2020年中考数学人教版专题复习： 中心对称与中心对称图形

一、考点突破

1. 了解中心对称图形的概念，认识两个图形关于某一点对称或中心对称的本质； 2. 掌握成中心对称的两个图形的性质，能利用两种不同方式作出中心对称图形；

3. 会识别常见的中心对称图形或图案，并能用推理方式说明一个图形是中心对称图形。

二、重难点提示

重点：中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点。 难点：中心对称与中心对称图形之间的联系和区别。

考点精讲

中心对称和中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于该中心的对称点。

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

AOB(1)CBDAOCD(2)

【要点诠释】

中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形是全等形；

（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分； （3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称；

（4）过对称中心的直线把中心对称图形分为面积相等的两部分。 【难点剖析】

中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于某一点（对称中心）对称叫做中心对称。

中心对称和中心对称图形的联系：如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是中心对称图形；如果把一个中心对称图形中对称的部分看成两个图形，那么它们又是关于中心对称的。

典例精析

例题1 如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M、N，则线段BM、DN的大小关系是（ ）

A. BM＞DN B. BM＜DN C. BM＝DN D. 无法确定

思路分析：根据P为平行四边形ABCD的对称中心，可推出△DNP≌△BMP，从而可得

到BM＝DN或者利用中心对称图形的概念也可以说明相等。

答案：如图，连接BD，∵P是平行四边形ABCD的对称中心，∴点P在BD上，且DP＝BP，又∵圆的半径PN＝PM，∠DPN＝∠BPM，∴△DNP≌△BMP（SAS），∴BM＝DN，故选C。

技巧点拨：本题考查中心对称图形及平行四边形的性质，由于圆与平行四边形都是中心对称图形，在本题中两个图形的对称中心重合，所以整个图形是中心对称图形，B与D是对应点，M与N是对应点，BM和DN是对应线段，本题也可通过对应线段相等来说明。

例题2 如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点B坐标为（9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF。

（1）△DEF是否为等腰三角形？（不要求说明理由）

（2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由；（图中实线、虚线一样看待）

（3）求折痕EF的长及所在直线的解析式。

思路分析：（1）根据矩形对边平行和折叠的性质可得△DEF为等腰三角形；（2）连接BD交EF于M，由BM＝DM，EM⊥BD，可求出EM＝FM，OM＝MB，故四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称；（3）设BE＝OE＝x，则AE＝9－x，利用勾股定理可求出x＝5，再求出E，F的坐标，进而求出函数的解析式。

答案：（1）△DEF为等腰三角形；

（2）连接BD交EF于M，∵B、D关于EF对称， ∴BM＝DM，EM⊥BD，易证EM＝FM，

∴E、F关于M成中心对称，B、D关于M成中心对称， 又M为BD的中点，

∴A、C关于M成中心对称，

∴四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称； （3）设BE＝OE＝x，则AE＝9－x，

在直角三角形AED中，（9－x）2＋32＝x2， 解得x＝5，∴E（4，3），F（5，0），

22过点E作EG⊥OC于G，在Rt△EFG中，EF＝31＝10，设直线EF的解析式为y

3＝4kb0＝5kb＝kx＋b，把E、F坐标代入得，

解得k＝－3，b＝15，∴直线EF的解析式为y＝－3x＋15。

G 技巧点拨：本题考查的是图形的折叠及用待定系数法求一次函数的解析式，图形的折叠本质就是轴对称，在本题中矩形具有轴对称性，同时也具有中心对称性，这类问题中结合轴对称和中心对称解题有时非常简捷。

例题3 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD， 再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4。

[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。

求证：BE＋CF＞EF，若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。

思路分析：①可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；②由①中的全等得到∠C＝∠CBG。∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系。

答案：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG。（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），

∴CF＝BG，

在△EFG中，∵DG＝DF，DE⊥DF，∴EF＝EG， 在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF。 （2）若∠A＝90°，则∠EBC＋∠FCB＝90°，

由（1）知∠FCD＝∠DBG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°， ∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，∴BE2＋CF2＝EF2。

技巧点拨：本题提供了一种与中心对称有关的解题技巧，若条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形。

提分宝典

【高频疑点】

轴对称和中心对称区别： 1 轴对称 有一条（或多条）对称轴（直线）中心对称 有一个对称中心（点） 图形绕中心旋转180° 旋转后与另一图形重合 两个图形是全等形 对称点连线都过对称中心， 定义 2 图形沿轴对折（翻转180°） 3 翻转后与另一图形重合 1 两个图形是全等形 性质 2 对称轴是对称点连线的垂直平分线 且被对称中心平分 【易错警示】

有的同学对中心对称图形识别不准，原因是对旋转180°后能与原来的图形重合这一要求把握不好，误认为旋转后能与原图形重合就可以，把旋转的度数是不是180°忘了，或者根本没有考虑这个条件。

示例：下列图形是中心对称图形的是__________。

①线段；②角；③三角形；④等边三角形；⑤平行四边形 错解：①④⑤

分析：①⑤满足中心对称图形的定义，而②、③、④无论绕哪一点旋转180°，都不能与原来的图形重合。 正解：①⑤

同步测试

1. 下列标志中不是中心对称图形的是（ ）

2. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

*3. 如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形，若AB＝6cm，AC＝4cm，则AD的取值范围为（ ）

A. 4＜AD＜6 B. 2＜AD＜3 C. 1＜AD＜5 D. 4＜AD＜10

*4. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC交BD于点O，点E、F分别为AO、BO的中点，则下列关于点O成中心对称的一组三角形是（ ）

A. △ABO与△CDO B. △AOD与△BOC C. △CDO与△EFO D. △ACD与△BCD

5. 如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称，则线段BC与EF的关系是__________。

6. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为_________。

7. 如图所示，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形。

AEBHOFGCD

*8. 如图所示，一个长方形内有任意一圆，请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二等分，并说明作图的道理和方法。

**9. （1）如图1，在△ABC中，绕点C旋转180°后，得到△CA′B′，请先画出变换后的图形，写出下列结论正确的序号是__________。

①△ABC≌△A′B′C；

②线段AB绕C点旋转180°后，得到线段A′B′； ③A′B′∥AB；

④C是线段BB′的中点。

在（1）的启发下解答下面问题：

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，D是BC的中点，射线DF交BA于E，交CA的延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE＝CF？（直接写出结果，不证明）

（3）如图3，在△ABC中，如果∠BAC≠120°，而（2）中的其他条件不变，若BE＝CF的结论仍然成立，那么∠BAC与∠F满足什么数量关系（等式表示）并加以证明。

试题答案

1. C 解析：A是中心对称图形；B是中心对称图形；C不是中心对称图形，故本选项正确；D是中心对称图形，故选C。

2. D 解析：A不是中心对称图形，是轴对称图形；B不是中心对称图形，也不是轴对称图形；C不是中心对称图形，是轴对称图形；D是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确，故选D。

*3. C 解析：根据题意画图如下：AC＝A´C´，AB＝A´B´，根据三角形的三边关系AB＋A´C´>AA´>AB－A´C´，所以10>AA´>2，AA´＝2AD，所以5>AD>1。

*4. C 解析：∵点E、F分别为AO、BO的中点，∴AB＝2EF，EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠CDO＝∠OFE，∠DCO＝∠FEO，∵AB＝2CD，AB＝2EF，∴EF＝CD，∴△CDO≌△EFO，即关于点O成中心对称的一组三角形是△CDO与△EFO，故选C。

5. 平行且相等 解析：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称，∴线段BC与EF的关系是平行且相等。

16. 12 解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝2×6×8＝24，∵O

1是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝2×24＝12。

7. 证明：∵O是平行四边形ABCD的对称中心，EF经过点O与AB交于点E，与CD交于点F，∴E、F关于点O中心对称，∴EO＝FO，同理可得GO＝HO。又∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形。

*8. 解：作长方形的两条对角线，令交点为O1，圆的圆心为O2，过O1、O2作直线l，则这条直线l将长方形和圆的面积二等分（如图所示）。

O2O1 **9. 解：（1）根据旋转的性质，知①②③④都是正确的。 （2）60°。

（3）等量关系：∠BAC＝2∠F，作△FCD关于点D的中心对称三角形DBF′，则∠F′＝∠F，FC＝BF′＝BE，∠F′＝∠F＝∠BED＝∠FEA，∴∠BAC＝2∠F。