错位相减法的运用

错位相减法的运用

bn错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如anbn的数列，其中{an}为等差数列，

为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即qSn；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题：

例1. （2012年四川省文12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，常数0，且

a1anS1Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

1}an（Ⅱ）设a10，100，当n为何值时，数列

{lg的前n项和最大？

【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1(a12)0，分类讨论：由a1=0及a10，结合数列的和与项的递推公式可求。

（II）由a10且100时，令大项 。

bnlg1an，则bn2nlg2，结合数列的单调性可求和的最

【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得

a122S1=2a1，∴a1(a12)0。

若a1=0，则S1=0, 当n2时，an=SnSn10。

若a10，则

a12，

当n2时，

2an2Sn，

2an12Sn1，

两个相减得：an2an1，∴

an2n。∴数列{an}公比是2的等比数列。

综上所述，若a1=0, 则 an0；若a10，则

an2n。

（Ⅱ）当a10且100时，令

bnlg1an，则bn2nlg2。

∴{bn}是单调递减的等差数列（公差为－lg2）

100100lglg1062；

则 b1>b2>b3>…>b6=

lg当n≥7时，bn≤b7=

1anlg100100lglg1071282。

∴数列{lg}的前6项的和最大，即当n=6时，数列

{lg1}an的前n项和最大。

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。

例2. （2012年天津市理13分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比

数列,且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10.

(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(Ⅱ)记

Tn=anb1+an1b2++a1bn+Tn+12=2an+10bn(nN+)nN，，证明.

【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。

（Ⅱ）写出Tn的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。

【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由=

a1b1=2，得

a423d，b42q3，s486d。

由条件a4+b4=27，S4b4=10得方程组

323d2q27 d3 386d2q10，解得q2。

∴

an3n1，bn2n，nN+。

(Ⅱ)证明：由（1）得，

Tn2an22an123an22na1 ①；

∴

2Tn22an23an124an22n+1a1 ②；

由②－①得，

Tn2an+22anan123an1an224an2an3+2na2a12a1bn

2an+223233243+2n322bn=2an+4bn+3222324+2n=2an+4bn+3412n112=2an+4bn12+62n=2an+4bn+6bn12=2an+10bn12

Tn+12=2an+10bn(nN+)∴。

【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。

12Snknn{an}n2例6. （2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中kN），

且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，并求an；

92an}n（2）求数列2的前n项和Tn。

{12SnknnkN2【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n＝时，取得最大值，代

入可求k，然后利用anSnSn1可求通项，要注意anSnSn1不能用来求解首项a1，首项a1一般通过a1S1来求解。

9－2ann

（2）设bn＝＝n－1，可利用错位相减求和即可。 n22

【答案】解：（1）当n＝1

＝k2， 2

kN112时，Sn＝－n＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k222

∴k2＝16，∴k＝4。

∴

anSnSn19

＝－n(n≥2)。 2

79

又∵a1＝S1＝，∴an＝－n。

22

9－2ann23n－1n

（2）∵设bn＝＝n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋2＋…＋n－2＋n－1，

2n22222

11n1nn＋2

∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋n－2－n－1＝4－n－2－n－1＝4－n－1。

222222

【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。