x2x4dx

 1 1x1x2dx

01x1x2dx10x1x2dx

-- 3

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1011221xd(1x)1x2d(1x2) 212033112220221(1x)|1(1x)|0  333（11） e 1 ee512lnxdx2lnxdlnx2lnxln2x

1122x（12） ln2 0ex1dx

令ex1t,xln(t21),dx2tdt t12 ln2 01πt2e1dx22dt2(tarctant)2

0t102x l（13）x2a2x2dx

0 a令xasint,dxacostdt

x2a2x2dx

0a =a2sin2ta2cos2tdt a2 =82020[1cos4t]dt

a2 =420sin22tdt

a2 a2sin4t =[t]2 =16820（14）1 1x1x 0dx

t22dt

01tt2112dt

01t112[t1]dt

01t11t22[tln(1t)]2ln2-1

02（15） 4dx1x 0 令xt,dx2tdt

 4dx1x 022 2 2(t11)1tdt)dt=2(tln(1t))=42ln3 2dt2(1 0 01t 001t1t 2-- 4

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（16） e3dx e3d(lnx1) 1x1lnx2 121lnx21lnxe312

11x2（17）cos2t 1x2dx22sin2tdt21sin2tdt2[11]dt

44sin2t24sint[cottt]2144

π18） （2cos5 0xsin2xdx2cos6x2sinxdx220cos6xdcosx207

（19）

 π π π 0xcosxdx 0xdsinxxsinx0 0sinxdxcosx02

（20） exlnxdx1 e 12 1lnxdx212x2lnxe1 e121 e1212 1xdx2e2 1xdx4(e1)（21） 1 1x1 1x1 1x2 0xexdx 0xd(ex)xe0 0edxe 0edx1e

（22）

22xxdx2e2xdcosxe2x2x0esin0cosx22cosxdee2xcosx222e2x0000cosxdxe2xcosx222e2xdsinxe2xcosx22e2xsinx24000020e2xsinxdx

20e2xsinxdx12x2x215[ecosx22esinx2]e

0055（23）

 1 0arctanxdx

xarctanx11x001x2dx

xarctanx10121101x2d(x21) xarctanx11ln(x211021)042ln2

（24）

 3ln(x1) 0x1dx

令x1t,xt21,dx2tdt

3ln(x1)22lntx1dx1t2tdt421lntdt4[tlnt2121dt]4[tlnt21t201]8ln24 8. 求函数I(x) x3t1 0t2t1dt在区间[0，1]上的最大值与最小值.

解：被积函数f(t)3t1t2t1在[0，1]上连续，因此I(x) x3t1 0t2t1dt可导. -- 5

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x3t13x1，因此0I(x)1]上为增函数.  0t2t1dt在[0，x2x1 13t15πdt将x0,1代入求得最小值为I(0)0，最大值为I(1)2.

0tt133 I(x)9. 试证

mnnm（1）x(1x)dxx(1x)dx

0 0 1 1证明：令x1t，则

mnx(1x)dx(1t)ntmdt(1t)ntmdt(1x)nxmdx  0 1 0 0 1 0 1 1111x（2）dt 11t2dt x1t21证明：令t11，则 u111 1 1 1111111xxx()dududududt11 x1u2 11u2 11u2 11t2dt  x1t2 x1u212u（3）sinxdxcosnxdx. 证明：令xπ2 0 nπ2 0 2t，则

02nπ2 0 π2 0sinxdxπcosxdxcosnxdx

n10. 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，则算出广义积分的值 （1）  1dx x41 3解：收敛. dx13 1x43x dx（2） 1x解：发散. （3）  e1dx

x(lnx)2解：收敛.

  e dlnxdx1x(lnx)2 e(lnx)2lnxe1

（4）发散

lnx（4）dx

ex解：发散 （5）arctanxdx 2 1x解：收敛.

-- 6

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  1arctanxdx x21arctanxd() 1x 1arctanxd() 1x111arctanx1dx

1xx1x21x()dx

4 1x1x2xπ1lnln2 14421x2 （6）dx

-x22x2解：收敛.

+ + - +d(x1)dxarctan(x1)2x22x2 -(x1)1 a+-

（7）dxax22 0

解：收敛.

adxa2x2 2 0 a 0xd()xaarcsinxa1()2aa0 2（8）dxxx12 1 解：收敛. 令xsect，则（9）dx

1x(x2) 1 e 2dxxx21 1 arcsec2 arcsec1dt 3解：发散 （10）dxx1(lnx)2 1 解：收敛.

 edxx1(lnx)2 1 edlnx1(lnx)2 1 0 1arcsin(lnx)e12

11. 用抛物线线法计算1x4dx的近似值（取n10，计算到小数点后三位）.

解：简要步骤如下：

Lxi，L，x9，x101，把区间[0，（1）用分点0x0，x1，x2，1]10等分，每个小区间的

1长度为x，并用yi表示函数yf(x)在分点xi处的函数值，相应的曲线被分成10段，

10--

7

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曲线上的分点为Mi(xi,yi)(i1，2，L，10).

（2）将通过相邻三点M0M1M2，M2M3M4，L，M8M9M10的曲线段，分别用过该三点的抛物线ypx2qxr的弧段代替.

（3）计算各抛物线弧段下面的面积，设通过M0(x0，y0)，M1(x1，y1)，M2(x2，y2)三点的抛物线方程为

则曲线弧段下的面积为 S1 x2 x021312p3q232(pxqxr)dx(pxqxrx)(x2x0)(x2x0)r(x2x0)

3232x0ypx2qxr

x2qp22(x2x0)(x2x2x0x0)(x2x0)r

23122(x2x0)[2px22px2x02px03qx23qx06r] 6122(x2x0)[(px2qx2r)(px0qx0r)p(x2x0)22q(x2x0)4r] 6因为

1(x2x0)x1 即 x0x22x1 22px2qx2ry2

且M0，M1，M2都在抛物线上，故它们的坐标都满足方程（513），即

px12qx1ry1

2px0qx0ry0

将它们代入上式，化简便得

xxbaS120(y24y1y0)(y24y1y0)

630同理，可分别算出M2M3M4，L，Mn2Mn1Mn各抛物线弧段下面的面积为

baS2(y44y3y2)30baS3(y64y5y4) 30MbaS5(y104y9y8)30L，S5加起来，就得曲线梯形面积的近似计算公式 （4）将S1，S2， 114  01xdx30[y04(y1y3Ly9)2(y2y4Ly8)y10]L1.0

12. 求由抛物线yx24x5，直线x3，x5及x轴所围成图形的面积. 解：所围成图形的面积Ax24x5dxx32x25x351353210

313. 求由抛物线y32xx2与x轴所围成图形的面积. 解：先求抛物线y32xx2与x轴交点，得x3,1.

--

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所围成图形的面积A32xx2dx3xx2x3311313210

314. 求由曲线yex，yex及直线x1所围成图形的面积.

解：先求曲线yex，yex及直线x1所围图形的交点，得(0，1)，(1，e1)与(1，e).

所围成图形的面积Aexexdxexex01101e2

e15. 求由曲线yx2与直线yx,y2x所围成图形的面积.

解：先求曲线yx2与直线yx,y2x的交点，得(0，0)，(1，1)和(2，4)

所围成图形的面积分为两部分，图略.

x21x322AA1A2[2xx]dx[2xx]dxxdx[2xx]dx[x]01012031122122127 23616. 求由抛物线yx24x3及其在点(0，3)和点(3，0)处的切线所围成图形的面

积.

解：先求抛物线在点(0，3)和点(3，0)处的切线方程 y2x4，y(0)4，y(3)2，

从而两切线方程为y4x3和y2x6.

再求抛物线yx24x3和两切线方程y4x3，y2x6的交点为(0，3)，

3(3，0)和(，3)，图略.

2将所围图形的面积分为两部分

AA1A2[4x3(x24x3)]dx3[2x6(x24x3)]dx

23203999xdx3x26x9dx

23232088417. 求下列曲线围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积. （1）yx2，xy2，绕x轴；

解：yx2与xy2所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1).

所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

V(x)2dx(x2)2dx=

00113. 10（2）yx2，yx，绕x轴；

解：yx2与yx所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1).

所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

Vx2dx(x2)2dx=

00112. 15（3）yrx，xh（r，h＞0）及x轴，绕x轴； h-- 9

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rr). x与xh的交点为(h ，h所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为 解：曲线yhr2. r2r2h2V(x)dx()xdx03hh0h（4）x2(y5)216，绕x轴.

解：将圆x2(y5)216分成两部分，分别绕x轴旋转，然后作差. 则旋转体的体积为V(16x25)2dx(16x25)2dx

4444(41x21016x2)dx(41x21016x2)dx1044444416x2dx160

18. 弹簧所受压力与所压缩距离x成正比，Fk x（k为比例常数）. 今有一弹簧原长为1m，每压缩1cm需5g力，若弹簧自80cm压缩到60cm时，问做功多少？（取1kg10N）.

解：由题意描述，0.01k105/1000，计算比例常数k50.

那么弹簧自80cm压缩到60cm时，压缩位移由20cm变为40cm，弹簧力做功为

W 0.4 0.2 0.4 0.4Fds 0.2f(x)dx 0.2kxdx3(J)

19. 计算函数y2xex在区间[0，2]上的平均值. 解：函数y2xex在区间[0，2]上的平均值为

2212xx2x2x2x2x xdexeedx13exee2xedx000002020. 血液在长为L，半径为R的血管中流动，血管横截面上距中心处为r的流速

yvA(R2r2)(L，A，R均为常数)，求在单位时间内通过该截面的血流量. L解：单位时间内通过该横截面的血流量为

Q2πR0π1A2π(Rr2)rdrA(R2r2r4)AR4

L2L2L0R21. 现有一名志愿受试者，口服一定剂量的某药后，测得血药浓度c与时间t的关系数据如习题表5-1.

习题表5.1 c-t关系数据

t（h） c（μggmL1）0 0 1 0.65 2 2.00 5 3.55 10 4.05 15 3.60 20 3.20 30 2.00 40 1.20 50 0.75 求在所测时间内的平均血药浓度（用梯形法）. 解：先用梯形法求解分点xi处的函数值.

（2）每个小曲边梯形的面积都用相应的小梯形面积来代替，这9个小梯形的面积分别为

50 0f(x)dx，简要步骤如下：

（1）采用如上分点xi，并且计算每个小区间的长度xi，同时用yi表示函数yf(x)在

y0y1yyiyy9yy2x1，1x2，L，i1x3，L，8x9 2222（3）曲边梯形的面积近似等于各个小梯形面积的和，即

-- 10

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111f(x)dx(yy)x(yy)xL(y8y9)x9 011122 02221(y02y12y2L2y8y9)x9 25011(y0y1y2Ly8y9) 922所测时间内的平均血药浓度

50

1501505011f(x)dxf(x)dx(yyyLyy9)L2.29(μg/mL) 012800505092222. 在一次口服给药的情况下，血药浓度c与时间t的关系曲线常用如下函数表示，kaFD其中k，ka，V，F，D均为正的常数，试求该曲线下的总面积AUC. c(ektekat)，V(kak)y解：该曲线下的总面积AUC为

kaFDkaFD11c(ektekat)dt(ektekat)0V(kk)V(kak)kkaa0FD Vk-- 11