吉林一中2013—2014学年高二下学期期末 数学文考试 Word版含答案

吉林一中2013—2014学年度下学期期末高二数学文

考试

高二数学文试题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明

评卷人 得分 一、单项选择

1. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是( )

A．63 B．31 C．15 D．7

2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有恒成立，则不等式

的解集是（ ）

A.(-2,0) ∪(2,+∞) B.(-2,0) ∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 3. 已知aR，且0a1，i为虚数单位，则复数za(a1)i在复平

面内所对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限

1i4. i是虚数单位,复数i3对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C．第三象限

D．第四

象限

5. 函数f(x)xsinx(xR)的部分图像可能是（ ）

1

A．f(2a)f(2)f(log2a) 学科网B．f(2)f(log2a)f(2a) C．f(log2a)f(2)f(2a) D．f(log2a)f(2a)f(2)

A． B． C． D．

12. 已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中①x0R，f(x0)0 ②函数f(x)的图象是中心对称图形 ③若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(,x0)单调递减 ④若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0． 正确的个数有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 已知函数f（x）＝lnx＋tanα（α∈（0，））的导函数为f(x)，若使

2得f(x0)＝f(x0)成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（ ） A．（

，） B．（0，） C．（，） D．（0，） 4234第II卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明 评卷人 7. $selection$ 8. 复数

5的共轭复数是( ) 2i1得分 二、填空题

A．2i1 B．12i C．2i1 D．12i

9. 已知点P在曲线y

4上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则ex113. 已知两个非零向量a与b，定义＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则＝________． 14. 复数(m23m2)(m24)i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．

15. 已知数列{an}的通项公式为an整数n，不等式S2nSn__________.

2

的取值范围是（ ）

A.[33,) B.[,) C.(,] D.[0,) 442244

10. 当x≠0时，有不等式( )

A．ex<1＋x B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x

11. 函数f(x)对定义在R上的任意x都有f(2-x)=f(x),且当x1时其导函数

1，前n项和为Sn。若对于任意正n1m恒成立，则常数m所能取得的最大整数为16f'(x)满足xf'(x)f'(x),若1a2,则有 （ ）

16. 已知数列{an}是正项等差数列，若bna12a23a3nan，

123n（2）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点做x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

则数列{bn}也为等差数列. 类比上述结论，已知数列{cn}是正项等比数列，若dn= ，则数列{dn}也为等比数列.

评卷人 得分 三、解答题

17. 已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a． (1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．

21. 已知函数f(x)(ax22x1)ex(aR，e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a1时，求函数f(x)的极值； (Ⅱ)若函数f(x)在1,1上单调递减，求a的取值范围．

18. 已知函数f(x)xaxx1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．

3222. 数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得

2313anSnAn2BnC对任意正整数n都成立.

⑴若数列{an}为等差数列,求证:3A-B+C=0;

19. 已知函数f(x)xk|lnx1|,g(x)x|xk|2,其中0k4. (1) 讨论函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值；

(2) 若对于任意x1[1,),都存在x2[2,),使得f(x1)g(x2),求实数k的取值范围.

20. 已知

2⑵若A,B,C1,设bnann,数列{nbn}的前n项和为Tn,求

1232Tn;

2012⑶若C=0,{an}是首项为1的等差数列,设P的最大整数的值.

i1111,求不超过P22aiai1f(x)lnx,　g(x)12axbx(a0),　h(x)f(x)g(x).

2（1）当a4，b2时，求h(x)的极大值点；

3

参

一、单项选择 1.【答案】A 【解析】 2.【答案】D 【解析】 3.【答案】D

【解析】

0a1，a0且a10，故复数zaa1i在复平面内所对应的点

a,a1位于第四象限.

4.【答案】B 【解析】 5.【答案】D 【解析】 6.【答案】A 【解析】 7.【答案】B

【解析】$selection$

8.【答案】C

【解析】∵55(2i1)512i，∴复数的共轭复数是12i，故选C.

2i12i1(2i1)(2i1)

9.【答案】A

【解析】因为tany'4exex12441[0,)，所以14xex2e3，选A. 4

10.【答案】C 【解析】 11.【答案】C 【解析】 12.【答案】C 【解析】 二、填空题

13.【答案】6

【解析】a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，

＝5×2×＝6. 14.【答案】1

【解析】因为，复数(m23m2)(m24)i（i是虚数单位）是纯虚数，

m23m20所以，，解得，m1， 2m40故答案为1.

15.【答案】5 【解析】

16.【答案】(c1ccc)22331n123nn

【解析】由等差数列{an}的a12a2nan的和，则等比数列{cn}可类比为

c1﹒(c2)2(cn)n的积；对a12a2nan求算术平均值，所以对 c1﹒(c2)(cn)求几何平均值，所以类比结果为(c1ccc)三、解答题

17.【答案】解：由题意得f′(x)＝12x2－2a．

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

2n22331n123nn.

当a＞0时，f'(x)=12xaax， 66此时函数f(x)的单调递增区间为

aa,,和． 66aa,单调递减区间为． 66证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2． 当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2． 设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1， 则g′(x)＝6x2－2＝6x33x， 33于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x 0 30,3 3 333,1 1

g′(x) g(x) 1 － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 1 143 9所以，g(x)min＝g343＞0． =139所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．

故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．

【解析】

18.【答案】（1）f(x)x3ax2x1求导：f(x)3x22ax1 当a2≤3时，≤0，f(x)≥0，f(x)在R上递增

aa23当a3，f(x)0求得两根为x 3aa23aa23aa23即f(x)在，，递增，递减，

333aa23，递增 3aa232≤733（2），且a23解得：a≥

41aa23≥332

【解析】 19.【答案】

2x2k (0xe)xf'(x)22xklnxk (0xe)2xkf(x)2 (xe)xklnxk (xe)x【解析】(1),所以.

易知,f(x)在

(0,kk)(,)2单调递减,在2单调递增. k3kkk)ln2222.

所以

f极小f(1k43(2).

14x22x120.【答案】解：（1）h(x)lnx2x2x,h'(x)4x2，

xx2令h’(x)=0，则4x2+2x-1=0，解出x1=

5151, x2= ， 44当0x515151时,h'(x)0,则h(x)在（0，）上为增函数；当x时,h'(x)0,4445151所以的极大值点为． 则h(x)在,+上为减函数．h(x)44（2）设P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),且0x1x2．则M、N的横坐标x∴C1在点M处的切线斜率为k1x1x2． 2a(x1x2)2b假 ，C2在点N处的切线斜率为k22x1x2设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1k2，即

2a(xx)12b. x1x222(x2x1)a(x22x12)ax22ax12则b(x2x1)(bx2)(bx1)y2y1lnx2lnx1

x1x2222x2-1)x2x1（2t-1）xln.设t=2, 则lnt(t1)…………①

x21+tx1x11+x12(14(t1)2（2t-1）(t1) ,则r'(t)令r(t)lnt,　t1,　r'(t)0 221+tt(1+t)t(1+t)∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)> r(1)=0．∴lnt（2t-1），这与①矛盾，假设不成立， 1+t故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

【解析】 21.

【

答

案

】（

I）

当

a1时，

f(x)(x22x1)ex，

f(x)(2x2)ex(x22x1)ex(x1)(x3)ex 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

(，1) (1，3) (3，) x 1 3 f(x) 0 0 － ＋ － f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 所以，当a1时，函数f(x)的极小值为f(1)0，极大值为f(3)4e3

（II）f(x)(2ax2)ex(ax22x1)exex[ax22ax2x3]

令g(x)ax22(a1)x3

，1)内，g(x)0，即f(x)0，函数f(x)在区间①若a0，则g(x)2x3，在(1[1，1]上单调递减 ②若a0，则g(x)ax22(a1)x3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为

a1，1)内gx0， f'x0， 1，当且仅当g(1)0，即0a1时，在(1a，1]上单调递减 函数f(x)在区间[1x③若a0，则g(x)ax22(a1)x3，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当

g(1)05，1)内gx0，f'x0，函数f(x)在区间，即a0时，在(13g(1)0[1，1]上单调递减

，1]上单调递减时，a的取值范围是a综上所述，函数f(x)在区间[1

【解析】

5a1． 322.【答案】⑴因为an为等差数列,设公差为d,由anSnAn2BnC,

1得a1(n1)dna1n(n1)dAn2BnC,

21d即(dA)n2(a1B)n(a1dC)0对任意正整数n都成立.

2212dA0,1所以a1dB0,所以3ABC0.

2a1dC0,131⑵ 因为anSnn2n1,所以a1,

22213当n≥2时,an1Sn1(n1)2(n1)1,

22所以2anan1n1,即2(ann)an1n1,

11所以bnbn1(n≥2),而b1a11,

22111所以数列bn是首项为,公比为的等比数列,所以bn()n.

222n123n1123n于是nbnn.所以Tn+2+3++n①,Tn2+3+4++n+1,②

2222222222由①②,

1111得Tn+2+3+222211[1()n]1n2n1(1)nn12+n. +nn+121222n+122n+12n+112所以Tn22+n. 2n⑶ 因为an是首项为1的等差数列,由⑴知,公差d1,所以ann. 11n2(n1)2(n1)2n2而12 n(n1)2n2(n1)2n(n1)111111,

n(n1)n(n1)nn1111111所以P(1)(1)(1)122334所以,不超过P的最大整数为2012. (1111)2013, 201220132013