2017年广西桂林中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1．已知集合A=｛0，1，2},B=｛x|x2﹣5x+4＜0｝，则A∩(∁RB)的真子集个数为( ） A．1 B．3 C．4 D．7 2．设复数z满足A．5 B． C．2 D．式an=（ ）
A．4n﹣1 B．4n C．3n D．3n﹣1
4．若单位向量，的夹角为，则向量( )
A． B． C． D．
，则｜z｜=（ )
3．在等比数列｛an｝中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公
与向量的夹角为
5．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ）
A．24 B．32 C．48 D．84
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（ )
学必求其心得，业必贵于专精
A．66 B．33 C．16 D．8 7．若将函数A．
B． C．
的图象向左平移φ（φ＞0）个单位,所得图 D．
象关于原点对称,则φ最小时，tanφ=（ ）
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为( ）
A．36πcm2 B．πcm2 C．80πcm2 D．100πcm2
9．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用
学必求其心得，业必贵于专精
16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（ )
A． B． C． D．
10．已知双曲线与双曲线的离心率相
同，且双曲线C2的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2,为( ) A．4 B．
C．8 D．
，则双曲线C2的实轴长
11．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．4 D．7
12．已知函数f（x）=xlnx+x（x﹣a）2（a∈R）,若存在得f（x)＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是( ）
,使
学必求其心得，业必贵于专精
A．
B． C． D．(3，+∞）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设实数x，y满足约束条件值为﹣4，则z的最大值为 ． 14．已知{an}满足
，则a6﹣a5的值为 ．
，目标函数z=3x﹣2y的最小
15．关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学,每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y)的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ．（用分数表示） 16．已知从圆C：（x+1)2+（y﹣2）2=2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点,且有|PM|=｜PO|，则当｜PM｜取最小值时点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知函数别为a，b，c． （1)当BC的中点,求
时,求函数f（x）的取值范围; 的值．
（2）若对任意的x∈R都有f（x)≤f（A）,b=2，c=4，点D是边
，在△ABC中，角A，B，C的对边分
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18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表： 质量指标值m
等级
布直方图：
m＜185 三等品
185≤m＜205
二等品
m≥205 一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分
（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？
(Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
(III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月\"活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
19．如图,已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形,EA⊥底面ABCD,FD∥EA，且
．
（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明． （Ⅱ)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．
学必求其心得，业必贵于专精
20．如图所示,在△ABC中,AB的中点为O,且OA=1，点D在AB的延长线上，且
．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M
与边BC,边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系． (Ⅰ)求曲线Γ的方程；
（Ⅱ)设动直线l交曲线Γ于E、F两点,且以EF为直径的圆经过点O,求△OEF面积的取值范围．
21．已知f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣x2，其中a∈R．
（1）若a=0，且曲线f（x)在x=t处的切线l过原点，求直线l的方程；
（2）求f（x）的极值；
（3）若函数f（x)有两个极值点x1，x2（x1＜x2)，证明f（x1)+f(x2）＜a2+3a．
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四、选修4-4:坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：,曲线C2：
(θ
为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标
系．
（Ⅰ）求曲线C1,C2的极坐标方程； （Ⅱ)曲线C3：（t为参数，t＞0,
）分别交C1，A,B两点，当α取何值时，取得最大值．
五、选修4—5：不等式选讲 23．已知函数f(x)=｜x+1|．
（Ⅰ) 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若｜x|＞1，｜y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
C2于
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2017年广西桂林中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份)
参与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A=｛0，1，2}，B={x｜x2﹣5x+4＜0}，则A∩（∁RB）的真子集个数为（ ） A．1 B．3 C．4 D．7
【考点】1H：交、并、补集的混合运算；16：子集与真子集． 【分析】运用二次不等式的解法，化简集合B，运用交集、补集的定义，再由真子集的求法，即可得到所求个数． 【解答】解:集合A={0，1，2},
B={x|x2﹣5x+4＜0｝=｛x|1＜x＜4｝,
则A∩(∁RB)={0,1，2}∩{x≥4或x≤1}=｛0,1}, 真子集为∅，{0},{1}．共3个． 故选:B．
2．设复数z满足A．5 B．
C．2 D．
，则|z｜=（ ）
【考点】A8:复数求模．
【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,再由复数模的计算公式得答案． 【解答】解：由
，得z+1=z﹣2﹣3i•z+6i，即3i•z=﹣
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3+6i， ∴∴|z|=故选：B．
=
．
，
3．在等比数列｛an｝中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公式an=（ ）
A．4n﹣1 B．4n C．3n D．3n﹣1 【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】设出等比数列的首项，结合已知列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．
【解答】解：设等比数列{an｝的首项为a1,由公比q=4,S3=21， 得则故选:A．
，∴a1=1．
．
4．若单位向量夹角为（ ） A．
B．
, C．
的夹角为 D．
，则向量与向量的
【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】可知
行数量积的运算即可求出量
与向量
的夹角．
【解答】解：
,这样进
，这样即可得出向
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=∴∴向量故选A．
；
；
与
的夹角为
．
5．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人,对各班的卫生进行检查,若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）
A．24 B．32 C．48 D．84
【考点】D8:排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3步进行分析:①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班,②、剩余的1个理科班的学生去检查其他的2个理科班，③、将2个文科班学生安排检查剩下的2个理科班，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，有C32A22=6种情况;
②、剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班,有2种情况，
③、将2个文科班学生全排列,安排检查剩下的2个理科班，有A22=2种情况；
则不同安排方法的种数6×2×2=24种； 故选：A．
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6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为( ）
A．66 B．33 C．16 D．8 【考点】EF：程序框图．
【分析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时,不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为66． 【解答】解：初始值n=4,x=2，程序运行过程如下表所示： v=2，
i=4，v=，2×2+3=7, i=2，v=14+2=16， i=1，v=16×2+1=33, i=0,v=33×2+0=66，
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i=﹣1 跳出循环，输出v的值为66, 故选：A．
7．若将函数A．
B．
C．
D．
的图象向左平移φ（φ＞0）个
单位,所得图象关于原点对称，则φ最小时,tanφ=( ）
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，求得φ的最小值,可得tanφ的值．
【解答】解：将函数
＞0）个单位,可得y=cos(2x+2φ+再根据所得关于原点对称,可得2φ+值为
，
=
,
∴tanφ=tan故选：B．
的图象向左平移φ（φ
）的图象;
=kπ+
,k∈Z，∴φ的最小
8．如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )
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A．36πcm2 B．πcm2 C．80πcm2 D．100πcm2 【考点】LG:球的体积和表面积．
【分析】据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出球的表面积．
【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正三角形，球的截面圆为正三角形的内切圆（如图1）， ∴内切圆的半径为O1D=2∴d=8﹣6﹣8=2， ∴球的半径为：R R2=（R﹣2）2+（2故选：B
）2，解得R=4
则球的表面积为4πR2=π
，
∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
9．如图,有一直角墙角,两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（ ）
学必求其心得，业必贵于专精
A． B．
C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】求矩形ABCD面积的表达式,又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可． 【解答】解:设AD长为x，则CD长为16﹣x 又因为要将P点围在矩形ABCD内， ∴a≤x≤12
则矩形ABCD的面积为x（16﹣x)， 当0＜a≤8时，当且仅当x=8时,u= 当8＜a＜12时，u=a（16﹣a） u=
，
分段画出函数图形可得其形状与C接近 故选：B．
学必求其心得，业必贵于专精
10．已知双曲线与双曲线
的离心率相同，且双曲线
C2的左、右焦点分别为F1，F2,M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，A．4 B．
C．8 D．
,则双曲线C2的实轴长为（ ）
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据条件先求出双曲线的离心率,然后利用a,b,c的关系求出渐近线的方程，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：双曲线c1=即c=
=2
，则离心率e=
=
=
中，a1=，
=
，
，
a，则b2=c2﹣a2=a2，得b=a，即
设双曲线的渐近线为y=则右焦点F2, ∵OM⊥MF2， ∴MF2=则渐近线y=OF2M=60°，
则OF2=2MF2，即c=2b， 则三角形的面积b•2b•则2a=
=，
b2,
=x=
x，即bx﹣ay=0,
，
x,则渐近线的倾斜角∠MOF2=30°，∠
=，
OF2MF2sin60°=
×
则b2=16，则a2=3b2=48，则a=4
学必求其心得，业必贵于专精
即双曲线C2的实轴长为故选:D．
，
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）
A． B． C．4 D．7
【考点】L！：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知,直观图是正方体截去两个三棱锥所得,利用所给数据，即可求出体积．
【解答】解：由三视图可知，直观图是正方体截去两个三棱锥所得，体积为故选A．
=，
212．已知函数f（x)=xlnx+x（x﹣a）（a∈R），若存在，
使得f(x）＞xf'(x）成立，则实数a的取值范围是（ ）
学必求其心得，业必贵于专精
A．+∞）
B． C． D．（3，
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性． 【分析】由f（x)＞xf'(x)成立，可得［=则存在(x+=则存在a＞（x+当x=故选：C
]′＜0,设g（x）
+2（x﹣a）＜0成立，a＞
′＜0,设g（x）
+2
=lnx+（x﹣a）2，
，使得g′（x)=
）min．
=lnx+（x﹣a）2，
，使得g′（x）＜0成立,即g′（x)=
成立．
=
，∴
．当且仅
)min．又x+时取等号．
≥2
【解答】解：由f（x）＞xf'（x）成立，可得［
（x﹣a）＜0成立,即a＞x+
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设实数x，y满足约束条件
的最小值为﹣4，则z的最大值为 17 ． 【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线y=代入方程求解a可得结论,然后求z的最大值．
【解答】解:作出约束条件所对应的可行域（如图）, 目标函数z=3x﹣2y可化为y=
x﹣
z，平移直线y=
x可知，
x，作出最优解，，目标函数z=3x﹣2y
学必求其心得，业必贵于专精
当直线经过点C（﹣2，﹣1）时， 截距取最大值，z最小，
∴(﹣2,﹣1）在直线y=a上所以a=2，
所以直线z=3x﹣2y经过图中A（5，﹣1）时在y轴截距最小,z最大为3×5﹣（﹣2）=17； 故答案为：17．
学必求其心得，业必贵于专精
14．已知{an}满足为 96 ．
【考点】8H：数列递推式． 【分析】分别令
，则a6﹣a5的值
n=1,2,3，4，由数列的递推式
依次推出a3，a4，a5，a6，由此能
求出a6﹣a5的值．
【解答】解：∵{an｝满足∴
，a3=2， ，a4=6, ,a5=24， ，a6=120．
∴a6﹣a5=120﹣24=96． 故答案为：96．
,
15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学,每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56,那么可以估计π≈ 【考点】CE：模拟方法估计概率．
【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应
．(用分数表示）
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区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为的面积，二者相等即可估计π的值．
【解答】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y)，对应区域的面积为1,
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y)，满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为m=56， 所以故答案为:
﹣,由几何概
型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形
﹣，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数
=
﹣．
，所以π=
．
16．已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有｜PM|=｜PO|，则当｜PM|取最小值时点P的坐标为 （﹣【考点】J7：圆的切线方程．
【分析】⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程,求出圆心C，半径r．设P(x，y）．由切线的性质可得:CM⊥PM，利用｜PM｜=｜PO|，可得2x1﹣4y1+3=0．要使｜PM｜最小，只要｜PO｜最小即可． 【解答】解：如图所示，⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+(y﹣2）2=2，圆心C（﹣1，2），半径r=因为|PM｜=｜PO|，
所以｜PO|2+r2=|PC｜2（C为圆心，r为圆的半径），
． ，
） ．
学必求其心得，业必贵于专精
所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2,即2x1﹣4y1+3=0．要使｜PM|最小，只要|PO｜最小即可．
当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM｜最小,此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣）．
故答案为（﹣
,)．
，
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知函数
B,C的对边分别为a，b，c． （1）当的中点，求
时，求函数f（x）的取值范围；
的值．
(2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f(A），b=2，c=4，点D是边BC【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式对已知函数解析式进行变形处理，得到：f（x）=求得函数的值域；
，由此
，在△ABC中，角A，
学必求其心得，业必贵于专精
（2）利用余弦定理和数量积的计算方法解答． 【(1)=当
所以f（x）∈；
（2)由对任意的x∈R都有f(x）≤f(A)得：由
=
=
所以
解答， 时，
，
】=
解：
，
,
,
．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表： 质量指标值m
等级
布直方图：
m＜185 三等品
185≤m＜205
二等品
m≥205 一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分
(Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合
学必求其心得，业必贵于专精
“一、二等品至少要占全部产品90％”的规定？
（Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B8:频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.875，由于该估计值小于0。90，由此不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90％”的规定．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0。125，在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件,三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件,二等品1件，三等品1件;②一等品1件，二等品2件,三等品1件，由此能求出抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．
(Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为200。4“质量提升月”活动后,产品质量指标值X近似满足X～N,则E(X)=218．由此能求出“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17。6．
【解答】解：(Ⅰ)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0。200+0。300+0.260+0.090+0。025=0。875， 由于该估计值小于0。90，
学必求其心得，业必贵于专精
故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90％”的规定．
（Ⅱ)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0。375、0.5、0。125，
故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中,一等品3件，二等品4件，三等品1件,
再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件， 故所求的概率
．
（Ⅲ)“质量提升月\"活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：
170×0。025+180×0。1+190×0。2+200×0。3+210×0.26+220×0。09+230×0.025=200。4
“质量提升月”活动后,产品质量指标值X近似满足X～N，则E（X）=218．
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了：218﹣200.4=17。6．
19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形,EA⊥底面ABCD,FD∥EA,且
．
（Ⅰ)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线
学必求其心得，业必贵于专精
与平面ECF平行，要求保留作图痕迹,但不要求证明． （Ⅱ)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．
【考点】MI:直线与平面所成的角；LT：直线与平面平行的性质．
【分析】（Ⅰ)取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求；
（Ⅱ）以点A为原点,AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A，E，B,C，F的坐标，进一步求出平面ECF的法向量及θ,则sinθ=|cos＜所求． 如图所示：
，设直线EB与平面ECF所成的角为
｜=
．
＞｜=|
【解答】解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为
(Ⅱ）以点A为原点,AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系,如图．
由已知可得A（0,0,0），E（0,0，2)，B（2,0，0），C（2，2，0），F
学必求其心得，业必贵于专精
（0，2，1）， ∴
，
，
，
设平面ECF的法向量为由
，得
，
，
取y=1，得平面ECF的一个法向量为设直线EB与平面ECF所成的角为θ, ∴sinθ=|cos＜
，
．
＞｜=||=
20．如图所示，在△ABC中,AB的中点为O，且OA=1,点D在AB的延长线上，且
．固定边AB，在平面内移动顶点C,使
得圆M与边BC,边AC的延长线相切,并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系． （Ⅰ)求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．
学必求其心得，业必贵于专精
【考点】J3:轨迹方程．
【分析】(Ⅰ）确定点C轨迹Γ是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线Γ的方程; （
Ⅱ
）
可
设
直
线
,进而表示面积，即可求△OEF
面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得AB=2，BD=1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD=AT1，BD=BT2,CT1=CT2 所
D=4＞AB=2…
所以点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为
．…
以
AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2B
(Ⅱ）由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线OE，OF斜率存在
且
不
为
0
，
所…
以
可
设
直
线
学必求其心得，业必贵于专精
由
，
所以又
OE
得
; ,⊥
，，同理可得：
OF,所以…
令t=k2+1，则t＞1且k2=t﹣1，所以
=
…
又
,所以
，
所
以
,
所以△OEF面积的取值范围为
．…
，
所
以，所以
学必求其心得，业必贵于专精
21．已知f（x）=(x2﹣2ax）lnx+2ax﹣（2）求f（x)的极值；
x2，其中a∈R．
(1)若a=0,且曲线f（x）在x=t处的切线l过原点，求直线l的方程; （3）若函数f（x)有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明f（x1）+f（x2）＜
a2+3a．
【考点】6D:利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出导函数,根据切线的和导函数的关系求解 即可；、
(2)求出导函数f’(x）=（2x﹣2a）lnx，对a进行分类讨论，在不同区间求出函数的单调性，进而判断函数的最值问题；
（3）根据（2）可知a的范围，得出f（x1）+f（x2）=f（a）+f（1），作
差
放，构造函数
【解答】解：（1）当a=0时，k=tlnt﹣
t,
t，得lnt=﹣
,t=
．所以k=f'（﹣
)=﹣
，
缩=
,利用导函数，f’（x）
得出函数的单调性，得出g（a）＞g(1）=0，得出结论．
=2xlnx，所以切线I的斜率k=f'(t）=2tlnt，又直线I过原点，所以，由2tlnt=tlnt﹣
可
得
学必求其心得，业必贵于专精
故切线I的方程为y=﹣2a）lnx，
．
x2，可得f’（x）=（2x﹣
（2）由f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣
①当a≤0时f’（x)＞0得x＞1,f'（x）＜0得0＜x＜1，
f(x）在（1,+∞）上单调递增,在（0，1）上单调递减，f（x）在x=1时取到极小值,且f(1）=2a﹣
,f(x）没有极大值．
②当0＜a＜1时,f'(x）＞0得x＞1或0＜x＜a，f'（x）＜0得a＜x＜1．f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增,在（a，1）上单调递减,
f（x)在x=a时取到极大值，且f（a）=﹣a2lna+时取到极小值，且f（1)=2a﹣没有极大值也没有极小值；
④当a＞1时f'(x)＞0得x＞a或0＜x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜a，f(x)在（0,1），（a,+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，f（x）在x=a时取到极小值,且f（a）=﹣a2lna+极大值,且f(1）=2a﹣大值;
当0＜a＜1时,f（x）在x=a时取到极大值﹣a2lna+取到极小值2a﹣
；
，在x=1
当a=1时,f（x）没有极大值也没有极小值； 当a＞1时，f（x）在x=a时取到极小值时取到极大值
．
，在x=1时
；
,f(x）没有极
，．f（x）在x=1时取到
；
,f（x）在x=1
③当a=1时f’(x)≥0恒成立恒成立，f（x)在R上单调递增,f（x）
综上可得，当a≤0时,f(x）在x=1时取到极小值2a﹣
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（3）由（2）知当a＞0且a≠1时，f（x）有两个极值f(x）点x1，x2，且
f（x1）+f(x2）=f（a）+f（1），
=
，
设≠即
，则
1
可
得
g
（
a
）．
＞
g(1)=0
，所以g（a)，
所
以，
在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，由a＞0且a
四、选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:C2:
为极轴,建立极坐标系．
(Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程; （Ⅱ）曲线C3：
（t为参数，t＞0，
取得最大值．
）
分别交C1,C2于A,B两点，当α取何值时,程．
【分析】(Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ,x2+y2=ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程; （
=
Ⅱ
）=，曲线
（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方
学必求其心得，业必贵于专精
=
即可得出结论．
，
【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ,y=ρsinθ，x2+y2=ρ2,C1的极坐标方程为
为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，设A（ρ1,α），B(ρ2,α），则所
=
=
又所以当
,
C2的普通方程为x2+(y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，对应极坐标方程
）
，ρ2=2sinα，
以=，
，
，即
时，
取得最大值
．
，
五、选修4-5：不等式选讲 23．已知函数f（x）=|x+1｜．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
(Ⅱ） 若｜x|＞1,｜y｜＜1，求证：f（y)＜｜x|•f（
)．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5:绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ） 分类讨论，解不等式f（x+8）≥10﹣f(x）； （Ⅱ）利用分析法证明不等式．
【解答】（Ⅰ）解:原不等式即为｜x+9|≥10﹣|x+1｜． 当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1,解得x≤﹣10；
学必求其心得，业必贵于专精
当﹣9≤x≤﹣1时,则x+9≥10+x+1，此时不成立; 当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0． 所以原不等式的解集为｛x｜x≤﹣10或x≥0｝． （Ⅱ）证明：要证
，即
则
=因
为
|x|2
＞
所以
，只需证明
=
=． 1,｜
y|2
＜
1
=
，原不等式得证．
． 有=
，则
，学必求其心得，业必贵于专精
2017年7月6日
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