数列求和—裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题

裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. an111n(n1)nn1 a11nn(n2)2(1n1n2)

┈┈ an1n(nk)1k(11nnk)

apnAn2BnC（分母可分解为n的系数相同的两个因式） 2. a11n(2n1)(2n1)2(12n112n1)

a1n(2n1)(2n3)12(112n12n3)

a1n(6n5)(6n1)16(16n516n1)

3. a11nn(n1)(n2)21n(n1)1(n1)(n2)

4. a2n111n(2n11)(2n1)2n112n1

a2n11n(2n1)(2n+11)2n12n+11

a22(n1)nnnn(n1)2nn(n1)12n1n2n11(n1)2n

5.

1nn1n1n

┈┈ 1nn212(n2n)

1nnk1k(nkn)

- 总结

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1.在数列an中，an的和.

212n，且bn，求数列bn的前n项aan1n1n1nn12.已知数列an是首相为1，公差为1的等差数列，bn1，Sn为bn的前n项和，

anan2证明：

13Sn. 34 - 总结

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3.等比数列a2a2n各项均为正数，且13a21,a39a2a6，

（1）求an的通项公式；

（2）设b1nlog3a1log3a2log3an，求的前n项和. bn

4. 设数列a1n满足a10且1a11，

n11an（1）求an的通项公式； （2）设b1an1nnn，记Snbk，证明：Sn1.

k1

- 总结

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5. （江南十校2015联考）已知各项为正数的数列an满足:

an22anan24an1an(nN),且a11,a24,

（1） 证明：数列（2） 设bn

6.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,S54a36,且a1,a3,a9成等比数列， （1）求数列an的通项公式； （2）求数列

- 总结

a是等差数列 ;

n2n1，bn的前n项和为Sn，求证：Sn1. anan11的前n项和Tn. Sn - -

7.等差数列an中，a1a36,a1121， （1）求数列an的通项公式； （2）设b1nn(aSnb1b2bn.

n3)，求

8.(2010)已知等差数列an满足：a37,a5a726,an的前n项和为Sn， （1）求an及Sn； （2）令b1na2(nN)，求数列bn的前n项和Tn. n1

- 总结

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9.（2013全国1）已知等差数列an的前n项和为Sn，满足S30,S55， （1）求an的通项公式； （2）求数列1a的前n项和.

2n1a2n1

10.(2013)正项数列a2n满足：an(2n1)an2n0，

（1）求an的通项公式； （2）令b1n(n1)a，求数列bn的前n项和Tn.

n

- 总结

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11.(2017全国3)设数列an满足a13a2(2n1)an2n， （1）求an的通项公式； （2）求数列an2n1的前n项和.

12.（2015）已知数列an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38， （1）求an的通项公式；

（2）设San1n为数列an的前n项和，bnS，求数列bn的前n项和.

nSn1

- 总结

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13.（2014适应性训练）已知数列an是等差数列，a12,a2,a3,a41成等比数列， （1）求an的通项公式； （2）设bn

14.（2013育明高中模拟）已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其

2前n项和，且满足anS2n1(nN)，数列bn满足bn2，求数列bn的前n项和Sn.

n(an2)11，Tn为数列bn的前anan1n项和，

（1）求a1,d和Tn；

（2）是否存在实数，使对任意的(nN)，不等式Tnn8恒成立？若存在，请求出实数的取值围；若不存在，说明理由.

- 总结

 - -

215.Sn为数列an的前n项和，已知an0,an2an4Sn3，

（1）求an的通项公式； （2）设bn

16.已知等比数列an的公比q1，a1和a4的等比中项为33，a2和a3的等差中项为6，

5n4an)(nN)， 数列bn满足bnlog3(31，求数列bn的前n项和. anan1（1）求数列an和bn的通项公式； （2）设cn3m,Tn是数列cn的前n项和，求使的Tn对所有nN恒成立的最

bnbn120小整数m的值.

- 总结