13.3.1 等腰三角形（2）
通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．
重点难点
重点：等腰三角形的判定定理及其应用． 难点：探索等腰三角形的判定定理． 教学方法 讲练结合法． 教具准备
多媒体课件、投影仪． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？
[生甲]等腰三角形的两底角相等．
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． [师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题． Ⅱ．导入新课
[师]同学们看下面的问题并讨论：
思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
0
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，•在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点．
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，•那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．
[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么它们
1
AB所对的边有什么关系？
[生丙]我想它们所对的边应该相等．
[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明． [生丁]我是运用三角形全等来证明的． （投影仪演示了同学证明过程）
A [例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
12 求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
B 在△BAD和△CAD中， CD12, BC,
ADAD, ∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB=AC．
[师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形． （演示课件）
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． （演示课件） [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的
E一边，那么这个三角形是等腰三角形．
[师]这个题是文字叙述的证明题，•我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．
A1D2 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
[师]同学们先思考，再分析．
[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好! BC [生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系． [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据． （演示课件，括号内部分由学生来填） 证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C，
DA ∴AB=AC（等角对等边）．
[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题． （课件演示）
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．
B
C2
求证：AB=AD．
（投影仪演示学生证明过程） 证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）． 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）． [师]下面来看另一个例题． （演示课件）
[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD和CE要多长？
MACCDDB(1)EBN(2)E
[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 解：选取比例尺为1:100（即为1 cm代表1 m）． （1）作线段DE=4 cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B； （3）在MN上截取BC=2.5 cm；
（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．
[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少． Ⅲ．随堂练习
（一）课本练习1、2、3．
1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，•并说明图中有哪些等腰三角形．
A
D
1
2
CB
答案：∠1=72°，∠2=36°．
3
等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
21
答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．
3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD． 答案：
证明：∵OA=OB，
CD ∴∠A=∠B．
又∵AB∥DC，
0 ∴∠A=∠C，∠B=∠D．
∴∠C=∠D．
AB ∴OC=OD（等角对等边）．
（二）补充练习：
如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD． （1）求证：△ABD是等腰三角形． （2）求∠BAD的度数． 答案：
（1）证明：∵AC⊥BD，
A ∴∠ACB=∠ACD=90°．
又∵AC=AC，BC=CD， ∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等腰三角形． CBD （2）解：由（1）可知AB=AD， ∴∠B=∠D． 又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， AC=CD．
∴∠D=∠DAC（等边对等角）．
在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°， ∴2（∠BAC+∠DAC）=180°． ∴∠BAC+∠DAC=90°， 即∠BAD=90°．
（鼓励学生思考其他解法） Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，•并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．
4
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题13.3 第2、4、5、9、13题． （二）预习课本． Ⅵ．活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．
过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质． 结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． A ∵∠1=
12∠ABC，∠2=12∠ACB， ∴∠1=∠2．
ED 在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，
3124 ∴△BDC≌△CEB（ASA）．
BC ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）． [探究2]等腰三角形两腰上的高相等． 过程：同探究1． 结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC
的高．
A 求证：BE=CF． 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
又∵BE、CF分别是△ABC的高， ED ∴∠BFC=∠CEB=90°． 在△BFC和△CEB中，
∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB， BC ∴△BFC≌△CEB（AAS）． ∴BE=CF．
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等． 过程：同探究1． 结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． A 又∵CD=
12AC，BE=12AB， ∴CD=BE．
ED 在△BEC和△CDB中，
∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
BC
5
∴△BEC≌△CDB（SAS）．
∴BD=CE．
板书设计
一、等腰三角形的判定定理──等角对等边 二、等腰三角形判定定理的应用 三、随堂作业 四、课时小结 五、课后作业 备课资料
墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC•边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？
BDAC
答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC•上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
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