南京师范大学2006年数学分析考研试题

南京师范大学2006年数学分析考研试题

一、判断下列命题是否正确，给出理由：（5分*2=10分）

1．若

f(x)在区间I上有原函数且单调，则f(x)在I上连续。

2．若非正常积分

af(x)dx收敛，则limf(x)必存在。

x2cosx2x2) (2) lim(n!)n

ncos2x二、（15分）求极限：(1) lim(x0 (3)

(x,y)(0,0)lim(xy)ln(x2y2)

三、（15分）设函数

f(x)在[0,1]上连续且大于零，证明:F(x)f(t)dtx21x201dt在f(t)(0, 2)内有且只有一根.

四、（15分）计算(x2yz)dx(y2xz)dy(z2xy)dz, L+为A(1,0,0)到B(1,0,2)的任

L意一条曲线. 五、（15分）若

f(x)在[a,b]上无界,证明:x0(a,b),对x0的任何邻域,使f(x)都无界.

11x[x],x0六、（15分）用可积条件证明函数f(x)在[0,1]上可积.

0,x0七、（15分）

f(x)是偶函数,二阶导数在

x=0的某邻域(,)(>0)内连续,且

f(0)1,f(0)2,证明:(f(1)绝对收敛. n)1(1)nx2八、（15分）(1)证明在[-1,1]上一致收敛. 2n(1x)x2 (2) 证明在[-1,1]上不一致收敛.

(1x2)n九、（15分）若

f(x)在[0,1]上连续,证明:limxf(t)dtf(0).

0t2x2x021