比较法

第一课时 比较法 知识要点：

1．比差法

比差法的依据是a-b>0 , 步骤是: 2．比商法：

若a>0,b>0则 a>b， 证明指数式不等式时常用此法

A①② B ②③ C ①③ D②④

例3：若a>0,b>0,m>0,n>0。 求证a

练习：已知a,b为正实数,nN 求证：

mnbmnambnanbm

例题分析：

例1：已知a,bR,求证： ab ab+a+b-1

221n1(abn)(an1bn1) 2ab课后作业：

1设m=2a22a1,n(a1)2，则m,n的大小关系是（ ） A.m≥n B.m≤n C.m>n D.m2，则

A.x22xx B.x22xx

abab23232练习：求证（1）x2+3>2x(2)a+b2(a-b-1)

22例2：已知a>0,b>0，求证：abab

C.x22xx D.以上都不对 3． a>0,b>0,m>0，且a恒成立的是

32

练习：若, a>b>0,则下列不等式中不成立的是（ ）

abba ①abab ②abab,

aamama1 B. bbmbmbaamamb1 D.1 C.bbmbma A.

4． aabba1111  B.

abaab22aab③ab ④b

ab1

C.ab D.ab

5． 设P(a1)，Qa(a1)2若，

1

2222P>Q则a的范围是:

aa33与a的6． 比较33大小关系，得:

7． 已知函数f(x)=x+ax+b(a,bR)，若q,p

满足0≤p≤1,p+q=1，求证:pf(x)+qf(y) 22210.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2 (x>0,x≠1)，比较f(x),g(x)的大小 ≥f(px+qy)

8． 设a112，令a211a

1(1)证明：2介于a1,a2之间 (2)a1,a2中哪个更接近2?

9． 设a>b>c，求证:

b2cc2aa2bbc2ca2ab2

第二课时 综合法

知识要点：

综合法常常用到如下公式： (1)a20 (2) a0

(3）a2b22ab(abR)变形如下：

a2b22ab2ab

a2b212ab2 ab24ab

a2b2ab222 a> 0时，a2b2ab （4）ab2ab(a,bR)； （5）baab2(ab0)；

baab2(ab0)； （6）

abc33abc(a,b,cR)． 例题分析：

例1：利用综合法证明下列不等式

（1）a,b,c{正实数}且a+b+c=1求证(1-a) (1-b) (1-c)≥8abc

(2)已知a,b,c为互不相等的正实数，且abc=1，求证：

2

abc1a1b1c

练习： 已知a,b,cR,a+b+c=1求证：

1a1b1c9

例2： 已知a,b R,a+b=1求证：

(a1)2(b1)225ab2

练习： 已知a,b R,a+b=1求证：

(1a21)(1b21)9 例3：已知a,b,c都是正数，且两两不相等，求证：a4b4c4abc(abc)

练习：a,b,c是不全相等的正数,那么(a+b)(b+c)(c+a) 8abc ; a+b+c

abacbc 课后练习：

1.设a,bxx0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ab1ab22 B.ab1a1b4 C.a2b2ab2ab D.

2ababab 2.下列函数中最小值是2的是 A y=x+

1x B.ytancot,(0,2)C.ysincsc,(0,2)

D.yx231x233

3.设x>0,y>0，且xy-(x+y)=1，则 A.x+y2C.x+y21 B.xy21

21 D.xy2221



10.已知a,b,cR且abc=2 2． 设a,b,c为正数，则a111,b,c, bca这三个数

A.都大于2 B.至少一个不大于2 C.都不小于2 D.至少一个不小于2 5.a,b(0,),Pab2,Qab, 则P,Q的大小关系是

6.设a>0,b>0且ab-(a+b)≥1

则a+b≥

7.已知a,b,cR且a+b+c=1 求证(11)(11)(1abc1)8

8.已知a2b2c21 求证ab+bc+ca≤1

9.已知a,b,cR 求证bcaacbabcabc

求证(1+a)(1+b)(1+c)>82

第三课时 分析法

例1：设x,y为正数，

求证：x2y23x3y3

练习：求证：32227

例2：已知a>0,b>0,2c>a+b

求证：(1)c2ab

(2)cc2abacc2ab

4

练习：用分析法证明： 若a>0，则a211a22aa2

例3：已知a>b>0求证：

ab2abab28a2ab8b

练习：已知a>b>c 求证1ab1bc1ca0

1.若T75,Q151,R17 则( )

A.T0,a≠1,

Pa2a2,Q(sinxcosx)2则

A.P≥Q B. .P≤Q C.PQ 3已知c>1, m=

c1c,ncc1,则（ ）

A.mn C.m=n D.不能确定 4.已知a,b,c,d,x,y 均为正数

Pabcd,Qaxcybdxy则（ ）

A.P>Q B. PQ C.PQ D.P14，则a-b,ab,ab的大小关系是:

6已知a7已知a>0,

1b1a1, 求证：1a11b

8.已知a,b,c是不全相等的正数，且0logabbx2logcacx2logx2

logxalogxblogxc

9．已知

a> 0,b>0，a+b=1,用分析法证明：

a112b22

5

10.用分析法证明

4．设实数x,y满足yx20,0a1，求证：loga(aa)loga2xy1． 83(1a2a4)(1aa2)2(a1)

不等式的证明

（比较法,综合法,分析法）练习

2a，b求证：5．设a0,b0,ccc2abacc2ab．

6．已知f(x)是定义在R上的增函数，

1．设a和b是不相等的正数，则

aba2b22ab的大小关系,ab,,22ab是 ．

2．已知xy0，则x值 ．

3．若ab1,求证：

1的最小

(xy)yF(x)f(x)f(1x)， （1）设f(x)x，若数列{an}满足a13，

试写出数列{an}的通项公式； anF(an1)，

（2）求⑴中数列{an}的前n项和Sn； （3）证明：若F(x1)F(x2)0，则x1x21．

6

11ab2；

22 4．已知a,b,c为不相等的正数，且abc1，求证：ab

c111． abc

7已知：

a12a22an21,x1x2xn1,nN

8．若a3,求证：

22211．若a,b,cR，abc1,求证：（1）

．

（2）abc3；111(1)(1)(1)8． abc

求证: a1x1a2x2anxn1．

aa1a2a3．

9． 已知a,b,c是ABC的三边，求证：

不等式的证明的其它方法

一．学习目标：

1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．

二．知识要点：

1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

abbcacabc2(abbcac)2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角

换元，换元时要注意等价性； ．

3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法

是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母

放大（或缩小）．

10．已知ab0,求证：

三．课前预习：

1．设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是

（

）

(A)[21,) (B)(,21]

(D)(,21] (C)[21, )1112．A1与 23n n(nN)的大小关系是 ．

四．例题分析：

33例1．已知xy2，求证：xy2．

7

(ab)2ab(ab)2ab． 8a28b

小结：

例2．设正有理数a1是3的一个近似值，令a21

小结：

例4．设abc1，abc1，

2222， 1a11abc，求证：c0．

3

（1）证明：3 介于a1与a2之间；

（2）证明：a2比a1更接近于3；

（3）分析研究上述结论，提出一种求3的有理近似值的方法．

例3．在数列an中，

五．课后作业：

221．下列三个式子a2c，b2a，

） c22b(a,b,cR)中 （

(A)至少有一式小于1

(B)都小于1

(C)都大于等于1

(D)至少有一式大于等于1

2设

x0,y0,Axyxy,B1xy1x1y，则A,B的大小关系是 ．

3．x,yR,xxy，则x的取值范围 ysinsin2sin3sinnan222232n，对正整数m,n且mn，

1求证：amann．

2

8

是 ．

221．知xy1，

求证： 1a2yax1a2．

5．证明：11112． 2232n2

6．设a,b,c为三角形的三边，求证：

6．4 不等式解法举例

第一课时 绝对值不等式的解法

知识要点：

1． 去绝对值的方法： （1）公式法： （2）平方法： （3）分段讨论法 abcabacbcabc3．

7．已知a,bR,a2b24， 求证|3a28ab3b2|20

2．f(x)g(x)

f(x)g(x)

f(x)g(x)

例题分析：

例1：解不等式：（1）1352x2

练习：求不等式352x9 的整数解

例2：解不等式：x23x4x1

练习：解关于x的不等式

axbb

9

例3：解不等式：2x12x2

练习：解不等式：x1x21

课后作业：

1． 题甲：“02．不等式

xxx2x2的解集是 Ax2x0 Bx2x0Cx2x0

Dx2x03．解不等式： ①x23x145 ②1x1x0

③x2x10

④13x46

⑤x243x

⑥x1x25

⑦52x3x11

4．解关于x的不等式：x1xa1

第二课时 有理不等式的解法

知识要点：

一元一次不等式：

10

一元二次不等式

一元高次不等式

分式不等式：

例题分析：

例1解不等式：

3x2x41

练习：

3x5x22x32

例2解不等式：

x593x3x22x1x1

x12x13练习：

2xx40

例3：解关于x的不等式：

x25ax6a20

练习：解关于x的不等式

xax1x10

课后作业：

1． 与不等式

f(x)g(x)同解的不等式是（ A.f(x)g(x)B.f(x)g(x)0,且g(x)0C.f(x)g(x)g(x)0D.f(x)g(x)g(x)>0或f(x)g(x)2．解下列关于x的不等式：

①

x2x6x210

x5②

axb0,ab

③

x-a2-b2x-2ab0,ab 11

）

④b1xa,a0,b0

mxnx2⑤

x10,

mn0

15x2⑥

11x22x23x20

⑦

x-sinx-cscx2-6x+110（0，2）

⑧

ax+1-ax-1<0

3．不等式

axx11 的解集为xx1或x2求a的值

12