罗尔中值定理的内容及证明方法

罗尔中值定理的内容及证明方法

（一）定理的证明

证明：因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，现在分两种情况讨论：

1.若Mm，则函数f(x)在闭区间a,b上必为常数，结论显然成立。

2.若Mm，则因为f(a)f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在a,b内某点处取得，从而是f(x)的极值点，由条件f(x)在开区间a,b内可导得，f(x)在处可导，故由

'f费马定理推知：()0。

（二）罗尔中值定理类问题的证明

罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。

'fa,b1.形如“在内至少存在一点，使()k”的命题的证法。

(1)当k0时，一般这种情况下，我们只需验证f(x)满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。

1例1 设f(x)在闭区间0,1上连续，开区间0,1内可导，证明：0,1，使f()0

'f(0)3f(x)dx23。

分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在0,1中找到一个区间0,，在0,中运用罗尔中值定理去证明。

证：因为

22f(0)3f(x)dx3(1)f()f(),,132313

显然f(x)在闭区间0,上连续，在开区间0,内可导

'0,1f根据罗尔定理，，使()0

'fk0(2)当时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：()k0的形式，

构造辅助函数F(x)，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k法等等。

例2 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，证明：在a,b内至少存

22'2f(b)f(a)(ba)f() 在一点，使

22'2f(b)f(a)(ba)f() 证：要证明

22'2f(b)f(a)(ba)f()0 只需证

故令g(x)x(f(b)f(a))(ba)f(x)，则g(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内

222可导，且g(a)g(b)

'22'a,bg()2(f(b)f(a))(ba)f()0 故，，使得

22'2f(b)f(a)(ba)f() 即：

2.应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。

324ax3bx2cx(abc)在0,1内至少有一实根。 例3 证明方程

32f(x)4ax3bx2cx(abc)，则f(0)，f(1)的符号不易判别，所以不适分析：若令

合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。

432f(x)axbxcx(abc)x，则f(x)在0,1上连续，在0,1内可导，且证：令

f(0)f(1)0。由罗尔中值定理可知：0,1，使f'()0。

324ax3bx2cx(abc)0 即

324ax3bx2cx(abc)在0,1内至少有一实根 所以方程

'f(x)f(x)0的零点。 f(x)f(x)例4 若可导，试证明在的两个零点之间，一定有

'f(x)f(x)0存在零点，我们需要构造一个辅助函数F(x)，使得分析：要证

F'(x)f(x)f'(x)，将问题转换为F'(x)的零点存在问题。

xF(x)ef(x),设x1，x2为f(x)的两个零点，即f(x1)0，f(x2)0。则有证：令

F(x1)F(x2)0。假设x1x2，有F(x)在x1,x2上连续，在x1,x2内可导。

''ef()ef()0，又因为e0，F()0x,x12由罗尔中值定理可得，，使,即'故f()f()0。

'f(x)f(x)0的零点。 f(x)所以，在的两个零点之间，一定有

（三）广义的罗尔中值定理

罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。广义的罗尔定理有多种形式。

limf(x)limf(x)a,f(x)xx形式1：若函数在内可导，且a，则在a,内至少存在一

'fc点，使(c)0。

证：若f(x)A，则结论显然成立。

limf(x)limf(x)Ax若f(x)A，不妨设x0(a,)，使f(x0)A，由xa，知：对



0Af(x0)，Xx0，x0a，当xX，x(a,a)时，有f(x)Af(x0)A，则

f(x)f(x0)。又f(x)在a,X上连续，故必存在最小值m，即ca,X，使f(c)m。

又当xX，x(a,a)时，都有f(x)f(x0)mf(c)，则f(c)m也是f(x)在,上的最小值。

'f故由费马定理知，(c)0

例5 设函数f(x)在区间0,上可导，且有

12f()(12)2。

'0f(x)x1x，证明0，使

证：令所以xx0F(x)f(x)xxx0f(x)lim0f(0)limf(x)02x1x，1xx01x，因为所以。又因为,

x0limf(x)0。而x0limF(x)lim(f(x)xx)0limF(x)lim(f(x))02xx1x21x，，所以

limF(x)limF(x)x'F0,0,F(x)，故在可导。由广义的罗尔中值定理，，使(x)0，

12f()22(1)。 即

'limf(x)limf(x),bf(x)xxb形式2：若函数在内可导，且，则在,b内至少存在一

'fc点，使(c)0。

证明方法与形式1类似。

112'xx在,1内至少存在一点c，使得f(c)0。

例6 求证函数

f(x)

证：显然函数

f(x)112limf(x)0limf(x)0xx在开区间,1内可导，且有x，x1。则

'f,1c由形式2可知，在内至少存在一点，使(c)0。

x211x1f'(x)223'fxxxx而，故(2)0。

''limf(x)limf(x)Aa,bf(x)xxb形式3：若函数在内可导，且a(A为有限数或)，则在

(a,b)内至少存在一点c，使f'(c)0。

证：若A为有限数，当f(x)A,显然结论成立。

若f(x)A，必x0a,b，使f(x0)A。不妨设f(x0)A，R，使得Af(x0)。而

xalimf(x)limf(x)Axbx2(b,b)，，由局部保号性，必x1(a,a)，使f(x1)f(x0)，

使f(x2)f(x0)。因为f(x)在(a,b)可导，所以f(x)在x1,x0，x2,x0连续。由介值定理，

c1x1,x0，c2x2,x0，使f(c1)f(c2)。f(x)在c1,c2利用罗尔中值定理，

c1,c2a,b，使得f'(c)0。

若A，由

xalimf(x)limf(x)xb，f(x0)A，知x0a,b，使得

f(x0)Ax1(a,a1)，使f(x1)A，则有f(x0)Af(x1)x2(b2,b)，使f(x2)A,则有f(x0)Af(x2)。再由f(x)在(a,b)连续，c1x0,x1，c2x0,x2，有f(c1)f(c2)A,在

c1,c2利用罗尔中值定理，有f'(c)0。

1(x1)(x3)在1,3内至少存在一点c，使f'(c)0。

例7 求证函数

f(x)

证：显然函数

f(x)1limf(x)limf(x)(x1)(x3)在1,3内可导，且有x1，x3。则由

'f1,3c形式3可知，在内至少存在一点，使(c)0。

12(2x)f'(x)'''(x1)(x3)(x1)(x3)而，故有f(2)0。

'limf(x)limf(x),f(x)xx形式4：若函数在内可导，且，则在,内至少存在

'fc一点，使(c)0。

证：令F(t)f(tant)，

limF(t)limf(x)At02t(,)22由题设知：

limF(t)limf(x)At02x，

x''2F(t)f(tant)sect存在。 ，且

由形式3可知，

ctan(,)。

(,)''2'22，使F(t)f(tant)sect0，而sec2t0，故f(c)0，

例8 求证函数

f(x)x'1x2在,内至少存在一点c，使f(c)0。

证：显然函数

f(x)1f(x)0limf(x)0(x1)(x3)在,内可导，且有xlimx，。则

'f,c由形式4可知，在内至少存在一点，使(c)0。

1x2x'f(x)222'''1x(1x)ff(1)0而，故有，(1)0。

'