抛物线练习题三

1、若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是________． 2、以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为________．

3、若垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于点A，B，且AB＝43，则直线AB的方程为________． 4、设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． x2y2

5、抛物线y＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．

124

2

y2

6、在直角坐标系xOy中，双曲线x－＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方

3

2

程是________．

7、探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm，灯深40 cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．

8、点M到直线l：x＋2y－3＝0的距离等于到点A(1,1)的距离，则点M的轨迹为________． 9、已知P为抛物线y2＝4x上一点，设P到准线的距离为d1，P到点A(1,4)的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．

10、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，求|PF|.

11、如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

12、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时AB的宽为20 m，如果水位上升3 m时，水面CD的宽为10 m.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计)，货车正以每小时40 km的速度开往乙地，当行驶1小时时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨造成水位以每小时0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．

试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少km?

参

p

1. y2=8x 解析：∵抛物线的焦点在x轴上，且=2，∴抛物线的标准方程是y2=8x.

2

2. x2+y2-2x=0 解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0.

3. x=3 解析：由题意知点A，B的纵坐标为23和-23，代入抛物线方程求得x=3，所以直线AB的方程为x=3.

4. 6 解析：抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到抛物线准线的距离是6，由抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6.

x2y22

5. 1 解析：抛物线y=8x的焦点坐标是(2,0)，双曲线-=1的渐近线方程为x3y=0，

124

2

利用点到直线的距离公式得所求距离为2=1. 2

1+3

2

a2122y6. y=2x 解析：双曲线x-=1的左准线l的方程为x=-=-，

3c2

1p1

∴所求抛物线的准线方程为x=-，即抛物线的焦点在x轴上，且-=-，解得p=1，∴

222

2

抛物线方程为y=2x.

7. 5. 625 cm 解析：将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半

45

轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2=2px中，解得p=，而光源放在焦点位4

145

置，距离顶点p==5.625 cm处．

28

8. 经过点A(1,1)且垂直于直线l的直线

解析：因为点A(1,1)在直线x+2y-3=0上，所以动点的轨迹不是抛物线，而是过点A且与直线x+2y-3=0垂直的直线，其方程为2x-y-1=0.

9. 4 解析：由抛物线定义得P到准线的距离d1等于点P到焦点F(1,0)的距离PF，又点A(1,4)在抛物线外部，所以当点P、A、F三点共线时，d1+d2取得最小值AF，即最小值为4.

10. 设点P(x0，y0)，则y20=8x0，A(-2，y0)，又焦点F(2,0)，直线AF的斜率为-3，所y0以=-3，解得y0=43，所以P(6,43)，所以|PF|=6-22+432=8. -4

11. (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px. ∵点P(1,2)在抛物线上，∴22=2p1，解得p=2. ∴所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.

y1-2则kPA=(x1)，

x1-11y2-2kPB=(x1)，

x2-12

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA=-kPB.

由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y21=4x1，① y22=4x2，② y1-2y2-2∴=-， 1212y-1y2-1414

∴y1+2=-(y2+2)，∴y1+y2=-4. 由①-②得直线AB的斜率为