2015最新初中数学函数部分知识点复习

让复习不走弯路的四个小窍门

常常看到在大大小小的数学考试后，一些同学大呼小叫：这道题我本来会做的，可惜不是这里看错了，就是那里算错了；还有一些同学在考试过程中，对于“难题”百思不得其解，可是交卷之后，并没有得到别人的任何帮助，便想出了解题的方法。上述这些现象我们将如何面对，争取不走弯路或少走弯路？对此我向大家提出几点建议，希望对同学们的学习有所帮助。

1、钻研课本，打好基础在数学复习中，首先应将课本中的基本概念、法则、公式、性质、公理、定理及解答问题中常用的一些基本数学思想方法进行梳理，注意挖掘和发挥课本中例题、习题的潜在功能，归纳整理基础知识、基本技能。

2、练习重效率，切忌好高骛远。做练习题若不注意消化吸收，只是一味地贪多求快，轻易重难，则会劳而无功。复习时，一要落实课本中练习、习题以及读一读、想一想、做一做等探索性内容，二要精选近年来各地中考试题中的优秀试题，进行强化训练，不能贪多求快，要注意练习的效率

3、注重反思解题的思维过程，提高思维能力。平时做练习时，注重反思解题的思维过程、探索过程、自己出错的原因和思维的断层。解题时，要注意观察已知条件和需解决的问题的特点、挖掘其背后隐含信息、联想有关的已学知识、寻求解决问题的突破口；解题后应反思，此题的解法自己是怎么想出来的，通过解题自己受到了什么启发，特别是在解答时曾感困难的问题，更应思考在什么地方遇到了困难，造成困难的原因是什么，由此又可吸取什么经验、教训等等。

4、树立自信，保持好心态。良好的心态对理科考试尤为重要，也是思路顺畅的前提。过度紧张会导致思路不清，计算错误或做不出题。学会自我情绪，培养自信心，以积极的心态面对考试。

最后祝愿同学们成功在中考考场！

初三数学复习：函数及其图象知识点整理

一、平面直角坐标系

1、在平面内，有__________________________的两条数轴，组成平面直角坐标系

注意 1) 坐标平面内的点与________________一一对应

2） 坐标轴上的点不属于任何象限。 2、不同位置点的坐标的特征：

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

1）坐标轴上点的特征：

x轴上点的纵坐标为0，一般记为P（___，___）；x轴可写成直线y=0， y轴上点的横坐标为0，一般记为Q（___，___）；y轴可写成x=0， 2）各象限内点的坐标的特征：

第一象限：（___，___）； 第二象限：（___，___）； 第三象限：（___，___）； 第四象限 ：（___，___）；

3 、点P（x，y）坐标的几何意义 ：1）点P（x，y）到x轴的距离是____；

2）点P（x，y）到y轴的距离是____；3）点P（x，y）到原点的距离是____; 4、关于坐标轴、原点对称的两点坐标的特征

1）点P（a，b）关于x轴的对称点P1（___，___）； 2）点P（a，b）关于y轴的对称点P2（___，___）； 3）点P（a，b）关于原点的对称点P3（___，___）；

5、同一数轴上两点间距离，（1）x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）则AB=|x1-x2|； （2）y轴上两点C（0，y1），D（0，y2），则CD=|y1-y2|。

6、过P（a，b）平行于x轴的直线可写成y=b，平行于y轴的直线可写成x=a，第一、三象限的两轴角平分线y=x； 第二、四象限的夹角平分线y=-x。

二、函数的概念

1、常量 在某问题的研究过程中，保持不变的量叫做常量。 变量 在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量。

2、函数 一般地，设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值y都有唯一的值和它相对应，那么说y是x的函数，x为自变量，y是因变量。

函数值 如果变量y是自变量x的函数，即y=f（x），那么当x在定义域内取每一个确定的值，如x=a

时，变量y都有惟一确定的值与它对应，这个对应值叫做自变量取确定值a时的函数值，通常用记号f（a）来表示

函数的图像 对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。 3、函数常用表示方法：解析式，列表法，图像法

4、函数图像的画法 由函数解析式画函数的图像，一般按下列步骤进行。

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：用表中的对应值作为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：用光滑的曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描的点连接起来。在描点时，描出的点越多，图像越精确，实际上，一般不可能把所有的点都描出来，只能用光滑的曲线连接描出的一些点，从面得到函数的近似图像。

注意：画图象应在自变量取值范围内画

5、自变量取值范围：（1）整式时自变量取全体实数；（2）分式时分母不为零；（3）二次根式中被开方数是非负数；（4）a，a中a≠0；（5）使实际问题有意义.

0

-p

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

求自变量取值范围时考虑应周密：例如y=x+

x1－2

＋x中x＞0且x≠2 0(x2)几个常见的函数

（一）．正比例函数

1、函数__________（k≠0的常数）叫做正比例函数

2、正比例函数的图像：①正比例函数y=kx（k≠0的常数）的图像是经过坐标原点和 （1，_____）的一条直线，也叫做直线y=kx

②根据两点确定一条直线的规律，在画正比例函数的图像时，除了取原点以处，只需另外再取一个点就可以了，一般取符合解析式的整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）描起来较方便。如画函数y1，然后描点、连线即可。 x的图像时，分别取点（0，0）和（2，-1）

23、正比例函数的性质

正比例函数y=kx（k≠0的常数）有如下的性质：

①当k＞0时，它的图像在第_________象限内，y随x的增大而_________； ②当k＜0时，它的图像在第_________象限内，y随x的增大而_________。 4、函数的性质应结合它的图像来理解

（二）一次函数

1、函数y=_______ （_______常数， _______≠0）叫做一次函数

当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数 k≠0），这时y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特殊情况。 2、一次函数的图像

①一次函数的图像是经过点（0，_______）且平行于直线y=kx的一条直线，一次函数y=kx+b的图像也叫做直线y=kx+b。直线y=kx+b与y轴相交于点（0，b）

②两条直线L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1≠b2，那么L1∥ L2，反之也成立。

③由两点确定一条直线可知，在画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过这两点画一条直线就可以了，当b≠0时，一般取与坐标轴相交的两点（____，0）、（0，____）较好。 3、直线位置与常数的关系

①k决定直线的方向 k＞0直线的方向向上；k＜0直线的方向向下

②b决定直线与y轴交点的位置： b＞0 直线与y轴交点在x轴的_____； b=0 直线过_____点；b＜0 直线与y轴交点在x轴的_____；

根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号：

4、一次函数的性质：

与正比例函数的性质一样，当k＞0，y随x的增大而_____；当k＜0，y随x的增大而_____。

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

5、一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y=kx+b（k≠0），当y=0时，即对应一元一次方程y=kx+b（k≠0），也就是说一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程y=kx+b（k≠0）的根。 6、求一次函数表达式：待定系数法

由已知条件，先设一个式子中的未知系数，然后根据已知数据求出未知系数，从而法语出这个式子的方法叫待定系数法。

说明：求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一般都采用待定系数法。

7、一次函数图像与坐标轴交点： 直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点（____，0），与y轴交点（0，____），与两坐标轴围成的三角形的面积_______

（三）反比例函数

k1、函数y=（k≠0的常数）叫做反比例函数，也可以说y与x成反比例，

x函数中的x≠0。 ①与正比例函数一样，确定了k值，就可以确定一个反比例函数。 ②反比例函数y=

k还可表示成y=kx-1的形式。 x2、反比例函数的性质 ①当k＞0时，它的图像的两个分支分别在第______限内，在每个象限内，y随x的增大而______。

②当k＜0时，它的图像的两个分支分别在第______象限内，在每个象限内，y随x的增大而______。 ③图像的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。 注意：用性质时，要注意“在每个象限内”这个条件。

3、k决定双曲线的位置 ①k＞0  图像的两个分支分别在第____ 象限内。

②k＜0  图像的两个分支分别在第____ 象限内。 4、k的几何意义 过双曲线y=

k（k≠0） 上任意一点P引 xx轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A，

则矩形PBOA的面积为 _____ , △POB的面积为______

（四）二次函数

1、 函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，它是一个轴对称图形，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 3、二次函数常用的两种表达形式

①二次函数的解折式有两种常用的表达形式：一般式、顶点式。

②两根式中x1、x2是抛物线与x轴相交的两个交点的横坐标，即方程ax2+bx+c=0的两个实根。 ③二次函数解析式的两种常用表达形式各有其优点，可以根据不同需要互相转化，如一般式通过配方可化为顶点式。

4、二次函数的性质 ①a＞0时，抛物线的开口向_____，顶点是它的最_____点；a＜0时，抛物线的开口向_____，顶点是它的最_____点；a决定抛物线的开口_____和开口_____。a越大，开口越_____。②抛物线的对称轴是直线x=_____，顶点坐标是（_____，_____）

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

③ 如果抛物线用顶点式y= a（x－h）2+k表示时，那么对称轴是直线x=_____，顶点坐标是（_____，_____）

④当b=c=0时，二次函数为最简单的二次函数y=ax2。当b、c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与y=ax2的图像的形状相同，位置不同，可以通过适当的平移，使两个图形重合，如把二次函数y=(x－1)2－4的图像，向左平移一个单位，向上平移四个单位，即与y=3x2的图像重合。

⑤画二次函数的图像时，应先求出它的对称轴和顶点坐标，然后利用它的对称性列表取点，如取与y轴的交点及基本对称点，如果图像与x轴有两个交点，取这两个交点等，最后描点连接，就可画出二次函数的图像。

5、抛物线中间由a、b、c决定：

a＞0  开口向___ ①a决定抛物线的开口方向

a＜0  开口向___ ②c决定抛物线与y轴交点的位置：

c＞0  图像与y轴交点在x轴的___方；

c=0  图像过___点； c＜0 图像与x轴交点在x轴的___方。 ③a、b决定抛物线对称轴的位置： （对称轴：x=b） 2aa、b同号 对称轴在y轴___ 侧； b=0  对称轴是y轴； a、b异号对称轴在y轴___ 侧。

④△=b2－4ac决定抛物线与x轴交点情况： △＞0 抛物线与x轴有两个不同交点； △=0抛物线与x轴有惟一公共点（相切）； △＜0抛物线与x轴有无公共点。 6、二次函数的最值

①二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）中，

4acb24acb2b如果a＞0，那么当x=时，函数y有最小值，记作y最小值＝；如果a＜0，

4a4a2a4acb24acb2b那么当x=时，函数y有最大值，记作y最大值＝；

4a4a2a②所谓最值就是最大值或最小值，二次函数取最大值或最小值是与决定图像开口方向的a有关。 ③二次函数的最值反映到图像上，就是最高点或最低点，也就是顶点的纵坐标。 7、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0），当y＝0时，即对应一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），也就是说，二次函数y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的图像与x轴的交点的横坐标x的值就是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根。

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

①当△=b2－4ac＞0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点。

②当△=b2－4ac＝0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一交点，即抛物线的顶点；

③当△=b2－4ac＜0时，由于一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点。

8、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 9、会用二次函数来解决有关实际问题

（五）分段函数

自变量的取值范围分成几段，函数在每段上都用相应的函数解析式表示，这样的函数叫做分段函数。

（六）常见题解法及思路

1、直角坐标系问题其实就是各特殊点、象限点的坐标问题，只要掌握各点坐标特征，问题就可迎刃而解。

2、对于函数问题，其概念理解应全面，应注意三点：1）两个变量x与y；2）变量y的值随变量x的值变化而变化；3）对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应。 3、画函数图像的一般方法是：列表、描点、连线

4、灵活掌握各特殊函数本身的定义、表达式特征、图象、性质，其中也包括函数的对称性和增减性，并且由数形结合思想将表达式、图象、性质三位一体。如：会由函数图象来判断解析式的系数符号，或由一些对图象的描述性语言来判断解析式的系数符号。

5、求两个函数的交点问题，把两个解析式组成方程组，方程组若有解，则为交点坐标 6、用待定系数法求函数解析式的方法

1）有几个待定的系数，就要有几个条件来列出相应的方程（组）计算。

2）由了解各特殊函数中系数的作用来进行计算，如：一次函数y=kx+b1与y=kx+b2（k≠0），由于x的系数相同而知两直线平行，反之亦然。又如：二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），与y=状相同，则意味着a=12

x的图像形21等，这些也可作为用待定系数法时使用的条件。 23）在二次函数中，其待定系数法可用解析式不只是标准式y=ax2+bx+c（a≠0）还有其他在特殊条件下使用的可使运算简便的解析式。如：

顶点式y=a(x-h)2+k，（a≠0）当给定函数的顶点为p(h , k)时使用。 7、一次函数图像与x,y轴所围成三角形与四边形的面积问题 8、抛物线与x轴两交点（x1，0），（x2，0）则对称轴xx1x2， 213=1 29、有些求线段和、差的最值常常是利用点的对称来解决. ．．

又P(-1,5),Q（3,5）在抛物线上，则对称轴x=例：⑴已知A（－1，3），B(2,1)在x轴上求一点,

源-于-网-络-收-集

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

① P1使AP1+BP1最小；② P2使AP 2BP2最大．．．．⑵ 已知C(3,3),D(－1,-1)在x轴上求一点,

2 3A3C D' 1BQ11 Q23x 2xPDP1-12-1 `-1B

解：⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇(2,-1),直线AB＇与x轴交点 即为所求AP1+BP1最小点P1（5,0）； ②直线AB与x轴交点即为P2（7,0） ．

4① Q1使CQ1DQ1最大；② Q2使CQ2+DQ2最小； ．．．

yy2⑵如图① D关于x轴对称点D＇（1,1）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（9,0）；

24

②直线CD与x轴的交点Q2（3,0）

8

源-于-网-络-收-集