2019-2020天津益中学校数学中考一模试题(附答案)

一、选择题

1．下列计算正确的是（ ） A．2a＋3b＝5ab

B．( a－b )2＝a 2－b 2 C．( 2x 2 )3＝6x 6

x3＝x5 D．x8÷

2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )

A． B． C． D．

3．某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（ ）

A．7分 B．8分 C．9分 D．10分

4．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，分，则该同学这6次成绩的中位数是（ ） A．94

B．95分

C．95.5分

D．96分

5．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．12 B．24

C．123 D．163 6．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．

B．C．D．

7．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．四棱锥 C．长方体 D．正方体

8．如图，在矩形ABCD中，AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）

A．3 B．23 C．32 D．6

，4)，顶点C在x轴的负半轴9．如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3上，函数yk(x0)的图象经过顶点B，则k的值为（ ） x

A．12 B．27 C．32 D．36

10．某公司计划新建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h（m）之间的函数关系式为SVh0，这个函数的图象大致是（ ） hA． B．

C．

D．

11．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是 （ ）

A． B． C． D．

12．下列各式化简后的结果为32 的是（ ） A．6

B．12

C．18 D．36 二、填空题

13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ．

14．已知关于x的方程

3xn2的解是负数，则n的取值范围为 ． 2x115．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

16．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.

17．如图，RtAOB中，AOB90，顶点A，B分别在反比例函数y1x0与xy5x0的图象上，则tanBAO的值为_____． x

18．已知关于x的一元二次方程ax22x2c0有两个相等的实数根，则等于_______．

1c的值a19．如图，把三角形纸片折叠，使点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE,FG，若

C15,AEEG2厘米，△ABC则的边BC的长为__________厘米。

20．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△

为直角三角形时，BE的长为 .

三、解答题

21．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示． 表1：四种款式电脑的利润 电脑款式 利润（元/台） A 160 B 200 C 240 D 320 表2：甲、乙两店电脑销售情况

电脑款式 甲店销售数量（台） 乙店销售数量（台）8 A 20 8 B 15 10 C 10 14 D 5 18 试运用统计与概率知识，解决下列问题：

（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ； （2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．

22．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平

2方，如：322，善于思考的小明进行了以下探索： （12）设ab2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有

2ab2m22n22mn2．

∴am22n2，b2mn．这样小明就找到了一种把部分ab2的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 当a、b、m、n均为正整数时，若ab3mn32，用含m、n的式子分别表示

a、b，得a＝ ，b＝ ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋

3)2；

（3）若a43m＋n3，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．

223．（12分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.

(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元？(用列方程的方法解答)

(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：

进货价格(元/辆) A型车 1100 B型车 1400 销售价格(元/辆) 今年的销售价格 2400

24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF为菱形；

（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．

25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； (3)若BE＝8，sinB＝

5，求DG的长， 13

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】

分析：A．原式不能合并，错误；

B．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断； C．原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断． 详解：A．不是同类项，不能合并，故A错误； B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B错误； C．（ 2x 2 ）3＝8x 6，故C错误； D．x8÷x3＝x5，故D正确．

故选D．

点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解. 【详解】

A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；

B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符； C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意； D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】

本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据平均数的定义进行求解即可得． 【详解】

根据折线图可知该球员4节的得分分别为：12、4、10、6， 所以该球员平均每节得分=故选B． 【点睛】

本题考查了折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的求解方法．

124106=8，

44．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据中位数的定义直接求解即可． 【详解】

把这些数从小到大排列为：分，90分，95分，95分，96分，96分， 则该同学这6次成绩的中位数是：

＝95分；

故选：B． 【点睛】

此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

5．D

解析：D 【解析】 如图，连接BE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°． ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°．

∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°． 在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=23． ∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8．

∴矩形ABCD的面积=AB•AD=23×8=163．故选D．

考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．

6．A

解析：A 【解析】

试题解析：∵x+1≥2， ∴x≥1． 故选A．

考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答

【详解】

三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况 故本题答案应为：A 【点睛】

熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM，再由AN平分∠MAB，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB，最后利用三角函数解答即可. 【详解】

由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠MAN=∠DAM，

∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，

2AD623， ∴AM=33故选：B． 【点睛】

本题考查了矩形 的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM,

9．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A（﹣3，4）， ∴OA=3242=5， ∵四边形OABC是菱形，

∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故B的坐标为：（﹣8，4），

kk得，4=，解得：k=﹣32．故选C．

8x

考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

将点B的坐标代入y

10．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

解：由题意可知：v0，h0 ， ∴sv (h0)中，当v的值一定时，s是h的反比例函数， hv (h0)的图象当v0，h0时是：“双曲线”在第一象限的分支. h∴函数s故选C.

11．A

解析：A 【解析】

从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近， 故选A．

12．C

解析：C 【解析】

A、6不能化简；B、12=23，故错误；C、18=32，故正确；D、36=6，故错误； 故选C．

点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

二、填空题

13．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可

解析：【解析】 【分析】

连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积. 【详解】

连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4， 由勾股定理可得BO=3， 所以BD=6，

即可得菱形的面积是

1×6×8=24． 2

考点：菱形的性质；勾股定理.

14．n＜2且【解析】分析：解方程得：x=n﹣2∵关于x的方程的解是负数∴n﹣2＜0解得：n＜2又∵原方程有意义的条件为：∴即∴n的取值范围为n＜2且

解析：n＜2且n【解析】 分析：解方程

3 23xn2得：x=n﹣2， 2x13xn2的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2． 2x1∵关于x的方程

又∵原方程有意义的条件为：x∴n的取值范围为n＜2且n113，∴n2，即n． 2223． 215．∠ADE=∠ACB（答案不唯一）【解析】【分析】【详解】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

解析：∠ADE=∠ACB（答案不唯一） 【解析】 【分析】 【详解】

相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.由此可得出可添加的条件： 由题意得，∠A=∠A（公共角），

则添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB； 添加：

ADAE，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB. ACAB2316．【解析】根据弧长公式可得：=故答案为 解析：π

【解析】

根据弧长公式可得：故答案为

6022=， 18032. 317．【解析】【分析】过作轴过作轴于于是得到根据反比例函数的性质得到根据相似三角形的性质得到求得根据三角函数的定义即可得到结论【详解】过作轴过作轴于则∵顶点分别在反比例函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案

解析：5． 【解析】 【分析】

过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDOACO90，根据反比例函数的性质得到SBDO251，SAOC，根据相似三角形的性质得到22OBSBODOB5，根据三角函数的定义即可得到结论． ，求得5OASOACOA【详解】

过A作ACx轴，过B作BDx轴于， 则BDOACO90， ∵顶点A，B分别在反比例函数y∴SBDO15x0与yx0的图象上， xx51，SAOC， 22∵AOB90，

∴BODDBOBODAOC90， ∴DBOAOC， ∴BDO:OCA，

∴

SBODSOAC5OB215， OA22∴

OB5， OAOB5， OA∴tanBAO故答案为：5．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

18．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于a和c的等式整理后即可得到的答案【详解】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0整理得：

解析：【解析】 【分析】

根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案． 【详解】 解：根据题意得： △＝4﹣4a（2﹣c）＝0， 整理得：4ac﹣8a＝﹣4， 4a（c﹣2）＝﹣4，

∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程， ∴a≠0，

等式两边同时除以4a得：c21， a1c2， a故答案为：2． 【点睛】

则

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．

19．【解析】【分析】过点E作交AG的延长线于H根据折叠的性质得到根据三角形外角的性质可得根据锐角三角函数求出即可求解【详解】如图过点E作交AG的延长线于H厘米`根据折叠的性质可知：根据折叠的性质可知：（ 解析：423 【解析】 【分析】

过点E作EHAG交AG的延长线于H,根据折叠的性质得到CCAG15,

o根据三角形外角的性质可得EAGEGA30o,根据锐角三角函数求出GC,即可求解. 【详解】

如图，过点E作EHAG交AG的延长线于H，

C15,AEEG2厘米，`

根据折叠的性质可知：CCAG15,

oEAGEGA30o, AG2HG2EGcos30o22323, 2根据折叠的性质可知：GCAG23,

BEAE2,

BCBEEGGC2223423.（厘米）

故答案为：423. 【点睛】

考查折叠的性质，解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

20．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时有两种情况：①当点B′落在矩形内部时如答图1所示连结AC先利用勾股定理计算出AC=5根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°而当△CEB′为直角三角

解析：3或． 【解析】 【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC=

=5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2，

设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3．

，

三、解答题

21．（1）【解析】 【分析】

（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；

（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得． 【详解】

解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为

3 （2）应对甲店作出暂停营业的决定 101053，

201510510故答案为

3； 10（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为（元），

乙店每售出一台电脑的平均利润值为（元）， ∵248＞204，

1602020015240103205＝204

501608200102401432018＝248

50∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店； 又两店每月的总销量相当， ∴应对甲店作出暂停营业的决定． 【点睛】

本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及加权平均数的定义．

22．（1）m23n2，2mn；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a＝7或a＝13． 【解析】 【分析】 【详解】

(1)∵ab3(mn3)2， ∴ab3m23n22mn3， ∴a＝m2＋3n2，b＝2mn． 故答案为m2＋3n2，2mn．

(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4． 故答案为13，4，1，2(答案不唯一)． (3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn． ∵4＝2mn，且m、n为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， 12＝7，或a＝12＋3×22＝13． ∴a＝22＋3×

23．（1）2000；（2）A型车17辆，B型车33辆 【解析】

试题分析：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．

试题解析：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，

根据题意得

答：今年A型车每辆2000元．

， 解之得x=1600， 经检验，x=1600是方程的解．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m 解之得m≥

， ∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000，

∴y随m 的增大而减小， ∴当m=17时，可以获得最大利润． 答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆． 考点：（1）一次函数的应用；（2）分式方程 24．(1)见解析;(2)243. 【解析】 【分析】

（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；

（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可． 【详解】

证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD=∠DBF， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBF， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=ED，

∴平行四边形BFDE是菱形； （2）连接EF，交BD于O，

∵∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=30°， ∴BD=DC=12， ∵DF∥AB， ∴∠FDC=∠A=90°， ∴DF=DC1243， 33在Rt△DOF中，OF=DF2OD2∴菱形BFDE的面积=【点评】

4326223，

11×EF•BD＝×12×43=243． 22此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 25．(1)证明见解析；(2)AD=xy；(3)DG=【解析】 【分析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证； （2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可． 【详解】

(1)如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线；

(2)连接DF，由(1)知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴AB3013． 23AD，即AD2=AB•AF=xy， ADAF则AD=xy ；

(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=设圆的半径为r，可得解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=

OD5， OB13r5， r813AF5， AE13550=， 1313∴AF=AE•sin∠AEF=10×∵AF∥OD，

5013AF1310，即DG=AD， ∴AG23DGOD513∴AD=AB·AF18503013， 1313则DG=

133033013． 231323

【点睛】

圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．