江苏省南通市如皋市2015-2016年度高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．已知集合A={0，a}，B={3a，1}，若A∩B={1}，则A∪B= ．

2．sin（﹣300°）= ．

3．已知幂函数y=kxa的图象过点（2，

4．lg+2lg2﹣（）﹣1= ．

5．要得到函数y=sin（2x﹣

6．已知角α的终边在直线y=2x上，则tan（α+

7．f=已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＞0时，（x）

8．已知cos（α+

9．在△ABC中，若

10．如图，定义在[﹣1，2]上的函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是 ．

•

=

•

，|

+

|=|

﹣

|，则角B的大小是 ．

）=

，则sin（2α﹣

）= ．

，则f[f（log32）]的值为 ．

）的值是 ．

）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移 个单位．

），则k﹣2a的值是 ．

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11．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣同，则g（

12．已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），当x∈[0，

13．设函数f（x）=

14．设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知坐标平面内（1）当（2）当

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣象如图所示：

（1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（α+

）=，且

＜α＜π，求

的值．

＜φ＜

）的部分图

∥•

时，求

=（2，3），的坐标；

，

夹角的余弦值． =（2，0），

=（3，6），是直线OM上一个动点．

的值域为R，则实数a的取值范围为 ．

]时， •的取值范围为 ．

）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象对称轴完全相

）的值为 ．

取得最小值时，求向量

17．菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=（1）求

•

的值；

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，点E，F分别在边BC，CD上，且

=λ

，

=（1﹣λ）

．

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（2）求

•的取值范围．

18．如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=弧度．

（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）； （2）求面积S的最小值．

，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ

19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）． （1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；

（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．

20．定义函数g（x）=

，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．

（1）若f（2）=0，求实数a的值；

（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；

（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

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参与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．已知集合A={0，a}，B={3a，1}，若A∩B={1}，则A∪B= {0，1，3} ． 【考点】并集及其运算；交集及其运算． 【专题】集合思想；分析法；集合．

【分析】由A∩B={1}，可得1∈A，进而可得a=1，3a=3，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案．

【解答】解：集合A={0，a}，B={3a，1}， 又∵A∩B={1}， ∴a=1，3a=3，

故A={0，1}，B={1，3}． ∴A∪B={0，1，3} 故答案为：{0，1，3}．

【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性，是基础题．

2．sin（﹣300°）= ．

【考点】诱导公式的作用．

【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之． 【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=故答案为

．

，

【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．

3．已知幂函数y=kxa的图象过点（2，

），则k﹣2a的值是 0 ．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．

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【分析】根据幂函数的定义先求出k，然后利用点的坐标与函数之间的关系求a即可． 【解答】解：∵幂函数y=kxa的图象过点（2，∴k=1且2a=∴a=，

则k﹣2a=1﹣2×=1﹣1=0， 故答案为：0．

【点评】本题主要考查幂函数的定义和解析式的求解，比较基础．

4．lg+2lg2﹣（）﹣1= ﹣1 ． 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值． 【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1； 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1．

5．要得到函数y=sin（2x﹣

）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移 个单位．

，

），

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】根据把函数y=sin2x的图象向右平移论．

【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣可得函数y=sin（2x﹣故答案为

．

）的图象，

）=sin2（x﹣

），故把函数y=sin2x的图象向右平移

个单位，

个单位，可得函数y=sin2（x﹣

）的图象，从而得出结

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．

6．已知角α的终边在直线y=2x上，则tan（α+

）的值是 ﹣3 ．

【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的正切函数．

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【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．

【分析】角α的终边在直线y=2x上，可得tanα=2．再利用和差公式即可得出． 【解答】解：∵角α的终边在直线y=2x上，∴tanα=2． 则tan（α+

）=

=

=﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=【考点】对数的运算性质；函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】根据对数的运算性质，结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=

，

，则f[f（log32）]的值为 ．

∴f（log32）=∵f（x）是奇函数，

==﹣1，

∴f[f（log32）]=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣故答案为：

=﹣（﹣）=，

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性的性质进行转化求解即可．

8．已知cos（α+

）=

，则sin（2α﹣

）= ．

【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式化简已知可得sin（α﹣﹣

）=1﹣2sin2（

）=﹣

，由诱导公式及倍角公式化简所求可得sin（2α

），从而即可计算得解． ）=sin[﹣（2α﹣

﹣（α+

）]=sin（

﹣α）=

，可得：sin（α﹣

）=﹣

，

【解答】解：∵cos（α+∴sin（2α﹣

）=cos[

）]=cos[2（

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）]=1﹣2sin2（

）=1﹣2×=．

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故答案为：．

【点评】该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 cos（中的角之间的余角关系，属于中档题．

9．在△ABC中，若

•

=

•

，|

+

|=|

﹣

|，则角B的大小是 45° ．

与sin﹣α）（

+α）

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】由|

+

|=|

﹣

|可知

=0，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积相等列出

方程得出直角边的关系，得出∠B的大小． 【解答】解：∵|

+

|=|

﹣

|，∴

=0，∴

．

以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），B（0，b），A（0，0）． 则∵

=（0，b），•

=

•

=（a，﹣b），

=（﹣a，0）．

，∴﹣b2=﹣a2，∴a=b，

∴△ABC是到腰直角三角形，∴B=45°． 故答案为：45°．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系进行坐标运算是解题关键．

10．如图，定义在[﹣1，2]上的函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是 [1，2] ．

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【考点】函数的图象．

【专题】计算题；应用题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集． 【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图 满足不等式f（x）≤log2（x+1）的x范围是1≤x≤2； 所以不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是[1，2]； 故答案为：[1，2]．

【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．

11．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣同，则g（

）的值为

）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象对称轴完全相

．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】分别求得2个函数的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，得g（x）的解析式，从而求得g（

）的值．

）（ω＞0）的对称轴方程为ωx﹣

=kπ+

，即 x=

+

，

=

﹣

，由此求得 φ 的值，可

【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx﹣k∈z．

g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴为 2x+φ=kπ，即 x=∵函数f（x）=2sin（ωx﹣∴ω=2，再由0＜φ＜π，可得

﹣，k∈z．

）（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴完全相同，

=

﹣

，

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∴φ=，

），g（

）=cos

=

．

∴g（x）=cos（2x+φ）=cos（2x+故答案为：

．

【点评】本题主要考查了三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．

12．1）sinxcosx）已知向量=（sinx+cosx，，=（1，，当x∈[0，

]时， •的取值范围为 [1， ] ．

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】函数思想；换元法；三角函数的求值；平面向量及应用． 【分析】•=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=

sin（x+

）=t，则sinxcosx=

，根据x的范围

求出t的范围，于是•=t+

=（t+1）2﹣1，利用二次函数的单调性求出最值．

【解答】解： •=sinx+cosx+sinxcosx， 令sinx+cosx=

sin（x+

）=t，则sinxcosx=

，

∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，

∴•=sinx+cosx+sinxcosx=t+

=（t+1）2﹣1，

∴当t=1时， •取得最小值1，当t=故答案为[1，

]．

时， •取得最大值．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，换元法，二次函数的最值，是中档题．

13．设函数f（x）=【考点】函数的值域．

【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．

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的值域为R，则实数a的取值范围为 [0，1] ．

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【解答】解：当x≥2时，f（x）=x+a2≥2+a2，

当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x+a+1=﹣（x﹣1）2+a+2≤a+2， ∵f（x）=∴2+a2≤a+2， 即a2﹣a≤0， 解得0≤a≤1， 故答案为：[0，1]

的值域为R，

【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的关系建立不等式关系是解决本题的关键．

14．设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为 {a|a＜﹣，或a＞} ．

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数零点的判定定理． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由条件根据△=4（a2+2a﹣3）＞0，再根据 x2 ﹣x1 =2

∈（2，3），求得a的范围．

【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数， ∴△=4（a2+2a﹣3）＞0，即a＜﹣3 或a＞1． 再根据 x2 ﹣x1 =2

∈（2，3），求得a＜﹣，或a＞，

综上可得，a的范围是：{a|a＜﹣，或a＞}．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，函数零点的定义，属于基础题．

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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15．已知坐标平面内（1）当（2）当

∥•

时，求

=（2，3），的坐标；

=（2，0），=（3，6），是直线OM上一个动点．

取得最小值时，求向量，夹角的余弦值．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用．

【分析】利用平面向量的平行的坐标表示以及数量积公式解答即可． 【解答】解：设P（t，2t）． （1）∵

∥

，

，

∴（3﹣2t）﹣6（2﹣t）=0， ∴∴（2）当t=1时，此时

取最小值﹣1， ．

，

．

=5t2﹣10t+4，

【点评】本题考查了平面向量的数量积公式以及向量平行的性质；属于基础题．

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣象如图所示：

（1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（α+

）=，且

＜α＜π，求

的值．

＜φ＜

）的部分图

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值． 【专题】分类讨论；函数思想；数形结合法；三角函数的求值．

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【分析】（1）由题意和图象可知A值和周期T，进而可的ω，代入点解析式；

（2）由已知和同角三角函数基本关系可得计算可得．

【解答】解：（1）由题意和图象可知A=2，T=2[∴ω=

=

=1，∴f（x）=2sin（x+φ），

，∴，又∵

，∴

，∴

， ；

， ，

， ﹣（﹣

）]=2π，

，化简可得原式=

可得φ值，可得

，分别代入

∵图象过点∴∴（2）∵

∴由同角三角函数基本关系可得

∵

=，

∴当当

时，原式=时，原式=

，

【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数式的化简运算和分类讨论思想，属中档题．

17．菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=（1）求（2）求

••

的值； 的取值范围．

，点E，F分别在边BC，CD上，且

=λ

，

=（1﹣λ）

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；平面向量及应用． 【分析】（1）利用平面向量的三角形法则以及数量积公式展开计算； （2）将

•

用λ的二次函数解析式表示，然后求最值．

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【解答】解：（1）=1+（2）∵∴∴=∴

，λ∈[0，1]，…

．… ，

=1+=．…

，

…

，…

…

【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式；属于基础题．

18．如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=弧度．

（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）； （2）求面积S的最小值．

，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ

【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】方法一：（1）通过锐角三角函数的定义及过点P作AQ的垂线且垂足为E可知

，

进而利用面积公式计算即得结论；（2）利用辅助角公式化简可知而利用三角函数的有界性即得结论；

，进

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方法二：（1）利用θ分别表示出DQ、QC的值，利用利用面积公式化简即得结论；（2）通过对

变形可知

，进而利用基本不等式计

算即得结论． 【解答】方法一

解：（1）∵∠BAP=θ，正方形边长为1（百米）， ∴

，

，…

过点P作AQ的垂线，垂足为E，则，…

∴

=，其中（少定义域扣2分）． （2）∵

，

∴，…

∴当时，即

时，取得最小值为

．…

答：当时，面积S的最小值为

．…

方法二

解：（1）∵∠BAP=θ， ∴，，…

∴

…

=，…

（2）∵，

∴…

当时，即

取得最小值

，…

答：当

时，面积S的最小值为

．… 14 / 17

…

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【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查面积计算、三角函数等相关基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）． （1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；

（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围． 【考点】函数恒成立问题．

【专题】函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．

【分析】（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值；

（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立， ∴

，

，则t∈[1，4]，可得t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m

∴，

∴；

（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m， ∴∴

，

对任意的x∈[0，2]恒成立，

即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，

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令，则t∈[1，4]，

∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立， ∴

，∴

．

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，恒成立问题，注意运用定义法和换元法，同时考查指数函数和对数函数的性质及运用，难度中档．

20．定义函数g（x）=

，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．

（1）若f（2）=0，求实数a的值；

（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；

（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围． 【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用分段函数，分类讨论，求出实数a的值；

（2）f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，分类讨论，解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）； （3）

，利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a）， 当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，… 当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．… （2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）， ∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0， 当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴∴

或

．…

，… ，…

（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）， ∴

，

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当a＞0时，，∴2≤a≤3，…

当a=0时，不合题意，…

当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，… ∴2≤a≤3．…

【点评】本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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