２０１０年第５期 福建中学数学 ｌ７ 模块知识的应用，而是更大程度上取决于学生经多 年数学教育所积淀的个人数学素养． 国家中长期教育改革和发展规划纲要（征求 意见稿） 中明确提出高中阶段教育是学生个性形 型人才；在日常教学中，加大开放氛围，创设开放 问题，激发学生的思维，激励学生主动参与课堂活 动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能 力． 参考文献 ［１］数学课程标准研制组．普通高中数学课程标准（实验）解读【Ｍ］．南京： 江苏教育出版社，２００４ ［２］福建省教育厅高考考试说明编写组编．２０１０年普通高等学校招生全国 统一考试福建省语文・数学・英语考试说明［Ｍ］．福州：福建教育出版社， ２０１０ 成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和培养 创新人才具有特殊意义．教育改革呼唤具有高质量 评价功能的试题，需要开放的课堂教学模式在立足 基础、关注过程、强调探究、重视应用的同时，追 求开放与多样化的教学模式，培养锐意进取的创新 课标课程高考中的过程性试题研究 戴建仁 李志洪 １福建省莆田市教师进修学院（３５１１００） ２福建省莆田市第二中学（３５１ １００） １．研究背景 用所学的数学知识、技能、方法、思想及思维方式 在普通高中课标课程实验推进过程中，“三维目 方法，探索并不断尝试、验证、优化解决问题的步 标”中“过程与方法”这一维度的教学目标越来越受到 骤、环节与策略，最终解决问题的数学试题，是具 广大教育工作者的重视与反思，但如何深入认识领 有较强实践性与思辨性，能够有效考查考生的实践 会、贯彻落实“过程与方法”这一维度目标仍是当前教 能力、创新意识和直觉思维能力、发散思维能力等 改急需研究解决的课题．过程是指事物发生与发展 综合素质的一类试题．过程性试题具有以下四个主 的经历．教学中的“过程”侧重于学生的“学习过程及 要特征： 其体验”，学习过程体验是指学生在学习过程中对所 ２．１操作性 有信息的反应与体验（包括学习过程中涉及的内容、 操作分为外显操作与内隐操作．外显操作主要 方法、策略、手段及学习后的知能结构的重组与技 指动眼观察感知、动手操作试验、列举、排序、化 能素养的养成）．只有全面落实以“知识与技能”为基 简、画图列表等肢体动作行为．内隐操作主要指具 础、以“过程与方法”为核心，同时兼顾“情感态度价 体化、抽象化、一般化、特殊化、动态运动、猜测 值观”，才能真正实现学生的全面和谐发展．“双基教 类比等内部思维操作与联想想象过程．操作的目的 学”是我国教育的传统与优势，突出“过程教学”是当 是经过考生自主的内外操作，实现从预设情境 前课标课程改革的突破口与主旋律．近几年来福建 到问题解决情境的逐步逼近转化，在操作的过程中 省数学高考命题改革在倡导关注“过程”的命题研究 探究发现解决问题的方向与思路．操作重在问题情 课标 中涉及的相关行为动词为：观察、 与实践中发挥了重要的引领与导向作用．过程性试 境的转化．题恰是课标课程高考改革的亮点，也是创新型试题 感知、操作、收集、查阅、整理、梳理、借助、回 贯彻能力立意命题原则的立足点与落脚点．本文就 顾、复习、经历、体验等． 过程性试题的内涵及其外部表征、２００９年福建高三 例１（２００９年高考福建卷・理８）已知某运动员 数学省质检试卷、２００９年福建高考数学试卷及２０１０ 每次投篮命中的概率都为４０％．现采用随机模拟的 年各地市高三数学市质检试卷中过程性试题赏析， 方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率： 过程性试题的教育考试价值等方面作初步的分析与 先由计算器算出０到９之间取整数值的随机数，指 研究探讨，以期起到抛砖引玉的作用． 定ｌ，２，３，４表示命中，５，６，７，８，９，０表示不 命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的 ２．过程性试题的内涵及其主要特征 过程性试题是指在某种预设的情境下，考生运 结果．经随机模拟产生了２０组随机数： ９０７，９６６，１９１，９２５，２７１，９３２，８１２， 用已有的生活学习体验、经验，通过对问题情境自 ４５８，５６９，６８３，４３１，２５７，３９３，０２７， 主进行观察、操作、实验、感知、分析、研究，运 ｌ８ ５５６，４８８，７３０，１１３，５３７，９８９ 福建中学数学 ２０１０年第５期 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的 概率为 Ａ．０．３５ Ｂ．０．２５ Ｃ．０．２０ Ｄ．０．１５ 研究、探索、探究、探求、解决、寻求等． 例３（２００９年福建省第二次质检卷・理２０）已 知函数Ｉ（ｘ）＝ａｘ＋ｌｎｘ，ａ∈Ｒ． （Ｉ）略； 试题赏析本试题的解答考生需先将事件“三次 投篮恰有两次命中”转化为随机数“三个数字中有且 只有一个为５或６或７或８或９或０”（内隐操作）， （Ⅱ）对于曲线上的不同两点 （Ｘｌ，Ｙ．）， （ ：，Ｙ ），如果存在曲线上的点Ｑ（ ，Ｙｏ），且 Ｘ１＜ｘｏ＜ｘ ，使得曲线在点Ｑ处的切线ｔ／／８￣，则称 再将符合条件的随机数“１９１，２７１，９３２，８１２，３９３ 选出（外显操作），最后根据概率计算公式求得 、 ＪＰ＝＿二＿＝０．２５． ２０ 例２（２０１０年莆田市高三质检卷・理１５）某同 学利用描点法画函数Ｙ＝Ａ ｓｉｎ（￣ｘ＋ ）（其中Ａ＞０， ０＜ ＜２，一 ＜ ＜ ）的图象，列出的部分数据 如下表： ０ １ ２ ３ ４ ｌ ０ １ －１ －２ 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误， 请你根据上述信息推断函数Ｙ：Ａ ｓｉｎ（￣ｘ＋ ）的解析 式应是． ——试题赏析描点法作图是学生最常用的作图方 法，具有大量的相关学习过程与体验，该问题的情 境是学生三角学习过程中随处可见的，解答本题学 生需先描点作图（外显操作），结合散点图直觉分析 哪一点不符应作调整（探究），猜测加推断出所求三 角函数的图象（操作探究），再根据图象易求得其解 析式．但在解答过程中，相当多的学生没有描点作 图，而停留在抽象的逻辑推理与判断，反映出当前 教学过程中学生的作图意识薄弱，作图技能不扎实， 数形结合思想及数据处理的意识与能力还有待进一 步提高． ２．２探究性 探究主要指考生采用归纳与演绎、一般与特殊、 抽象与概括、估算与估计、比较与类比、实践与实 验等方法手段对条件完备，结论未给出而需要学生 进行探索、猜想并加以证明的试题进行分析研究， 并从中发现规律与特征再进行适当的抽象概括并形 成结论或推断的过程．其目的为考生对试题的条件 与结论进行适当的分析，深入探究各条件间的联系 及其各自的等价转化条件，从中寻找解决思路．探 究重在推理的转化．高中数学课程标准中涉及的相 关行为动词为：模仿、参与、尝试、分析、发现、 ，为弦 的伴随切线．特别地，当ｊｃｏ＝２ｘ，＋（１－Ｚ）ｘ （０＜２＜１）时，又称，为 的九一伴随切线． （ｉ）求证：曲线Ｙ：ｆ（ｘ）的任意一条弦均有伴 随切线，并且伴随切线是唯一的； （ｉｉ）略． 试题赏析本题第（Ⅱ）小题中先定义一新概念 ——弦的伴随切线，并需明了弦的伴随切线的存在 性与唯一性等价于“方程的根”的存在性与唯一性．而 已知情境到问题解决情境间的推理与过渡，就需要 考生去探究和发现： 有伴随切线 §点Ｑ（ｘｏ，ｙｏ）处的切线，／／ 即证存在点Ｑ（ｘｏ，ｆ（ｘｏ）），Ｘ。＜Ｘｏ＜Ｘ２，使得 ｆ，（ １： 兰 二 苎！ …Ｘ２一Ｘｌ §即证存在Ｘｏ∈（Ｘ１，Ｘ，），使得 １ ａｘ２＋ＩｎＸ２一ａｘＩ—ＩｎＸ１ ａ‘ 。——＝．—－— －－—－－－－－－－－－・・ ：－—－－－－－－－－・－—————－－－－－－—・ ｊｃｏ 一 ｌ 《＝＞即证存在Ｘｏ∈（ｘ ，ｘ２），使得 ｌｎ 一 （ 一 。）：０ １ ０ §即证函数Ｆ（ ）＝ｌｎ 一 （ ：一五）在（ｘ。， ） ｌ 内有零点 营即证Ｆ（ｘＩ）Ｆ（ ）＜０ 营即证Ｆ（ｘｊ）＜０且Ｆ（ ）＞０ §Ｆ（ ）：１ｎ ～Ｘ２＋ｌ＜０ §ｇ（ｔ）＝Ｉｎｔ—ｔ＋１ ＞１）为减函数，且ｔ＝ｘ９２＞１，＿ 则ｇ（ ）＜ｇ（１）：０。 ２．３开放性 开放包括条件开放、过程开放、结果开放、评 价开放．条件开放主要指情境设置过多或过少，过 多则具有可选择性，过少则需要考生自行补足．通 ２０１０年第５期 福建中学数学 ｌ９ 过考生的自主选择与不同的补足结果，体现个性化 与多样化．过程开放指考生通过感性猜测、理性推 证、问题转换等各种不同的解决途径．结果开放指 题多解或一题多答．评价开放指根据不同的结果， 不同的思维含金量，给出不同的评价结果，从而体 现评价的多元性、发展性与全面性．其目的是正视 个体差异，对不同层次的考生准备不同的选择，从 中体现不同的思维品质，也得到不同的评价．高中 一模式也是命题的创新，也充分突出了对称的本质．该 试题采用逆向设问使试题更具开放性与创新性． ２．４经验性 过程性问题的解决必须借助于学生已有的学习 与生活经验，强调借助学习经验进行大胆的猜测、 判断与合理推理，同时必须初步具备从生活实践背 景中抽象概括数学问题与模型的能力与意识．应用 主要是指实践应用与数学模型、数学方法的运用．高 数学课程标准中涉及的相关行为动词为：交流、设 计等． 例４（２００９年福建省第一次质检卷・理ｌ７） ＡＡＢＣ的三个内角 ， ，ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ ， 向 量 ＝（一１，１） ， ＝（ｃｏｓＢｃｏｓＣ，ｓｉｎＢｓｉｎＣ－ 且…． （Ｉ）略； （Ⅱ）现给出下列四个条件：①ａ＝１； ②ｂ：２ｓｉｎＢ；③２ｃ—ｆ√３＋１ｌｂ＝０；④Ｂ＝４５。．试从 中再选择两个条件以确定ＡＡＢＣ，求出你所确定的 ＡＡＢＣ的面积．（注：只需选择一个方案答题，如果 用多种方案答题，则按第一种方案给分） 试题赏析本题给出了４个条件让考生选择两个 作为题目的条件，属于条件开放性问题．解答本题 考生需先作三角形的草图（外显操作），结合所给条 件自主选择确定三角形的条件（探究），再计算三角 形的面积．相当于考生自己出题自己解答，不同的 选择，导致不同的问题情境，需选择不同的方法， 不同的运算量与思维量，也决定了其在该题所花时 间的多少，不同的选择也体现了不同的思维水平与 品质． 例５（２００９年高考福建卷・理１０）函数 ｆ（ｘ）＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象关于直线 ＝一 对 称．据此可推测，对任意的非零实数ａ，ｂ，ｃ，ｍ， ，Ｐ， 关于 的方程 ［厂（ ）］ ＋ （ ）＋Ｐ＝０的解集都不可 能是 Ａ．｛１，２｝ Ｂ．｛１，４｝ Ｃ．｛１，２，３，４｝Ｄ．｛１，４，１６，６４｝ 试题赏析该试题的解答本题需抓住问题的关 键点：由二次函数的对称性可得二次方程的解集必 关于某数对称，即按大小顺序排序后最小数＋最大数 应等于中间两数的和，而选项Ｄ显然不满足该特 征．这种以小见大、局部推断整体的反例推断思维 中数学课程标准中涉及的相关行为动词为：经历、 体验等． 例６（２００９年高考福建卷・理１５）五位同学围 成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报 出的数为ｌ，第二位同学首次报出的数也为１，之后 每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之 和；②若报出的数为３的倍数，则报该数的同学需 拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依 序循环报到第１００个数时，甲同学拍手的总次数为 试题赏析该试题的解答需先将游戏背景转化 为数列模型（内隐操作与探究），实质为数阵问题， 列举并排列再合理的简化（外显操作），从中发现周 期规律即可解决问题（探究）．而该游戏背景及数列 模型都是学生较熟悉，具有较多的相关经验． 例７（２０１０年泉州市高三数学质检卷・理１５） 梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ／／ＤＣ，若记／＿＿ＤＡＢ＝ ，ＺＣＢＡ：ｃｈ， ＡＤ＝６＂ｌ，ＢＣ＝６．２，贝０ ＡＢ＝ｃ１・ＣＯＳａ１＋ｃ２・ＣＯＳａ２＋ＤＣ．试 类比上述结论，写出三棱台ＡＢＣ—ＡＩＢＩＣ１中的一个正 确结论： 试题赏析高中学生具有丰富的类比学习的经 历与经验，如立几类比平几中的三棱锥类比三角形， 本试题创新为三棱台类比梯形，解答本题，考生需 先作梯形图象（外显操作），结合图象及所给已知条 件分析推证所给结论（内隐操作与探究），激活相关 的知识与体验（经验应用性），在解决新问题中迁移 与再创造，本题还设计成结论开放性，使考生更具 自主空间．当然，类比不一定仅停留在知识层面， 也可以是模型、方法等．其重在考查学生求同存异 的思维与品质． ３．过程性试题与探究性、开放性、应用性试题 的联系与区别 过程性试题是操作性试题的深化，是探究性试 题的拓展，是开放性试题的延伸，是应用性试题的 泛化．过程性试题必定是具备探究性、开放性的试 ２０ 福建中学数学 ２０１０年第５期 但探究性试题、开放性试题未必是过程性试 题．即只有同时满足以上四个特征条件的数学试题 才是过程性试题．开放是过程性试题的外在表现形 式，操作与探究是解决过程性试题的主要手段与方 法，过程性试题主要关注：概念（定义）的抽象、 概括过程；关系（公式、定理、法则、规律）的探 究发现（猜想归纳）及推导论证（特殊与一般、归 纳与演绎）过程；问题解决思路的探索与优化过程； 知识的发生发展与迁移应用的过程；过程性试题的 目标是关注问题的解决的同时，更强调的是学生在 解答前后的经验变化与过程体验． ４．过程性试题的教育考试价值 ４．１过程性试题具有操作探究性，要求学生全面 观察，广泛联想，多方向、多角度、多层次去思考， 探求试题的多种答案，能让学生体验数学研究中的 些常见方法，加深对数学本质的理解，是发展学 生高层次思维品质的有效材料．过程性问题的求解， 般地来说，研究味较浓，富有探索性，常要通过 观察、试一试、凑一凑、猜一猜、特殊化、类比等 途径去寻找答案，通过这种探索实践，认识到数学 在逻辑演绎推理以外的另一方面，即合理推理的一 面，有利于培养学生的创新意识与发散性思维．教 学生一般科学研究方法，有利于激发学生的好奇心， 有利于学生主体意识和人格的形成，有利于提 高学生的问题解决能力，有利于学生培养探究能力 和应用意识． ４．２过程性试题具有开放性，有助于激励每一个 学生参与到问题解决活动中去，新颖而富有挑战性 的过程性试题可使每一个学生都可以从事自己力所 能及的探索，有利于实现教学民主性与合作性，有 利于学生体验成功增强自信．多元化的价值观，方 法的多样化，多种方式的表现形式，使学生学会与 他人的合作，对他人工作的认同，对他人成果的吸 收．过程性试题针对不同层次的考生，不同的思维 层次，可以有不同层次的解决方法与过程，并得到 ，一一不同层次的解答结果，从而达到真正区分不同层次 的考生的目标． ４．３过程性试题具有经验应用性，更强调学生已 有的认知经验与知能结构，在问题解决过程中，打 破固有经验平衡，引发认识冲突，分析解决矛盾， 构建新平衡，发展新体验，倡导学以致用，强调数 学应用意识．通过对过程性试题的教学与考试可以 了解学生对事物的观察，思考，想像，推理等综合 素质，并结合已有的生活经验、感知解决问题的数 学思维、数学能力和数学素养．过程性试题的教学 与考试可以促进学生全面和谐发展．有利于学生形 成正确的数学观，有利于中学教学的正确导向，转 变重结论轻过程，重知识灌输轻能力培养的应试教 育状况． ４．４过程性试题具有创新性，试题情境的新颖度、 考生对双基的依赖度、结果的再创造度，从而反映 考生良好的思维习惯与思维品质，其目的是鼓励考 生的创新思维与意识．过程性试题的解答过程不仅 仅是知识、技能、方法的简单呈现，而是以数学视 野，理性思维为切入点，以科学研究方式方法为手 段，对学生综合数学能力与数学素养的深入全面考 查，同时强调解答过程与结果的再创造性（独创性、 新颖性）． ５．结束语 只有深入分析研究课标高考过程性试题，并在 教学中不断加以深化落实，才能有效落实福建省课 改新理念——立足“三基”、关注“过程”、突出“本质” 与“主干”、强调“探究”与“应用”、追求“开放”与“多 样”，充分发挥高考命题的导向与评价作用，引导高 中数学教学全面落实基础知识、基本技能和数学思 想、方法，让学生在过程中习得方法、达成技能、 形成思想、提升素养，在“探究”与“应用”中训练能力， 在“开放”与“多样”中促进学生个性的发展．才能真正 促进课程三维目标的全面落实与达成． 高考数学中合情推理的考查研究 赖呈杰 林景芳 福建省泉州第七中学（３６２０００） 普通高中数学课程标准（实验）》中明确提 出要求学生能“结合已经学过的数学实例和生活中的 实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等 进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现
