三角函数与反三角函数
第一部分 三角函数公式
·两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A） Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B） ·万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
·降幂公式
sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα·cscα ·三倍角公式：
sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1) ·n倍角公式：
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·其它公式
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^ csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) ·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 。诱导公式
sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(cos(
-a) = cosa cos(-a) = sina sin(+a) = cosa 222+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa 2sinasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =
cosa 其他非重点三角函数 csc(a) =
11 sec(a) =
cosasinaeae-a cosh(a)=
2sinh(a)
cosh(a) 双曲函数
ea-e-asinh(a)=
2 tg h(a)=
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：
3±α及±α与α的三角函数值之间的关系：
22sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα
2222-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα 2222333sin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotα
222333cot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinα
22233tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα (以上k∈Z)
22sin（
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =
A2B22ABcos()sin
tarcsin[(AsinBsin)AB2ABcos()22
同角关系
sec^2α=1/cos^2α=tan^2α+1 csc^2α=1/sin^2α=cot^2α+1 tanαcotα=1 sinαcscα=1 cosαsecα=1 三角形中的一些结论：(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
三角形中三角函数基本定理
【正弦定理】
式中R为
【余弦定理】
ABC的外接圆半径
【勾股定理】 在直角三角形(C为直角)中，勾方加股方等于弦方(图1.4)，即
勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理. 【正切定理】
或
【半角与边长的关系公式】
式中，r为ABC的内切圆半径，且
式中S为
三角函数的图形
ABC的面积.
各三角函数值在各象限的符号
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈2Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1,1］ 时x=2kπ时2ymax=1 ymax=1 x=2kπ+π时x=2kπ- 时ymin=-1 ymin=-1 2 ［-1，1］x=2kπ+周期为2π 奇函数 周期为2π 偶函数 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 奇偶性 周期为π 奇函数 周期为π 奇函数 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z) 单调性 ,2kπ+ ］22上都是增函数；在2［2kπ+ ,2kπ+π］23上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-在［2kπ-π，在(kπ-，2kπ］上都是增2函数；在［2kπ，kπ+)内都是2kπ+π］上都是2减函数(k∈Z) 增函数(k∈Z)
反三角函数图像与反三角函数特征
反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点 反正弦曲线图像与特征 反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)： 拐点(同曲线对称中心)：1
反正切曲线图像与特征 反余切曲线图像与特征 ，该点切线斜率为，该点切线斜率为－1 拐点： 拐点(同曲线对称中心)：线斜率为1 1 渐近线： ，该点切 ，该点切线斜率为－ 渐近线：
名称 反正割曲线 方程 反余割曲线 图像 顶点 渐近线 性质 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈〔-, 〕的反22函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty 定义 y=cosx(x∈y=tanx(x∈(- , 〔0,π〕)的反函2数，叫做反余 )的反函数，叫弦函数，记作2x=arccosy 做反正切函数，记作x=arctany 理解 arcsinx表示属于［-,］ 22且正弦值等于x的角 arccosx表示arctanx表示属于arccotx表示属属于［0，π］，于(0，π)且余切(-,)，且正切且余弦值等于值等于x的角 22x的角 值等于x的角 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ ［0，π］ (-∞，+∞) (-(-∞，+∞) (0，π) 在(-∞，+∞)上是减函数 arccot(-x)=π-arccotx cot(arccotx)=x(x∈R) arccot(cotx)=x(x∈(0,π)) ，］ 22性在〔-1，1〕上是单调性 质 增函数 arcsin(-x)=-arcsi奇偶性 nx 周期性 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)恒等式 =x(x∈［-,］) 22值域 ［-互余恒等式
，) 22在［-1，1］上在(-∞，+∞)上是增是减函数 数 arccos(-x)=π-arctan(-x)=-arctaarccosx nx cos(arccosx)=tan(arctanx)=x(xx(x∈［-1,1］) ∈arccos(cosx)=R)arctan(tanx)=xx(x∈［0,π］) （x∈(-,)） 22arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=(X∈R) 22
arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) =
