5．向心加速度
学 习 目 标 1．理解向心加速度的产生和向心加速度的概念．(重点) 2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．(重点) 3．掌握应用向心加速度公式求解有关问题的方法．(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] [知识梳理]
一、感受圆周运动的向心加速度 1．实例分析
(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向太阳中心．
(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．小球受到的力有重力、桌面的支持力、细线的拉力．其中重力和支持力在竖直方向上平衡，合力即细线的拉力总是指向圆心．
2．结论猜测
一切做匀速圆周运动的物体的合力和加速度方向均指向圆心． 二、向心加速度的定义、公式和方向
1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度．
v2
2．公式：(1)an＝r；(2)an＝ω2r. 3．方向：沿半径方向指向圆心，时刻与线速度方向垂直．
[基础自测]
1．思考判断
(1)匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心．(√)
知 识 脉 络(教师独具) 1/9
(2)匀速圆周运动的加速度总指向圆心．(√) (3)匀速圆周运动是加速度不变的运动．(×) (4)圆周运动的加速度一定指向圆心．(×)
(5)曲线运动中，v1、v2和Δv＝v2－v1的方向一般不在一条直线上．(√) (6)匀速圆周运动的向心加速度大小不变．(√) 2．下列关于向心加速度的说法中正确的是( ) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误．]
3．关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是( ) A．在赤道上最大 B．在两极上最大 C．地球上处处相同 D．随纬度的增加而增大
A [物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式a＝ω2r知：自转的加速度由赤道向两极逐渐减小，因此，选项A正确，选项B、C、D错误．]
4．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) v2
A．由a＝ 知a与r成反比
rB．由a＝ω2r知a与r成正比 v
C．由ω＝r知ω与r成反比 D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
D [由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k是定值．只有当v一
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定时，才有a与r成反比；只有当ω一定时，才有a与r成正比．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
向心加速度的理解 1．向心加速度的物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
3．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( ) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B．向心加速度表示角速度变化的快慢 C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D．匀速圆周运动的向心加速度不变
C [匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是变化
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的，所以D项错误．]
向心加速度的特点
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢．
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．
[针对训练]
1.如图5-5-1所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
图5-5-1
A．加速度为零 B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
向心加速度的公式及应用 1．向心加速度的几种表达式
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2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比． (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
(4)an与r的关系图象：如图5-5-2所示．由an-r图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
图5-5-2
3．向心加速度的注意要点
(1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算．包括非匀速圆周运动．但an与v具有瞬时对应性．
5-3所示， 如图5-一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间
无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是1
大轮半径的3.当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
图5-5-3
思路点拨：①P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度．
v2
②P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝r计算向
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心加速度．
[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP. aSrS
由向心加速度公式an＝ω2r，得a＝r，
P
P
rS1
故aS＝raP＝3×12 m/s2＝4 m/s2；
P
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，
v2由向心加速度公式an＝r， aPrQ得a＝r，
Q
P
rP
故aQ＝raP＝2×12 m/s2＝24 m/s2.
Q
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
[针对训练]
2．如图5-5-4所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径
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相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
图5-5-4
A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8
D [由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，vc2
2vav212c
所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝r＝2r＝8r＝8ac，即
ava
ωara1
aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；ω＝v＝4，B错误．]
cc
rc
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是( ) A．匀速圆周运动是速度恒定的运动
B．做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体的速度增加得越快 C．做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心
D．物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比 D [匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故A错误．做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向改变，向心加速度越大，速度方向改变的越快，故B错误．只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运动的加速度不指向圆心，故C错误．物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据v＝rω，其线速度与角速度成正比，故D正确．]
2．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内
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做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
B [做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确．]
3．质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( ) A．因为a＝Rω2，所以向心加速度a与轨道半径R成正比 v2
B．因为a＝R，所以向心加速度a与轨道半径R成反比 C．因为a＝4π2f2R，所以向心加速度a与轨道半径R成正比
4π2
D．因为a＝T2R，所以在轨道半径R一定时，向心加速度a与周期T成反比
D [ω一定时，a与轨道半径R成正比，A错误；v一定时，a与轨道半径R成反比，B错误；在f一定时，a与R成正比，C错误；在R一定时，a与T成反比，D正确．]
4．(多选)如图5-5-5所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
图5-5-5
a13
A．a＝2
2
a12B．a＝3
2
a22C．a＝1
3
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a21D．a＝2 3
v2a1r22
BD [由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝r，故a＝r＝3，A错，B对；由于右
21a2r21
边两轮共轴转动，ω2＝ω3，a＝rω2，a＝r＝2，C错，D对．]
3
3
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