人教版初三数学《解直角三角形》

解直角三角形

中考内容与要求

中考内容 锐角三角函数 中考要求 A B C 由某个锐角的一个了解锐角三角函数三角函数值，会求这（sinA，cosA，能运用三角函数解个角的其余两个三tanA）；知道30°，决与直角三角形有角函数值；会计算含45°，60°角的三角关的简单问题 60°角有30°，45°，函数值 的三角函数式的值

中考考点分析

解直角三角形的知识是近年各地中考的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主。应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识、技能的要求也越来越高。北京中考题中的第13题是简单的三角函数计算，第20题是计算长度问题，一般可以转化为直角三角形运用三角函数得到解决。

本部分内容要求同学们能掌握三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值；将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；涉及解斜三角形的问题时，构造数学几何模型，即通过添加适当的辅助线将解一般三角形转化为解直角三角形。

年份 题号 分值 考点 2011年 13，20 11分 三角函数计算；运用三角函数解直角三角形 2012年 13，20 10分 三角函数计算；运用三角函数解直角三角形

2013年 14，20 10分 三角函数计算；运用三角函数解直角三角形

1

知识互联网

题型一：构造直角三角形及三角板拼图

思路导航

在一些几何证明题或者解答题中，往往通过构造直角三角形利用勾股定理、相似或者三角函数来达到解题的目的．

典题精练

【例1】 四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个

小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么sin ． 3 【解析】 （或0.6） 5

【例2】 四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，可以证明当ACBD时（如图1），

2

1四边形ABCD的面积Smn，那么当AC，BD所夹的锐角为时（如图2），四边形

2ABCD的面积S ．（用含m，n，的式子表示）

A A

B

C 图1

D B

C



D

1【解析】 mnsin.

2

【例3】 已知两个不同型号的三角板拼在一起（互不重叠），并且其中的两条边完全重合.

⑴ 这样的拼法共有几种?请分别画出.

⑵ 当两个三角形的斜边重合时，求出此时四边形对角线夹角的正切值．

【解析】 ⑴ 如图所示，一共有九种拼法

图2

45°30°30°30°45°60°45°

45°30°60°45°30°45°45°30°

⑵ 如图，分别过A、D作AFBC，DGBC，垂足为F、G．

设CDa，则BC2a，AFa， ∵CBD30°，∴GCD60°，

3aa，CG ∴DGCDsinGCD22设EFx，∵AF∥DG，∴△AEF∽△DEG

3EFAFx ∴，∴EG2EGDGaa∵FGFCCGa

22

3

3ax，∴x23a 22AFa∴tan23 EF23a∴x

题型二：解直角三角形的复杂应用

思路导航

解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；

⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．

典题精练

B

30 【例4】 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教

学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米.

(2013 东营)

【解析】9米．

D 60 A C

【例5】 如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得

∠AEP74，∠BEQ30；在点F处测得∠AFP60，∠BFQ60，EF1km． ⑴ 判断AB、AE的数量关系，并说明理由

⑵ 求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：3≈1.73，

4

sin74≈0.96，cos74≈0.28，tan74≈3.49，sin76≈0.97，cos76≈0.24）

（2012无锡模拟）

A

B

PE

FQ

（1）相等，证明：∵∠BEQ30，∠BFQ60，∴∠EBF30，

EFBF．又∵∠AFP60，∴∠BFA60．

在△AEF与△ABF中，EFBF，∠AFE∠AFB，AFAF， ∴△AEF≌∠ABF，∴ABAE． （2）作AH⊥PQ，垂足为H，

设AEx，则AHxsin74，HExcos74，HFxcos741．

Rt△AHF中，AHHFtan60，∴xcos74xcos741tan60，即

0.96x0.28x11.73，

∴x≈3.6，即AB≈3.6km．

5

【解析】

题型三：阅读理解

【例6】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根

据指令[s，]（s≥0，0≤360）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转

角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．

⑴ 填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A(2，2)，则给机器人发出的指令应是_________

⑵ 机器人在完成上述指令后，发现P(6，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运

动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小

sin490.75，cos370.80，tan370.75，球的位置）（角度精确到度；参考数据：

tan390.80）

yAxNyAxN典题精练

OPOBCP

【解析】 ⑴ [22，45]

⑵ 设在x轴上的C(x，0)处正好截住小球，过A作ABx轴于B．

∵机器人和小球速度相同，∴CACP

∴AB2BC2POOC，即22(x2)26x，解得x3.5， ∴C(3.5，0)，∴PC6x2.5, BC1.5，

1.5∴在Rt△ABC中，tanBAC0.75

2∴BAC37，∴NAC1353798，即98， ∵ACPC2.5，即s2.5．∴所下指令为[2.5，98]

【例7】 如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点

6

A(滨海市)MB(临海市)M）位于滨海市（记作点A）的南偏西15，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．

⑴ 滨海市和临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说 明理由．

⑵ 若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时 间有多少小时？

（湖北黄冈）

【解析】 ⑴ 如图设台风中心运行的路线为射线MN，于是AMN601545，

过A作AHMN于H，故△AMH是等腰直角三角形 ∵AM612，∴AH6160， ∴滨海市不会受到台风的影响； 过B作BH1MN于H1，

∵MB603，BMN906030

1∴BH160360，

2因此临海市会受到台风的影响；

⑵如图以B为圆心60为半径作圆与MN交于T1、T2， 则BT1BT260，

3033， 602∴BT1H160，∴△BT1T2是等边三角形，

MA(滨海市)T2T1HH1NB(临海市)在Rt△BT1H1中，sinBT1H1∴TT1260

∴台风中心经过线段T1T2上所用的时间t因此临海市受到台风侵袭的时间为

605， （小时）

7265小时． 6

7

训练1. 如图1，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾

斜角为60．

⑴ 求AO与BO的长；

⑵ 若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．

① 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

② 如图３，当A点下滑到A点，B点向右滑行到B点时，梯子AB的中点P也随之运动到P点．若POP15，试求AA的长．

NA思维拓展训练(选讲)

NACNAA'PP'OB图1MOBDOBB'图3MM图2

【解析】⑴ Rt△AOB中，O90，60

∴OAB30，又AB4米，

3123米． AB2米．OAABsin60422⑵ 设AC2x，BD3x，在Rt△COD中，

∴OBOC232x，OD23x，CD4 根据勾股定理：OC2OD2CD2

∴232x223x42

2∴13x21283x0

∵x0 ∴13x12830

8312∴x

1316324AC2x

1316324即梯子顶端A沿NO下滑了米．

13⑶ ∵点P和点P分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△AOB的斜边AB的中点 ∴POPB，POPB ∵60° ∴POB60° ∵POP15°

∴POB60°15°45°

∵POPB，∴PBO45° ∴OPAB，∴OA22

8

∴AAOAAO(2322)米．

训练2. 如图，已知：△ABC是等腰直角三角形，ACB90，过BC的

中点D作DEAB，垂足为E，连接CE，求sinACE的值．

【解析】过点E作EFBD，F为垂足．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB45，ACBC，又DEAB， ∴△DEB也是等腰直角三角形． 设EFa

A∴BD2a ∴BC4a ∵B45° ∴BFEFa

∴CF3a，∴EC10a

CF3a310∴sinCEF EC1010a∵ACECEF，∴sinACE310 10CDAECDEFBB

训练3. 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地

面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的AOP60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的EOP45°，那么小山的高度CD约为（ ） A．68米 B．70米 C．121米 C．123米

（注：数据31.732，21.414供计算时选用）

CCOAPGB45EO'GPFP'D60OA【解析】设CGx，则AG∵AE50，

CGCG3x，EGx

tan30tan45503125(31)

∴3xx50，解得x∴CD25(31)1.670米．选B

训练4. 某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，此地一年中的

冬至这一天的正中午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为（如图）小明想为

自己家的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度

9

地遮拦夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，小明查阅了有关

73.5，资料，获得了所在地区24.6，小明又量得窗户的高度为AB1.65米，若同时满足下面两个条件：⑴ 当太阳光与地面的夹角为时，要想使太阳光刚好全部

射入室内，⑵ 当太阳光与地面的夹角为时，想要使太阳光不射入室内，请你借助下

面的图形帮助小明算一算，遮阳蓬BCD中，BC和CD的长各是多少（精确到0.01米）？

tan73.5（tan24.60.458，6.374）

tan24.6【解析】 在Rt△ADC中，ADC73.5，AB1.65，

AC1.65BC∴tanADC，tan73.5

CDCD在Rt△BCD中，CDB24.6

BC∴tanBDCtan24.6

CD1.65BCtan73.5∴6.374，

BCtan24.6解得BC0.26

BC∴CD0.57

tan24.6答：BC和CD的长分别约为0.26米和0.57米．

10

复习巩固

题型一 构造直角三角形及三角板拼图

【练习1】 公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BCCD10米，BC120，

A45．请你求出这块草地的面积．

DD

CCA

【解析】 延长DC、AB交于E，连结DB，

∵ABCBCD120，∴EBCECB60，∴△EBC是等边三角形，

∵DCCB，∴CDBDBC30，∴DBA90，BD103，

21∵A45，∴AB103，∴S△ABD103150，

2111S△BCDS△BDE10103253，

222BABE∴这块草地的面积为150253平方米．

【练习2】 我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三

AD角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形ABCD分割成大小⑥④H⑦不同的七个相似直角三角形．按从大到小的顺序编号为①至⑦，从⑤GF②而割成一副“三角七巧板”．已知线段AB1，BAC．

E①⑴ 请用的三角函数表示线段BE的长 ；

③⑵ 图中与线段BE相等的线段是 ；

BC⑶ 仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长（用的三角

函数表示）．

【解析】 ⑴ sin ⑵ DF

⑶ 由⑴、⑵知DFBEsin

由题意易得DFGADFCAB ∴DGHDFG 在Rt△DFG中

DG∵sinDFG，DFsin ∴DGsin2

DFDH在Rt△DGH中 ∵sinDGH，DGsin2 ∴DHsin3

DG题型二 解直角三角形的复杂应用

【练习3】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽AD6m，坡面CD82m，AB的坡

11

度为1:3，ADC135，求水坝的横截面积．

ADADBC

BEFC

【解析】 过A、D分别作AEBC、DFBC，垂足为E、F．

则AEBADFDFC90，由ADC135， ∴CDF45，且四边形ADFE是矩形， ∴ADEF6m，AEDF

在Rt△CDF中，DFC90，CCDF45，

28m，∴AE8m， ∴DFCFCDsin45822在Rt△ABE中，由AB的坡度为1:3，则B30，

AE3883m， ∴BEtan303∴BCBEEFCF8368(1483)m，

11∴S梯形ABCDADBCAE(61483)8(80323)m2．

22答：水坝的横截面积为(80323)平方米．

【练习4】 如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60方向上，港口

一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离D在港口A北偏西60方向上．

A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．

（云南中考）

【解析】 连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作BTAT于T，AC与BT交于点E．

过B作BPAC于点P．

由已知得BAD90，BAC30，AB32575（海里）， 在△BEP和△AET中，BPEATE90，AETBEP， ∴EBPEAT30．

1∵BAT60，∴BAP30，从而BP7537.5（海里）．

2∵港口C在B处的南偏东75方向上，∴CBP45．

12

在等腰Rt△CBP中，BC2BP752（海里），∴BC． 2△BAD是直角三角形，∴BDAB．

综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75方向上直接驶向港口C． 设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，

7525(48)5x，解不等式，得x202（海里）则据题意应有． 260答：此船应转向沿南偏东75的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时202海里，能保证船在抵达港口前不会沉没．

题型三 阅读理解

【练习5】 在例题6的第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速

2度为机器人的”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为 ．

2【解析】设在x轴上的C(x，0)处正好截住小球，过A作ABx轴于B，

∵小球速度为机器人的∴CA2CP

∴AB2BC22(POOC)，即22(x2)22(6x)， 解得x4，（增根x16舍去）． ∴C(4，0)，

∴BC2，

在Rt△ABC中，tanBAC1，

∴BAC45，∴NAC90，即90 ∵AC22，s22， ∴所下指令为[22，90]

OyAxN2， 2BCP

13

Rt△ABCACB901【测试】如图，在中，，沿△ABCAB，

的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为（ ）． 3 【解析】3

课后测

AMDCB

【测试2】在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30方向走了250米到达目的地C点，则A、C两地之间的距离为（ ）

A．2503米 B．5003米 C．2505米 D．5005米 【解析】C

【测试3】如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30，测得旗杆底部C的俯角为60，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．

【解析】过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE，

∴CEAD12． Rt△ACE中，

∵EAC60，CE12，

∴AECEtan6043．

Rt△ABE中，

∵BAE30，BEAEtan304． ∴BCCEBE16m．

答：旗杆的高度为16m．

14

北C30°B60°A东