第6讲.第二轮复习之几何变换专题——图形的平移与轴对称.目标-目标1班.教师版

第二轮复习之几何变换专题——

图形的平移与轴对称

`

题型一：平移变换

典题精练

【例1】 在两条对角线的长度以及其夹角给定的所有四边形中，求出周长最小

的四边形的形状.

【分析】求四边形四条边和最小，尝试通过平移使四条边共顶点.此题中边AD、

CD不动，尝试平移AB、BC

【解析】如图1，过D作DA'//AB且DA'=AB，过D作DC'//BC且DC'=BC

则四边形AA'DB、四边形DC'CB、四边形AA'C'C都是平行四 边形

而COBC'A'A，∴平行四边形AA'C'C完全确定 对角线AC'和A'C之长都是定值

∴四边形ABCD周长AB+BC+CD+AD=(A'DCD)(DADC')A'CAC'

（当A',D,C及A,D,C'分别三点共线时取等号）即四边形ABCD周长最小（如图2） 设AC'和A'C的交点为E,过A、C分别作平行于A'C及AC'的直线，交点为E' （E'不必在BD上），∴EE'//CC'且EE'=CC'，EE'=BD，∴平行四边形AECE' 是所求的周长最小的四边形.(如图3)

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1

题型二：轴对称变换

典题精练

【例2】 已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对

称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F． (1) 求证：BF∥AC；

(2) 若AC边的中点为M，求证：DF2EM；

(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与 BE相等的线段，并证明你的结论．

（2012西城一模）

图1 图2 【解析】（1）如图．

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，

CH⊥AB于点H，

直线DE交直线CH于点F， ∴ BF=DF，DH=BH． ∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1， ∴ ∠A＝∠2． ∴ BF∥AC．

（2）取FD的中点N，连结HM、HN. ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，

∴ HN∥BF． 由（1）得BF∥AC， ∴ HN∥AC，即HN∥EM． ∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

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2

AC边的中点为M， ∴ HM1ACAM．

2∴ ∠A＝∠3． ∴ ∠EDA=∠3． ∴ NE∥HM．

∴ 四边形ENHM是平行四边形． ∴ HN=EM．

∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N， ∴ HN1DF，即DF2HN．

2∴ DF2EM．

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相

等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD．（如图）

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴ BC=CD，∠ABC＝∠5． ∵ AB＝BC，

∴ ABC1802A， AB＝CD．① ∵ ∠EDA=∠A，

∴ 61802A，AE=DE．② ∴ ∠ABC＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE是△ADE的外角， ∴ BDEA6． ∵ BDE45， ∴ ∠A＝∠4．③

由①，②，③得 △ABE≌△DCE． ∴ BE= CE．

由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC． 由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF． ∴ ∠CFE=∠ECF． ∴ EF=CE． ∴ BE=EF．

∴ BE=EF=CE．

【例3】 已知：如图，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD. 求证：∠ABC=120°－∠BAD．

B 初三春季·第6讲·目标-目标1班·教师版

AD3 C【解析】

证明：作D关于AB的对称点E，连接AE、DE、BE、BD.点E和点D关于AB对称易证ABEABDBEBD又EAD2BADBCD且AEADCDBCADECDBBEBDDE1ABD=60=302点E和点D关于AB对称DEABBDCEDA90BAD又BCCDDBCBDC90BADABCABDDBC 3090BAD120BAD

【例4】 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝

AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M． （1）求证：△EGM为等腰三角形；

（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论． GA ED【解析】(1) 证△EGM为等腰三角形

M （2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为 BG=AF+FG ．

证明（2）： CF过C作AB的平行线交AF的延长线于P，则PC⊥AC.

∵AP⊥BE，∴∠ABE=∠CAP，又∵AB=AC， ∴Rt⊿ABE≌Rt⊿CAP，、 ∴∠AEB=∠CPA，∴BE=AP ①

在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵AB=AC，,AE=AD, ∴Rt△ABE≌Rt△ACD ∴∠ABE=∠ACD

∵∠AEB、∠CMF（AC交FG于M）分别是∠ABE和∠ACD的余角， ∴∠AEB=∠CMF, ∴∠FMC=∠CPA. ∵∠ACB=45o, ∴∠FCP=90o-45o,

∴∠MCF=∠FCP，∵FC= FC，∴△MCF≌△PCF，

∴MF=PF ② GA又∵∠AEB=∠CMF， ED∴EG=MG ③

M初三春季·第6讲·目标-目标1班·教师版

EBADC

B4

CPFB

∴BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG

即BG=AF+FG

【例5】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．

(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______， △PMN周长的最小值为_______；

(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积； (3) 若PA=m，PB=n，PC=k，且kmcosnsin，直接写出∠APB的度数．

（2013西城一模）

【解析】（1）cos=3，△PMN周长的最小值为 3 ； 2 （2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点

D、E、F，连接DE、DF，（如图）

则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.

∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.

∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°， ∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°， ∠FCE=2∠ACB=180°.

∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线. ∴DE=BD=BP=10，EF=CE+CF=2CP=2. ∵△ADF中，AD=AF=2，∠DAF=120°， ∴∠ADF=∠AFD=30°.

∴DF=3AD =6. ∴EF2DF210DE2. ∴∠DFE=90°.

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BDPAF

EC

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∵S多边形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF， ∴2SABC3112(10)2626336. 4222B ∴SABC336. 2 （3）∠APB=150°.

说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图） 由（2）知∠DBE=2，∠DAF=1802. ∵BD=BE=n，AD=AF=m， ∴∠DBM=，∠DAN=90.

∴∠1=90，∠3=. ∴DM =nsin，DN=mcos. ∴DE=DF=EF. ∴∠2=60°.

∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.

D132PNMEACF

思维拓展训练

目标班

训练1. 若四边形ABCD是一个凸四边形，∠CBD2∠ADB，∠ABD2∠CDB，ABBC，求

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证：ADCD．

EBBCAOAOCD

【解析】 延长DB到点E，使得ABBCBE，连接AECE．

11由等腰三角形知∠CEB∠CBD∠ADB，∠AEB∠ABD∠BDC.

22∴AE∥CD，AD∥CE.

∴四边形ADCE是平行四边形. ∴AOCO，DOEO.

在△ABC中，ABBC，AOCO. ∴∠AOB∠COB. ∴ADCD．

训练2. ⑴如图，已知∠BAD∠DAC9，ADAE，且ABACBE，求∠B．

FDAABDCEBDCE 【解析】 如图，延长BA到点F，使AFAC，连接EF,由题设知

BFBE，∠FAE90∠BAD90∠DAC∠EAC 于是△EAF≌△EAC ∴∠AEF∠AEC

∴∠F2∠AEC，∠B1804∠AEC

故90∠AED∠ADE∠BAD∠B91804∠AEB． ∴∠AEB33，∠B48．

∠PBA8，AB⑵ 点P为△ABC内部一点，使得∠PBC30，且∠PPA∠C

2，求∠APC．

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QCCPABABP

【解析】 如图，延长AC至点Q，使得ABAQ，则△BAP≌△QAP，

又APB180°PBAPAB150°， 则BPQ360°APBAPQ60°．

因此，△BPQ是一个等边三角形，BC是PQ上的中垂线，即CPQCQPPBA8°． 故APCAPQCPQ142°．

训练3. 请阅读下列材料：

问题：如图1，在四边形ABCD中，且AMD90，试判断ABCDM是BC边的中点，与AD之间的大小关系．

小雪同学的思路是：作B点关于AM的对称点E，连接AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

DAABM图1CBABMM图2图2DDCABCABABM图3M图3CM图CCDDD

请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴ 写出上面问题中ABCD与AD之间的大小关系；

⑵ 如图2，若将AMD的度数改为120，原问题中的其他条件不变，证明：

1ABBCCD≥AD；

2⑶ 如图3，若AMD135，AB1，BC22，CD2，求AD的最大值．

【解析】 ⑴ ABCD≥AD；

⑵ 作B点关于AM的对称点E，作C点关于DM的对称点F，连接AE、EF、DF．

由轴对称的性质可知△AEM≌△ABM，△DFM≌△DCM，

DFCD，EMBMFMCM， ∴AEAB，AMEAMB，FMDCMD， F1∴EMF60，∴EFEMFMBC，

E2D∴AEEFFDAD，当AE、EF、FD共线的时 A候等号成立， BCM1即ABBCCD≥AD．

22BCCD≥AD， ⑶ 由⑵的结论可得到AB2初三春季·第6讲·目标-目标1班·教师版

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22BCCD12225， 22 ∴AD的最大值为5．

∴AD≤AB

目标123班

训练1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，以两腰AB，CD为一边分别向两边作正方形ABGE和

DCHF，作AD的垂直平分线l交线段EF于点M．求证：点M为EF的中点．

l

E M F

GAD

H

CB

【解析】 过E、F分别作l的垂线EP，FQ交l于P、Q．

如图，N是AD之中点，过N作NQ'∥DF交FQl于Q'，作NP'∥AE交EP于P'，作NS∥DC交

P'PEBC于S，作NR∥AB交BC于R． MQ'F在Rt△P'PN和Rt△LNR中， Q有P'NPPP'N90．

GAP'NPLNR1809090， DN所以有PP'NLNR．

又由RNABAEP'N， 知Rt△NP'P≌Rt△RLN． CBLSR从而得PP'NL．

同理可知Rt△Q'QN≌Rt△NLS，而得 QQ'NL，即有PP'QQ'．

显然，EP'∥AN，FQ'∥ND，又ANND， 所以EP'∥FQ'．从而有

EPEP'PP'FQ'QQ'FQ．

H应EP∥FQ知，四边形EQFP是平行四边形，其对角线互相平分，所以M是EF的中点．

点评：过N作平行线的实质就是将两个正方形进行平移，使这两个正方形的一个点重合．

训练2. 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

BCPECECANBEB'CMNB'DNB'F③MNAD①A②DA④FD

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第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图①；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得 Rt△AB'E，如图②

第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图③； 利用展开图④探究：

⑴ △AEF是什么三角形？证明你的结论.

⑵ 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.

【解析】 ⑴△AEF是等边三角形

E由平行线分线段定理知PEPA. CB∴PAPB'，13.

B'又∵PN∥AD，∴23. PMN3而21290，∴1230.

1在Rt△AB'E中，1AEF90. 2D∴AEF60，EAF1260. FA∴△AEF是等边三角形. ⑵不一定

由以上推证可知，当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，

即矩形的宽:长=AB:AFsin603:2时，正好能折出. 如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b≤当3a时，按此法一定能折出等边三角形； 23aba时，按此法无法折出完整的等边三角形. 2

训练3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CEAB于EA（AEBE），AD、CE相交于F，连接

EBF，且CDDF．

F⑴求证：ADBD．

⑵写出AE、AC、BE之间的数量关系，并证明． ⑶写出AFBC和ACBF之间的大小关系，并证明．

BD【解析】

⑴ ∵CDDF∴∠DCF∠DFC.

∵CEAB，

∴∠DCF∠CBE90，∠BAD∠AFE90. 又∵∠AFE∠DFC，∴∠DBA∠BAD， ∴ADBD. 方法一：

⑵ 结论：BEACAE．

∵AEBE，故可在BE上取点G，使EGAE，连接CG，如图1． 由⑴得ADBD，∴∠BAD∠ABD. A又∵AD平分∠BAC. E∴∠BAC2∠CAD2∠BAD2∠ABD. GF在△ACE和△GCE中

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CD 图1C10

AEGE∠AEC∠GEC90 ECEC∴△AEC≌△GEC.

∴ACGC，∠EGC∠EAC（或利用垂直平分线也可得） ∴∠EGC2∠GBC.

又∵∠EGC∠GBC∠BCG，∴∠GBC∠GCB. ∴BGCGAC，∴BEBGGEACAE． ⑶ 结论：AFBCACBF．

∵AEBE，故可在BE上取点G，使EGAE， 连接GF、CG，CG交BF于O，如图2． 由辅助线知CE垂直平分线段AG， ∴GFAF，CGAC. 在△GFO和△BCO中

∴OFOGGF，OBOCBC. ∴OFOGOBOCGFBC. ∴BFCGGFBC. A∴AFBCACBF．

E方法二：

GF⑵ 结论：BEACAE． AO延长EA到G，使AGAC，连接CG，如图3． E∴∠BAC2∠G. FBDC∵ADBD，∴∠BAD∠ABD.

又∵AD平分∠BAC. 图2BDC∴∠BAC2∠CAD2∠BAD2∠ABD.

图3∴∠G∠ABC，∴△BCG为等腰三角形. ∵CEAB.

∴BEEGAEAGAEAC． ⑶ 结论：AFBCACBF．

∵AEBE，故可延长EA到G，

G使EGEB，连接CG、FG，FG交AC于点O，

如图4．由辅助线知CE垂直平分线段BG，

A∴FGFB，CGBC.

E在△AOF和△CGO中 OFOAOFAF，OGOCCG.

∴OAOFOGOCAFCG. ∴ACFGAFCG.

DBC∴AFBCACBF． 图4【点评】 注意常见基本模型的灵活应用．

G

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A'复习巩固

B'C'题型一 平移变换 巩固练习

【练习1】 ⑴ 如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，

将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平行移动2秒，这时， 该三角形扫过的面积（阴影部分）．

B⑵ 如图，线段AB沿着四个方向①②③④都平移a个单位长度，线

段AB扫过的面积最大的是 ．（填序号）

【解析】 ⑴ 三角形ABC扫过面积相当于矩形BCC'B'的面积，当然也可直接计

④算为18平方厘米． ⑵ ③．

A 题型二 轴对称变换 巩固练习

【练习2】 在四边形ABCD中，ACBD，相交于E，且EDEB，ECEA，求证：

BCADABCD．

DAC③②①BDAA'ED'BCAECB图1

【解析】 作A点关于BD的对称点A，作D点关于AC的对称点D，连接AB、DC、AD．

利用中垂线可知CDCD，ABAB. 易证△ADE≌△ADE，∴ADAD. 由“8”字形可得ADBCABCD. 即ADBCABCD.

【练习3】 ⑴ 如图，把正六边形分成六个等边三角形，能由三角形①平移

得到三角形 ，由三角形①沿正六边形的一条对角线 翻折一次能得到三角形 （填编号）．

⑵ 如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A.向右平移7格

B.以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对 称轴作轴对称

C.绕AB的中点旋转180，再以AB为对称轴作轴对称 D.以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【解析】 ⑴ ③⑤；②④⑥．⑵ D．

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⑥①⑤④③②B12

A 【练习4】 如图是一张34的方格纸片，每个小正方形边长为1，点A在

纸面的正面，点B在纸片反面，现在一只蚂蚁从点A出发经过

纸片的表面爬到点B，那么它所经过的最短路程为 ，有 _______条最短路径． 【解析】 如图，将纸片关于各边作对称．最短路程为10，共有3条最短路径．

B1B4BAB2B3

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第十八种品格：坚持

精卫填海

上古时代，发鸠山上有许多柘树（即桑树）。树上经常有一只可爱的小鸟，它的形状和鸟鸦非常相似，头上有好着的花纹，嘴巴是白色的，脚爪是红色的。它的啼叫声像“精卫！精卫！”所以人们便把它称作“精卫”。

精卫鸟本来是炎帝（即神农氏，传说中我国农业和医药学的始祖）的小女儿，名叫女娃。女娃非常喜欢游泳。有一天．她在东海游泳．不幸遇到巨浪，被无情的海水吞没了。女娃死后便化成了精卫鸟。它下定决心要把东海填平，以免别人落得和自己一样的命运。于是，精卫鸟一刻也不闲着，每天从西山衔着树枝、石子飞到东海上空，然后再将它们投下去。就这样一天又一天，一月又一月，一年又一年一直如此……

今天我学到了

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