大学物理学第3版(课后答案)_习题四

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用文档收集自网络，仅用于个人学习 d2202dt

描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．文档收集自网络，仅用于个人学习 (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为mgsin，如题4-1图(b)所

SR→0，所以回复力为mg.式中负号，表示回示．题 中所述，S＜＜R，故

复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，

在凹槽切线方向上有文档收集自网络，仅用于个人学习 2令

gR，则有

d2mR2mgdt

d2202dt

4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连

接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．文档收集自网络，仅用于个人学习

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有倔强系数为

FF1F2，设串联弹簧的等效

K串等效位移为x，则有

Fk串xF1k1x1 F2k2x2 xx1x2

又有

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x所以串联弹簧的等效倔强系数为

FFF12k串k1k2

k1k2k1k2

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为kk1k2/(k1k2)的弹簧振子系统，故

k串小球作谐振动．其振动周期为

T22m(k1k2)m2k串k1k2

(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有FF1F2，即xx1x2，设并联弹簧的倔强系数为

k并，则有

k并xk1x1k2x2故

同上理，其振动周期为

k并k1k2

T2

4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．文档收集自网络，仅用于个人学习 mk1k2

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有文档收集自网络，仅用于个人学习 d2xmgsinT1m2dt ①

T1RT2RI ② d2xR2T2k(x0x)dt ③

式中

x0mgsin/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

Id2x(mR)2kxRRdt

2kR2mR2I 令

则有

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d2x2x02dt

故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2ImI/R2T2(2)KkR2

21010kg的小球与轻弹簧组成的系统，按

4-4 质量为

3x0.1cos(82)3(SI)的规

律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)

t25s与t11s两个时刻的位相差；

xAcos(t0)，则知：

解：(1)设谐振动的标准方程为

A0.1m,8,T又

21s,02/34

vmA0.8ms12.51ms1 am2A63.2ms2

Fmam0.63N

(2)

12mvm3.16102J2

1EpEkE1.58102J2 E当

EkEp时，有

E2Ep，

12112kx(kA)22即 2

22Am220∴

(3) (t2t1)8(51)32

4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t0时质点的状态分别是：文档收集自网络，仅用于个人学习 x(1)0；

(2)过平衡位置向正向运动；

xAA2处向负向运动； (3)过

Ax2处向正向运动． (4)过

x试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：因为

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

x0Acos0v0Asin03 / 8

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2xAcos(t)T

3232xAcos(t)2T2 23xAcos(t)3T3 5254xAcos(t)4T4

34-6 一质量为1010kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t0时位移为24cm．求：

(1)t0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x12cm处所需的最短时间； (3)在x12cm处物体的总能量．

12A2410m,T4.0s 解：由题已知

∴ 又，t0时，

故振动方程为

20.5Trads1

x0A,00

(1)将t0.5s代入得

x24102cos(0.5t)m x0.524102cos(0.5t)m0.17m

Fmamx10103()20.174.2103N2

2方向指向坐标原点，即沿x轴负向．

0，

(2)由题知，t0时，0A,且v0,故ttt时 23

2t/s323 ∴

x0 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

121kAm2A222110103()2(0.24)2227.1104J

4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质

E量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度

v05.0cms1，求振动周期和振动表达式．文档收集自网络，仅用于个人学习 4 / 8

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解：由题知

m1g1.01039.81k0.2Nmx14.9102

k0.225,即T1.26sm8103

x01.0102m,v05.0102ms-1t0而时，( 设向上为正)

又

2Ax0(v0)2225.01022(1.010)()52102m

2v5.0105tan001,即0x01.010254

5x2102cos(5t)m4∴

4-8 图为两个谐振动的xt曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

3x00,v00,0,又,A10cm,T2s2解：由题4-8图(a)，∵t0时，

2rads1T即

3xa0.1cos(t)m2故

A5x0,v00,023 由题4-8图(b)∵t0时，

2

551132 又

56 ∴

55xb0.1cos(t)m63故

4-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．文档收集自网络，5 / 8

t10时，

x10,v10,12个人收集整理 仅供参考学习

仅用于个人学习 (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．文档收集自网络，仅用于个人学习 MMm2k，落下重物后振动周期为k，即增大． 解：(1)空盘的振动周期为

mgx0k．碰撞时，以m,M为一系统(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t0时，则

2动量守恒，即

m2gh(mM)v0

则有

于是

20v0m2ghmM

mg2m22gh2Ax()()()k(mM)v02tan0mg2kh1k(mM)g

v02khx0(Mm)g(第三象限)，所以振动方程为

（3）

mg2khk2khx1costarctank(mM)gmM(Mm)g

3m1010kg，当摆球处在平衡位置时，若l1.0m4-10 有一单摆，摆长，摆球质量

41Ft1.010kgms给小球一水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点(t0)，求

振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．文档收集自网络，仅用于个人学习 解：由动量定理，有

Ftmv0

Ft1.0104-1v0.01msm1.0103∴

x00,v00.01ms1xt0按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时，＞0

03/2∴

又

g9.83.13rads1l1.0

v0∴

故其角振幅

2Ax0()2v00.013.2103m3.13

小球的振动方程为

A3.2103radl

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3.2103cos(3.13t)rad

4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动

32的位相差为6，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两

振动的位相差．文档收集自网络，仅用于个人学习

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2A12A22A1Acos30(0.173)2(0.2)220.1730.23/20.01∴ A20.1m

设角AA1O为，则

2A2A12A22A1A2cos 2A12A2A2(0.173)2(0.1)2(0.02)2cos2A1A220.1730.1

即

0

即

4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

2，这说明，A1与A2间夹角为2，即二振动的位相差为2.

x5cos(3t)cmx5cos(3t)cm113374x25cos(3tx25cos(3t)cm)cm33(1)  (2)

7212,33解： (1)∵

∴合振幅AA1A210cm

(2)∵

4,33

∴合振幅A0

4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

x0.4cos(2t)m165x20.3cos(2t)m6

解：∵

5()66

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∴

A合A1A20.1m

5Asin1A2sin2663tan15A2cos1A2cos230.4cos0.3cos66 6 ∴

0.4sin0.3sin其振动方程为

x0.1cos(2t)m6

*

(作图法略)

4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振

动方程为x6cos2tcm，求y方向的振动方程．文档收集自网络，仅用于个人学习 题4-14图

3解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为2或2；又，轨道是按顺时针方向

旋转，故知两分振动位相差为2.所以y方向的振动方程为文档收集自网络，仅用于个人学习 y12cos(2t)cm2

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