专题三：立体几何初步

专题三：立体几何初步

一、 空间几何体结构

1.空间几何体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。 （图如下）

底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面.

侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下）

底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD

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底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥---

4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体

5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点

母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征

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（1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.

下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱台ABCD-A’B’C’D’ 底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台---

（2）圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是 圆台.

圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似 注：棱台与圆台统称为台体。

7.球的结构特征：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。

球心：半圆的圆心叫做球的球心。 半径：半圆的半径叫做球的半径。

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直径：半圆的直径叫做球的直径。 球的表示：用球心字母表示。如：球O 注意：

1.多面体: 若干个平面多边形围成的几何体

2.旋转体: 由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体

二、空间几何体的三视图和直观图

1、空间几何体的三视图：

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形；

2. 空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法的步骤：

（1）在一直图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点o。画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相较于o，且使xoy45（或135）。它们确定的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段。

'''''''' 4

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（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变。平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。 （4）Z轴方向的长度不变。

三、空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下．

1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．

例1:粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图1），它的两底面边长分别是80mm和400mm，高是200mm，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？

分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．

解：如图1所示，O、O1是两底面中心，则OO1是高，设EE1是斜高，E1FOE，在直角

梯形OO1E1E中，

O F E EE1E1F2EF2

22OO1(EOE1O1)

图1

O1E12002(440802)269(mm)， 2因为边数n4，两底边长a440,a/80,斜高h/269，

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S正棱台侧11(cc/)h/n(aa/)h/ 2214(44080)2692.8105(mm2)． 252答：制造这一下料斗约需铁板2.810mm．

评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为

S正棱台侧1(cc/)h/，其中c、c/为两底面周长，h/是正棱台的斜高． 22、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．

例2:已知圆锥的底面半径为R，高为H，其中有一个高为x的内接圆柱．求 （1）圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？ 分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．

解：做圆锥的轴截面，如图2所示．设所求圆柱的底面半径为r，则其侧面积为 S圆柱侧2rx．

rHx， RHH x

RrRx，

Hr S圆柱侧R2R2x． 2x(Rx)2RxHH2R

图2

（2）S圆柱侧的表达式中x的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：

xRHR2RH，底面半径为：rR． 2RH2222HRHV圆柱r2x()2R2H．

2283、球的表面积和体积

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球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用．

8cm，球心不在截面之例3:在球内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5cm、间，求球的面积和体积．

分析：可以用球的截面的性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解决． 解：画出轴截面，如图3．圆O是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两条平行于截面圆的直径， 过O作OC1A1B1于C1，交A2B2于C2． 由于A1B1//A2B2，所以OC2A2B2．

由圆的性质可得，C1、C2分别是A1B1、A2B2的中点． 设两平行平面的半径分别为r1、r2，且r1r2，由题意得：

22B1B2 A2C2C1 O A1r125,r228，

r15,r28．

又OA1、OA2都是球的半径R，

22C图3

AOC1R2r1R25，OC2R2r2R28，

22R25，R281，

解得：R9．

2S球4R236(cm2),V球43R36(cm3)． 34、体积变换问题

体积变换包括体积割补或等积变换，体积割补的目的是为了应用公式计算体积，等积变换的目的是为了以体积为中间媒介，计算相关元素．

例4:在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一个棱锥CA1DD1，求棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比．

分析：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方题和棱锥体积的差来求剩余部分的体积． 解：已知长方题可以看成直四棱柱，设它的地底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的

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体积为VSh．

而棱锥CA1DD1的底面积为

111VCA1DD1(S)hSh，

326余下部分体积为：Sh1S，高为h，故三棱锥CA1DD1的为： 2D1 C1B1A1D 15ShSh． 66C B

A 所以棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比1:5．A 5、“切”、“接”问题

图4

“切”、“接”问题即指一个几何体切于其他几何体或其他几何体内接于这个几何体两种情形，求解这类问题的关键是借助于空间图形或轴截面图形，建立两个几何体基本量之间的联系，从而由已知量求出未知量．

例5:一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

解：设球未取出时高PCh，球取出后水面高PHx，如图5．

因为AC3r,PC3r，

所以以AB为底面直径的圆锥容积为：

A E D C H O B F 11V圆锥AC2PC(3r)23r3r3，

334V球r3．

3球取出后水面下降到EF，水的体积为：

P

图5

111V水EH2PH(PHtan300)2PHr3，

339而V水V圆锥V球， 即r3r19334r3，x315r， 3故球取出后水平面的高为315r．

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四、体积计算中的常用方法例析

1、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1 在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A，A1，D11B1上A的点，且满足A1MA11A1B1，2A1N2ND1，A1P体积．

分析：若用公式V3A1A（如图1），试求三棱锥A1MNP的4

1Sh直接计算三棱锥A1MNP的体积，则需要求出△MNP的面积3和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥PA1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解． 解：

1111112313VA1MNPVPA1MN·S△A1MN·h·A1M·A1N·A1Pa·a·aa．

3323223424评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平

面距离的一个理论依据． 2、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2:如图2，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为AB，AC的

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中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

分析：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEFA1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 解：设棱柱的底面积为S，高为h，其体积VSh． 则三角形AEF的面积为由于VAEFA1B1C1·h·1S． 413S7SSSh，

212475ShSh， 1212则剩余不规则几何体的体积为VVVAEFA1B1C1Sh所以两部分的体积之比为VAEFA1B1C1:V7:5．

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，

则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．

五、点、直线、平面的位置关系

“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。

推理依据的4个公理和定理：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

定 理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

1、直线与直线的位置关系：

异面直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。 空间中两条直线的位置关系有三种：

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面内，有且只有一个公共点相交直线：在同一个平共面直线平行直线：在同一个平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面没注意：为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。

b a  a αb β 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

a//ba//c 用符号语言表示如下：设a,b,c是三条直线，若

c//b注：a,b,c三条直线两两平行，可以记为a//b//c

这个公理实质上就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。

2、直线与平面的位置关系：

一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置关系 公共点 符号表示 直线a在平面α内 无数个 直线a与平面α相交 一个 a 直线a与平面α平行 无 a a// a 图形表示  a   小结：①证线面平行的基本方法：线线平行 线面平行 ②证线线平行的基本方法：线面平行 线线平行

3、平面与平面的位置关系：

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共点两个平面平行：没有公 两个平面相交：有一条公共直线

分类 定义 两个平面平行 没有公共点 α 图象 β 符号表示

强调作图的要求：

（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；

（2）画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线线段，而后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。 平面平行的判定： 方法一：根据定义；

方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌面上交叉放两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。 问题：木工检测水平的原理是什么呢？引出两个平面平行的判定定理。

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

α∥β α∩β=a α 两个平面相交 有且只有一条公共直线 β a 12

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判定定理的符号表示：

若a，b，abA// a//,b//β

对定理的理解：

（1）判定定理的实质是：线面平行⇒面面平行

α

a A b （2）注意是同一平面内的两条相交直线（问是两条平行直线行不行，为什么？） （3）这两条直线都要平行于第二个平面。

六、直线、平面垂直的判定

判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

性质定理：

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

注：空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化，如垂直于同一个平面的两条直线平行等等。

1、两个平面的位置关系

同平面内两条直线的位置关系相类似，两个平面的位置关系可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有： （1）平行—没有公共点；

（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2、两个平面平行的判定定理表述为：

a,a//b,b//// abo3、 两个平面平行具有如下性质：

（1） 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。简述为：“若面面平行, 则线面平行”。

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（2） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。简述为：“若面面 平行,则线线平行”。

（3） 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。 （4） 夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、证明两个平面平行的方法有：

（1）根据定义。证明两个平面没有公共点。由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

（2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

5、两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

七、直线平面平行的判定

判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质定理：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

1、直线与平面的判定及其性质：

①线面平行的判定定理中，包含要素：两线一面. 两线一面的关系是：一线在面外一线在面内. 结论是：线面平行.

b用公式表示为：aa//

a//b②线面平行的性质定理中，包含要素：两线两面. 两线两面的关系是：一线在一面内平行于

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另一面，一线是两面的交线. 结论是：两线平行.

用公式表示为：aa//b

ba//高考真题回顾

一、选择题：(每小题5分，计60分)

题号答案1234567101112 1．(2008全国Ⅱ卷文)正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为（ ）

A．3

B．6

C．9

D．18

2.(2004春招北京文、理)一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30

B. 45

C. 60

D. 75

3.(2008山东文、理)右图是一个几何体的三视图 , 根据图中数据可得该几何体的表面积是( )

(A)9π （B）10π (C)11π (D) 12π

4.(2008湖北文、理)用与球心距离为1的平面去截球， 所得的截面面积为π，则球的休积为( ) A.

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

32882 B. C.82 D. 3335.（2007陕西文）Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，

则球心到平面ABC的距离是（ ） （A）5

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（B）6 （C）10 （D）12

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6.(2007海南、宁夏文、理)已知某个几何体的三视图如下，根据图 中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．

40003cm 3

Ｂ．

80003cm 3Ｃ．2000cm3 Ｄ．4000cm3

7．(2008四川文) 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于( )

（Ａ）2 （Ｂ）22 （Ｃ）32 （Ｄ）42

8.（2005江苏）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2，AA1=1， 则点A到平面A1BC的距离为（ ） A．

03333 B． C． D．3 4249.(2002全国理、全国新课程文,天津文、理)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ） （A）90 （B）60 （C）45 （D）30

10．(2008全国Ⅱ卷理)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ） A．

1 3 B．2 3C．3 3D．

2 311.（2003全国文、理，天津文、理，辽宁、江苏、广东）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π B．4π C．33 D．6π

12．（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ．．．

①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成60角

④DM与BN垂直

以上四个命题中，正确命题的序号是 ( )

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（A）①②③ （C）③④

（B）②④ （D）②③④

二.填空题: (每小题5分，计20分)

13．（2008浙江文、理）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC。 AB⊥BC，

DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 。

14.(2008天津理)一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为43，则该正方体的表面积为 .

15.（2007全国Ⅰ理）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 16.（2002上海文、理）若正四棱锥的底面边长为23cm,体积为

AC4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ．

17．（2006江西文）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为 B．

A1

C1

18．（2004北京文、理）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是___ _____cm，表面积是____ ______cm．

2

B1

三、解答题：（每小题15分， 计60分）

19. (2008海南、宁夏文)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的

D'C'FB'直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC'，证明：BC'∥面EFG。

6GEDABC

22244正视图侧视图 17

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20． (2007广东理)如图所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥

AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

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21. (2008广东文)如图5 所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径, ∠ABD=60,∠BDC=45.△ADP∽△BAD.

(1)求线段PD的长; (2)若PC11R，求三棱锥P-ABC的体积. o

o

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22．（2001江西、山西、天津文、理，广东，全国文、理）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，ABC90,SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=. 12（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；

（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

20 S

B

C A

D

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历届高考中的“空间几何体”试题精选

一、选择题：(每小题5分，计60分)

题号1234567答案BCDBDBB

二.填空题: (每小题5分，计20分) 13．92． 14 24 . 15.23 16. 30O

．

三、解答题：（每小题15分， 计60分）

19.解：（Ⅰ）如图------ 3分

（Ⅱ）所求多面体体积

VV11长方体V正三棱锥44632222

2843(cm2)．------------------------7分

（Ⅲ）证明：在

21 101112BBCAC ． 10 ． 18．43， 192．

G D C A F B E D C A B

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