北大电动力学课的作业～

第一章 电磁现象普遍规律

1.1. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明：

f (u) =

dfdAdA u, A(u)u, A(u)udududu1.2. 根据算符  的微分性和矢量性，推导下列公式

(AB) = B ( A) + (B) A + A ( B) + ( A)B, A ( A) =

1.3. 设

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 A( A ) A. 2R(xx)2(yy)2(zz)2为源点x 到场点 x的距离，r的方向

规定为从源点指向场点。

(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商(exeyez)与对场变量求xyz微商(exReyez)的关系： RR,

Rxyz

RRR11R3, 30, 330.(R0)

RRRRRR(2) 求R, R, (a)R, (a R ),  [E0sin(kr)] 以及 [E0sin(kr)]，

其中 a, k 及E0 均为常矢量。 1.4. 若m 是常矢量，证明除 R=0 点外，矢量 AmRmR 的旋度等于标量 的

R3R3梯度的负值，即 A。其中 R 为原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 1.5. 应用高斯定理证明

线积分)

SVdvfdsf, 利用斯托克斯定理(用曲面积分来表示曲

SSfdlfds, 证明 Ldsdl

L1.6. 球心为O半径为 R的均匀带电球，电荷密度为，在O' 处挖去一个半 径为R/2

的空洞，OO'=R/2，试算出空洞内的电场强度。(提示：用迭加原理)

1.7. 一截面半径为a的无限长圆柱形直导线，电导率为，其内的电流密度 j均匀、稳定。

证明单位时间流入导线的电磁能量等于导线内单位时间消耗的Joule热（即Q= I2 R，其中，R1/(a2)。 1.8. 一同轴电缆，内导体柱的半径为a，外导体柱的半径为b，内外导体柱之间为真空，之

间的电压为V，内导体柱的电流为I，求内外柱之间的场、能流密度和传输功率。 (提示：本题属于稳恒情况，用柱坐标 , , z，取同轴电缆方向为z方向) 1.9. 证明均匀介质内部 (1)束缚电荷密度

P(10/)f，其中 f 为自由电荷密度。

在稳恒情况下 (2)磁化电流密度 jm(10/)jf.

1

1.10. 平行板电容器内有两层介质，厚度分别为 l1，l2 ，介电系数为 1，2 ，加在两板上 的电动势为E，(1) 求出电容器两极上的自由电荷面密度；(2) 若介质漏电，电导率 分别为 1，2，试求在电流达到稳恒时两极上及介质间的自由电荷面密度。 1.11. 有限区域内的介质被极化和磁化，试证明： (1)介质表面的等效面束缚电荷密度为

PPn，其中 P 是极化强度，n 是外向

的单位法向量。(2) 介质表面的等效面诱导电流为αm=M×n，其中 M 是磁化强度。

1.12. 半径为R0介电常数为ε的线性介质球，带有静止的自由电荷，电量为Qf，在下列情

况下求极化电荷的体分布、面分布、极化电荷的总量以及极化强度矢量P。 (1) 电荷Qf 均匀分布在球体内。(2) 电荷Qf 集中在球心上。

(3) 电荷Qf 均匀分布在球面上。

1.13. 一导体球壳与外界绝缘；(1) 证明：在达到静电平衡时，其电荷只能分布在外表面。(2)

如果在此时在球壳中心放一不为零的电荷Qf，由于导体球壳中(内外表面之间)静电场

= 0，在球壳中用静电场高斯定理似乎可证Qf = 0，问题出在哪里？(3) 把导体球壳外 表面接地，以此为例说明静电屏蔽效应。

第二章 静电场

2.1. 平行板电容器两极极板相距为d，其间为空气。一极板接地，另一极板电势为U，不考 虑边缘效应，求两极板间的电势，电场强度和极板上的电荷密度。

2.2. 由偶极子的远场势导出其在远处的电场强度公式。这个“远”的物理含义是什么？ 2.3. 证明：

11111rrr:…… rrrr2r2.4. 证明第二章讲义28页中排最右侧的图的电四极矩确实是对应 D23，也就是证明其他

Dij = 0。 2.5. 在原点有一个偶极矩为 p = pex 的偶极子，另在x = 0, y = 0, z = l 处有一个偶极矩为 p 的偶极子。算出它们在 r l处产生的电势。

2.6. 对如下两个电荷系统：(1)点电荷-2q位于坐标原点，另一个点电荷+q 位于x = l1, y = z =0 处，第三个点电荷+q位于y = l2, x = z = 0处；(2)前两个电荷不变，第三个点电荷放在x

= l1, y = l2, z = 0处；试算出它们的总电量，电偶极矩及电四极矩，并算出它们在远处的

所产生的电势的领头项。问电场强度与r几次方成反比。 2.7. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 p(t)利用电荷守恒定律 jVr(t,r)dV ,dp0 证明 p 的变化率为 (r,t)rdV.

Vtdt22.8. 以O为心，R半径的球面上，已知电势分布为(rR,)0(1cos)

其中θ为球坐标极角，用分离变量法求出球面外的电势分布。

2.9 半径为R0介电常数为ε的线性介质球，带有静止的自由电荷Qf 位于球心上；

(1) 用静电场高斯定理求空间各点的电势。(2) 用分离变量法求空间各点的电势。 2.10.一导体球壳与外界绝缘，内外径分别为R1和R2，在RR2处都是真空,在球壳 中心有一电荷Qf ；(1)用分离变量法求电势。(2) 把导体球壳外表面接地，用分离变量 法求空间各点的电势并以此为例说明静电屏蔽效应。

2.11.在x=0 处和y=0处有两个互相垂直的无限导体面，设有一点电荷从无穷远处准静态地

2

移至x = a, y = b, z = 0处。求电荷在这位置上所受的电场力和及在移动中外力所做的功。 2.12. z = 0处有一无限导体面，它在x = 0, y = 0, z = 0处有一向上的半球面凸起，半径为R。另在 x = y = 0, z=l > R处有一点电荷q，试求出上半无限空间内的电势分布。

第三章 静磁场

3.1. 设z < 0的半空间有磁导率为μ的均匀介质，z > 0的半空间为真空。有一无限长的电流

I 沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流(包括z = 0介质面上的磁化电流)的分布。 3.2. 有一个均匀，无限长直的圆柱形螺线管，单位长度有线圈n匝，电流强度为I，全空间 为真空。求管内外的磁感应强度和磁场强度。

3.3. 物质密度和电荷密度都均匀的刚性小球以角速度ω转动，小球的半径为R，总质量为M， 总电量为Q。求它的磁矩和回磁比(即角动量与磁矩之比)。

3.4. 证明两个闭合的稳恒电流圈 I1，I2之间的相互作用力服从牛顿第三定律。

3.5. 设理想铁磁体的磁化规律为B =μ1H+ M0，其中 μ1为常量，M0 是与H无关的常矢量。

求用这种材料作成的半径为R的球放在磁导率为μ'的线性、均匀、各向同性介质中，

求球内外的磁感应强度和球内磁化电流(包括铁磁体球面上的磁化电流)的分布。 3.6. 将一磁导率为μ，半径为R的球体置于均匀外磁场H0中，求球内外的磁场强度H，球内的磁化强度M和球体的总磁矩m。

3.7. 设z < 0处有磁导率很大的介质，z = a ( > 0) 处有一块磁矩为m的小永磁体，它的磁

矩方向与界面法向的夹角为θ，求z > 0处的磁势和这小永磁体所受到的力。 3.8. 在均匀线性介质中(1)证明没有自由电荷就没有极化电荷 (2)如没有自由电流可引入磁

标势和磁荷,证明体磁荷为0(既磁荷只可能出现在均匀线性介质的界面上)

第四章 电磁波的传播

4.1. 写出沿z方向传播的右旋和左旋平面波的实数和复数的表达式，并解释它们为什么能表

达圆偏振波。 4.2. 一平面波其电场矢量在x, y平面上沿y=x作直线振动，振幅为E0；(1) 写出这波的解析

式，并把它分解为圆偏振波的叠加；(2) 导出线偏振波基矢与圆偏振波基矢之间的变换公式。

4.3. 在光从光密介质(ε相对大)向光疏介质(ε相对小)入射的情况下，(1)写出入射、反射和折

射的能流密度；(2)能量的守恒性要求这三个能流满足什么关系？(3)讨论全反射情况下

的能量守恒。

4.4. 平面波从真空斜向地射入表面为平面的良导体。试求出透射波的传播矢量k和衰减长

度δ。

4.5. 证明透入导体表面的电磁波能量=在导体内传播时消耗的焦耳热。 4.6. 写出矩形波导管内磁场H满足的方程及其边界条件。 4.7. 论证矩形波导管内不能存在TMm0和TM0n型波。

4.8. 无限长的z向矩形波导管，在z = 0处被一垂直的理想导体板所封闭。求在z = - 至 z = 0间的管内能存在的波型。

4.9. 频率ν = ω/2π = 31010 Hz 的微波，在0.7cm0.4cm的矩形波导管中能以什么波型传

播？在0.7cm0.6cm的矩形波导管中能以什么波型传播？

第五章 电磁波的激发

5.1. 利用电荷守恒定律证明讲义中给出的电磁势 A， 满足洛伦兹条件。提示：先证明

j(r,tR/c)/Rj(r,tR/c)/R[j(r,t)]/R

3

5.2. 一圆盘的半径为R，有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，圆盘以恒定角速度  转动，求辐射场。

5.3. 在z轴有一个长度为l的小电流元，其电流为I = I0 e-i t，而且满足 kl  1 (k = ω/c)的

条件，求辐射场。 5.4. 第四章中平面波、波导管中的时谐电磁波、本章的谐振电流体系的辐射势都有k，谈谈

三者的异同。

5.5. 有一以频率为 的振动电偶极子，振幅为p0 在距离它为a 处有一与它平行的理想导体面。设   a，求r  处的辐射场，辐射能流的周期平均值。

5.6. 通有稳定电流I的圆线圈，半径为a。当它绕其直径以角速度  匀速转动时，求它的

辐射场。

5.7. 半径为R0 的均匀永磁体，磁化强度为M0，球以恒定的角速度  绕通过球心而垂直于

M0的轴旋转，设R0  c ，求辐射场和能流。 5.8. 在半径为a 的圆形线圈上通有电流I=I0e 。已知ka  1，求辐射场的分布，总辐射

功率及其方向分布的周期平均值。 5.9. 若5.7题的均匀永磁体，绕通过球心且与 M0 成  角的轴匀速转动，求辐射场和能流。 5.10.有两个频率为  和振幅p0 相同的偶极子分别位于z=±a/2处。两者均沿z方向振动，

但相位相反。设ka  1，求这系统的辐射场和辐射功率。

第六章 狭义相对论基础

6.1. 两把沿x方向的尺沿 x方向相对运动，相互认为对方有1%的缩短，问它们的相对速率

有多大？ 6.2.S系中不同地方的计时钟是对准了的。试证明从S'系看来它们没有对准。

6.3.S系中有一静长为l0 的管子沿x方向以速率v运动。从管尾向前射出一高速粒子，它相

对于管子的速率为u 求它到达管子前端所需的时间。

6.4. 利用光速不变原理，证明一对正反电子不可能湮灭成一个光子。

it

6.5. 有一光源S与接收器R相对静止，距离为 l0，S-R装置浸在均匀无限的液体介质(静止

折射率为n)中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间。

(1)液体介质相对于S-R装置静止。

(2)液体沿着S-R连线方向以速度v流动。 (3)液体垂直于S-R,连线方向以速度v流动。

6.6. 某原子在静止时发出的光波频率为 0 当它以速率v沿x方向运动时，求在顺及逆x方向观测到的频率( 提示：利用k= ( k, i/c)为四维矢量)，以此说明红移现象——向远离

我们的方向运动的发光体(星球)发出光的频率比静止时低。 6.7. 一平面镜向垂直镜面方向以速度v对S系运动，一平面波从镜子前方（即入射波矢与镜

子运动速度成钝角）向镜子斜向入射，入射角为θ，求在S系中的运动镜子的反射定律。 6.8. 用四维速度u 的洛伦兹变换导出三维速度v的变换公式(即速度合成公式)。 6.9. 证明电四极矩是三维二阶张量。

第七章 相对论性的物理学

7.1. 由电磁场张量Fν的洛伦兹变换式导出电场强度 E和磁场强度B的变换公式。 7.2. 证明EB 和 cB-E是洛伦兹不变量，并把它们用于对平面电磁波的讨论。

7.3. 甲乙两电子以同样的速度v相对S系飞行。它们之间的连线与速度方向垂直。问须给两

电子分别加多大的外力才能保持它们作匀速运动。

7.4. 若按氢原子的经典模型，电子绕核作圆周运动，半径为r0。试导出这模型原子的结合能

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22

2

和质量亏损对r0的依赖关系。当已测得其结合能B =13.6eV，相应地算出其半径r0和其质量亏损 M的大小。

7.5. 一个总质量为M0的激发原子，对所选定的参考系静止。它在跃迁到能量比之低 W的

基态时，发射一个光子(能量ħ，动量ħ k )，同时受到光子的反冲，因此光子的频率不能正好是ν= W / h，而要略小一些。证明这个频率为

2  /W[1W/(2M0c)]h7.6. 动量为 ħ k ，能量为ħ 的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向夹角为θ的方向

上。证明散射光子的频率变化量为

2(sin2/2)/(m0c2).

7.7. 证明自由电子吸收一个的光子即 e +  = e 与四维动量守恒矛盾，因而不可能发生。

第八章 运动电荷的电磁场

8.1. 带电粒子e沿轴作简谐振动：z=l e-it，设v  c，求它的辐射场、平均辐射功率和总平

均辐射功率。

8.2. 带电粒子q的速度v与加速度a的夹角为α，证明在v与a构成的平面内，与a的夹角

为θ的方向n上的辐射场为0，其中θ由下式确定：sinθ = βsinθ。

8.3. 带电荷q的粒子在x-y平面上绕z轴作匀速圆周运动，角频率为，圆半径为l。运动满

足l << c，计算辐射电磁场和平均能流密度，并分别指出在θ = 0, π/4, π/2, π方向电场的偏振情况。

8.4. 一个相对论性的电子在均匀恒定磁场B中作圆周运动，已知其动量大小为p，求它的轨

道半径和辐射总功率。

8.5. 计算考虑周期平均后的谐振子的能量，并证明这平均能量的的变化率与拉莫尔公式给出

的辐射功率一致。 8.6. 一带电为e的粒子，以速度v0作匀速直线运动，然后射入一介质，受到阻尼力 –αv，

最终减速到0。设介质的阻尼力远大于辐射阻尼力，介质的介电常数≈ε0，求粒子的总

辐射能。

8.7. 电子能量被加速至10 MeV时的v/c及  为多大？分a//v和a⊥v两种情形，算出其辐

射功率与同样加速度下的非相对论辐射功率之比。

第九章 介质对电磁波的影响

9.1. 求平面线偏振波被自由电子散射时，电波对电子所作的平均功率，并证明这平均功率等

于平均散射功率。 9.2. 频率为 的平面线偏振波入射到一个极化率为α的原子上(即原子的电偶极矩与外电场

的关系为：p= ε0αE），试按经典理论算出散射波的电场和磁场，辐射功率的角分布，辐射总功率，微分散射截面和总散射截面。

9.3. 平面线偏振波被一半径为a的介质小球散射，设介质小球的介电常数为ε，导磁率为

μ≈μ0，入射波的波长   a，求散射波的辐射功率角分布。

(提示：  a 意味着介质球处于一个均匀的似稳电磁场中，于是可以利用静电静磁的方法计算介质球的极化和磁化强度，从而可利用电和磁的偶极辐射的公式计算之)

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