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浙江省杭州市高一（上）期末检测
数学试卷
一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内） 1．（3分）sin120°的值为（ ） A． B．
C．
D．﹣
2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（ ） A． B．﹣ C．
D．﹣
3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（ ） A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）
4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞） 5．（3分）函数y=
的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1] D．（，1]
6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（ ）
A．B．
C．D．
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7．（3分）已知函数f（x）=A． B．1
C．2
D．3
，则f（5）的值为（ ）
8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（ ） A．5
B．4
C．3
D．2
9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为
B．最小正周期为π的偶函数
的偶函数
的奇函数 D．最小正周期为
10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣A．向左平移C．向右平移
个单位 B．向左平移个单位 D．向右平移
）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ） 个单位 个单位
在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值
12．（3分）已知函数范围是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 13．（3分）定义min{a，b}=
D．＜a≤5
，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）
在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（ ） A．1
B． C．
D．
14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]
二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填
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在答题卷的相应位置）
15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ． 16．（3分）（）
+（
）
= ；log412﹣log43= ．
）的最小正周期是 ；不等式（fx）＞1的解集是 ．
17．（3分）函数（fx）=tan（2x﹣
18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是 ．
19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为 ． 20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为 ．
三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．
22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线且两相邻对称中心之间的距离为
．
对称，
．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间； （2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间
上总有实数解，求实数k的取值范围．
23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示． （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
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（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．
24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）． （1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集； （2）若
之和的取值范围．
，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点
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2019-2020学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内） 1．（3分）sin120°的值为（ ） A． B．
C．
D．﹣
【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．
故选C．
2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（ ） A． B．﹣ C．
D．﹣
【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角， ∴cosα=﹣=﹣．
故选：D．
3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（A．（0，3） B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3） 【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}， B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}， ∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）． 故选：A．
4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
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）----
【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数， ∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0， ∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理， 故选：C．
5．（3分）函数y=
的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1] D．（，1] 【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0， 即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1， 即函数的定义域为（，1]， 故选：D
6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势， 之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势， 但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB， 根据正常人的心率约为65，可排除D， 只有C符合， 故选：C
7．（3分）已知函数f（x）=
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，则f（5）的值为（ ）
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A． B．1 C．2 D．3
，
【解答】解：∵函数f（x）=∴f（5）=f（3）=f（1）=2． 故选：C．
8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（ ） A．5
B．4
C．3
D．2
【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数， ∴设g（x）=f（2x）+2x，
则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x， 即f（﹣2x）=f（2x）+4x，
当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5， 故选：A
9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为
B．最小正周期为π的偶函数
的偶函数
的奇函数 D．最小正周期为
【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|
=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x）， 则函数f（x）是偶函数， ∵f（x+
）=|sin（x+
）+cos（x+
）|+|sin（x+
）﹣cos（x+
）|
=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x）， ∴函数f（x）的周期是故选：D
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，
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10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【解答】解：如图所示， ∵
＞π﹣2＞1＞0，
∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1， ∵
，
∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3． 综上可得：sin2＞sin1＞sin3． 故选B．
11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣A．向左平移C．向右平移
个单位 B．向左平移个单位 D．向右平移
）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ） 个单位 个单位
﹣2x）=sin（2x+
）=sin[2（x+
）]，
【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（
∴将函数y=sin2x的图象向左平移故选：B．
12．（3分）已知函数
个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．
在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值
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范围是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 【解答】解：函数
D．＜a≤5
在（﹣∞，+∞）上是增函数，
可得：故选：B．
，解得：1＜a≤3．
13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）
在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（ ） A．1
B． C．
D．
【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线）， 其中A（1，1），B（3，3）， 即f（x）=
，
当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=， 即xC=或xG=
，
当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得xE=，
由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为xE﹣xC=﹣=， 故选：B．
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14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]
【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f（x）max，x∈[1，4]．
令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减， ∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．
①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．
②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3． ③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3． 综上①②③可得：m≤3．
∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]． 故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）
15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；
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∁UM={1，5，6}，
故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}
16．（3分）（）【解答】解：（）==
+（+（
））
= 3 ；log412﹣log43= 1 ．
；
．
log412﹣log43=故答案为：3，1．
17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是 ．
；不等式f（x）＞1的解集是
【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=由f（x）＞1得tan（2x﹣得
+kπ＜2x﹣
＜
）＞1，
+
＜x＜
+
；
+kπ，得，k∈Z， ； ；
即不等式的解集为故答案为：
，
18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是 （﹣4，﹣2）∪（0，2） ．
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【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），
∴h（x）是奇函数，
由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0， 当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0， ∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）． 故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）
19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为 ﹣1 ． 【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞）， ∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0， 当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，
又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立， ①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数， 在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；
②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意； ∴a＜0． 作图如下：
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由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A， 即满足
时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，
解方程
故答案为：﹣1．
得，解得a=﹣1．
20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为 16 ． 【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a， ∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4， 故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，
且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根， 不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2， 则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）] =（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）
=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16． 故答案为：16
三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数． 【解答】（1）解：由所以
；
得，
，
．
（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0， 则∵
∴f（x2）＞f（x1），
函数f（x）在定义域上是增函数．
22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线且两相邻对称中心之间的距离为
．
对称，
，
，
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间； （2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当得所以由
时，
上总有实数解，求实数k的取值范围．
，（2分）
（2分）
，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得
，（1分）
，得
，k∈Z
（k∈Z），（2分）
，所以． （3分）
，（2分）
所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（2）当
时，
所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得
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23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示． （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为： 50+70+90+60=270，
表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km． （4分） （2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，
汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：
（4分）
图象如下图：
（4分）
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24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）． （1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集； （2）若
之和的取值范围．
【解答】解：（1）方法一： 当a=﹣1时，
（2 分）
，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点
由f（x）=1得或（2 分）
解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}． （2分）
方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2 即解集为{0，1，﹣2}． （3分） （2）
当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0 得且先
判
断
2
﹣
a
，
，
，
（2分）
与大小：∵
，即a＜x1＜x2，故
当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）
当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0
，
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得，
同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分） 综上可知当且设
，易知g（a）在
时，f（x）存在三个不同零点．
上单调递增，
故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）． （ 2分）
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