立体几何基础题题库五

401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°

22222的角，于是AB＝bsinacos(asinbcos)＝a2b2absin2≥

a2b2ab.

∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为a2b2ab.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.

证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB ∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角. 在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α—ED—β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C. 求证：AB∶AC＝k(k为常数)

证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF. ∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它们为定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

ABAFsinAFB＝＝定值. ACAFsinAFC

满足l＝β∩，404. 如果直线l、m与平面α、β、l∥α,mα和m⊥.那么必有( )

A.α⊥且l⊥m B.α⊥且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥ 解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥. 又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l.

∴应选A.

说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

405. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝

5，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，25又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A

到平面PBC的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin

55,即⊥D′DC＝arcsin， 55∴sin∠CDD′＝

CD5＝ CD5∴CD＝5a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中，AC＝

AB2BC2＝2a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在RtΔPAB中，可得PB＝2a.

在RtΔPAC中，可得PC＝PA2AC2＝3a.

22在RtΔPAD中，PD＝a(3a)＝10a.

∵PC+CD＝(3a)+(5a)＝8a＜(10a)

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角. 在RtΔAED中∠ADE＝arcsin

22222

5，AD＝3a. 5535＝a.

55∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝

PA5a＝＝. 3AE35a5∴∠AEP＝arctan

55，即二面角P—CD—A的大小为arctan. 33(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC. AH为点A到平面PBC的距离. 在RtΔPAB中，AH＝

PAABaa2＝＝a. PB22a即A到平面PBC的距离为

2a. 2说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

406. 如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点. (1)求二面角α—l—β的大小； (2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l. ∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α—l—β的平面角.

∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°.

(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB

(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.

407. 如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB；

(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB (2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为 AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝23，于是直角三角形C′B′A中，A′C

＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝

223∴∠AC′H＝arcsin

553,∴直线AC′与平面

BCC′B′所成的角是arcsin

253.

408. 已知四棱锥P—ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.

(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求点E到平面PBC的距离； (3)求二面角A—BE—D的大小.

(1)证明: 在四棱锥P—ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点. 又E为AD的中点，∴EF∥PC

又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD. ∴平面EBD⊥平面ABCD.

(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC

∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离 过F作FH⊥BC交BC于H，

∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD ∴PC⊥FH.

又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离. ∵∠FCH＝30°，CF＝

3a. 2∴FH＝

13CF＝a. 24(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，

∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝

a，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE， 2∴∠FGA为二面角D—BE—A的平面角. FG＝

a223×＝a,AF＝a. 2422∴tg∠FGA＝

AF＝6,∠FAG＝arctg6 FG即二面角A—BE—D的大小为arctg6

409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1确定平面BAO，

∵A、A1、B、B1都在平面ABO内， ∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.

同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R；

∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.

∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q在同一直线上.

410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点. 证明 ∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α. ∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.

∴ 点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.

411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α. ∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ. ∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点. 求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P， ∴ l1,l2确定平面α.

又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3α. 同理 l4α.

∴ l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面. 所以结论成立.

413. 证明推论3成立.（如图）

已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.

证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个. (唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.

∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.

414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?

解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.

415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.

解答：已知：Aa，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面. 证明：∵Aa，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，aα. ∴B、C、D∈α 又A∈α.

∴AB、AC、ADα. 即AB、AC、AD共面.

416. 空间可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线

C.一个三角形 D.三个点

解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.

417. 下列命题正确的是( ) A.经过两条直线有且只有一个平面

B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面

D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 解析：根据公理2、公理3知选D.

418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( ) A.1个平面 B.4个平面 C.1个或4个平面 D.无法确定

解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4 B.3 C.2 D.5

22

解析： 如图，设球的半径是r，则πBD＝5π，πAC＝8π，

22

∴BD＝5，AC＝8.又AB＝1，设OA＝x. 2222∴x+8＝r,(x+1)+5＝r. 解之，得r＝3 故选B.

420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.

解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝

23，3OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO1＝O1H+OH，即(1+r)＝(

2222

12322

)+(1-r)，解得r＝.

33

421. 地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为两点间球面距离.

，求球面上A、B2

解析：本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O1O，O1A，O1B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题. 解： 如图2，∵∠O1OA＝

2222

＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R ∴AB＝O1A+O1B42＝R， ∴ΔAOB为等边Δ， ∴∠AOB＝

，A、B间的球面距离为R. 33422. 一个圆在平面上的射影图形是( )

A.圆 B.椭圆

C.线段 D.圆或椭圆或线段 解析：D

423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.

解析：轴截面如图，设O2C＝x，则CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO2-O2C＝AO1-CO1，即10-x

22

＝17-(21-x)，解得x＝6,CO1＝15,又设左边球缺的高为h1,右边的球缺高为h2，则h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm),V＝

3

2

2

2

2

2

2

2

122

π［2(3·10-2)+4(3·17-4)］3＝288π(cm).

424. 正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.

解析：如图，PD是三棱锥的高，则D是ΔABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，AD＝

23AB＝

333，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝

433，而AP

4PA282

⊥AE，∴PA＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm).

39PD32

425. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.

证明： 设球的半径为R，正四面体的高为h，侧面积为S，则有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如图，即

426. 地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为地经度的差.

11Sh＝4×SR,∴h＝4R. 33R，求A、B两3

解析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差. 解： 设O1是北纬45°圆的中心， ∵A、B都在此圆上， ∴O1A＝O1B＝

2R. 2∵A、B的球面距离为

R， 3R∴∠AOB＝

l＝3＝,ΔAOB为等边三角形. R3RAB＝R，在ΔAO1B中， ∵O1A+O1B＝

2

2

121222

R+R＝R＝AB， 22∴∠AO1B＝90°.

∴A、B两地的经度差是90°.

评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.

427. 已知圆锥的母线长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.

解析：设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝AD·tan

，R＝OD＝2222

,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为x，则3x＝EG＝4R,x22383(lcosθtan).

292

2

2

＝

233R.∴V正方体＝

428. 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA+PB+PC为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.

解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延

2222

长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD＝AB＝PA+PB，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.

解： (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，

222

∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD＝PA+PB. 设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1， ∵PC⊥⊙O1平面，

∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.

∴CD是球的直径.

2222222

故 PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝4R定值.

(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝

1xyz， 612221x2y2z231R6246

V＝xyz≤()＝·＝5R.

36363632732

∴V≤

433

R. 27433

R. 272

即 V最大＝

评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R可为(1)的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质. 429. 求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.

解析：如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝

6a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与311·Sr＝S·AH，33A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4·

∴r＝

16AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔBCD于H，则H为412ΔBCD的外心，求得BH＝

266632

a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a). 33333解得R＝

6a. 3

430.求证：球的任意两个大圆互相平分.

证明：因为任意两个大圆都过球心O，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.

22

2.在球心的同一侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积各为49πcm和400πcm.求球

的表面积.

解： 如图，设球的半径为R，

2

∵πO2B＝49π， ∴O2B＝7 同理 O1A＝20

设OO1＝xcm，则OO2＝(x+9)cm.

222

在RtΔOO1A中，可得R＝x+20

222

在RtΔOO2B中，可得R＝7+(x+9) 2222∴x+20＝7+(x+9) 解方程得 x＝15cm 2222R＝x+20＝25

22

∴S球＝4π·OA＝2500π(cm)

431. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )

A.43 B.23 C.2 D. 3

1，经过3个点的小6

解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝

，又∵OA＝OB 3∴ΔAOB是等边三角形

同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形. 边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径. r＝

33AB＝R 333r＝23 3R＝

∴应选B.

432. 已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是( ) A.

π 9 B.

8π 3 C.4π D.

16π 9解析： 如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形. ∴AO′＝

323×2＝ 33R 2设球半径为R，则OA＝R，OO′＝

R22在RtΔOAO′中，OA＝O′O+O′A，即R＝+(

342

2

2

2

3)2

∴R＝

4 32

∴球面面积为4πR＝∴应选A.

π 912

AB＝1，所以球面积S＝4πR＞4π.从而选A. 2说明 因为R＝OA＞O′A＞

433. 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( ) A.202π

B.252π

C.50π

D.200π

解析： 正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.

22222

得：l＝4R＝3+4+5＝50

2

从而 S球＝4πR＝50π ∴应选C.

434. 在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是 .

解析：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝3a.

∴S球表面积＝4π·(

322

a)＝3πa. 2435. 圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm. 解析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.

解： 设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球＝2×

球

42

π×5×h,V1＝ V3

即 25πh＝∴应填

1255π ∴h＝cm. 335. 3

436. 空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是（ ）． A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直

解析：D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC． 437. 已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中（ ）．

A．只有一个平面与a平行 B．有无数个平面与a平行 C．只有一个平面与a垂直 D．有无数个平面与a垂直

解析：A．过b上任一点P作直线a//a，由a和b确定的平面与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面 ，使b

，

且a⊥ ，则a⊥b，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一． 438. 若直线l与平面所成角为

π，直线a在平面 内，且与直线l异面，则直线l与直线3a所成的角的取值范围是（ ）．

A．0， π B．0， 

332π C．， D．， π

3233解析：C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于大于

πππ2π；又因为异面直线所成的角不3π，故选C． 2439. 直线a、b均在平面 外，若a、b在平面上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是（ ）．

A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．相交或异面直线 解析：D

440. ABCD是平面 内的一个四边形，P是平面 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形 441. 已知直线PG⊥平面于G，直线EF

，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG

的关系是（ ）．

A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG 解析：C．如图答9-17．PG⊥，EF

，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为

斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．

442. 下列命题中正确的是（ ）．

A．若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影为a，则a⊥b

B．若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影为a，则a⊥b C．若a是平面的斜线，直线b平行于平面，且b垂直于a在平面内的射影a，则a⊥b

D．若a是平面的斜线，b是平面内的直线，且b垂直于a在另一个平面内的射影a，则a⊥b

解析：C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令 是直线a与其在内的射影a确定的平面，在 内取垂直于a的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在内任取点P，∵ Pb，则过b与P确定平面，设b，因为b∥ ，则b//b．∵ ba，∴ ba．∴

ba，∴ b⊥a．于是C正确．

443. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则 （1）A到B1C的距离等于________；

（2）A到BD1的距离等于________； （3）A到平面A1B1CD的距离等于________； （4）AB到平面A1B1CD的距离等于________．

解析：1）连接AB1，AC，则AB1AC，取B1C的中点E，连结AE，则AEB1C． ∴ AE为点A到直线B1C的距离，在Rt△ACE中，AC2，CE2∴ AE(2)(211B1C2， 22221366．即A到B1、C的距离等于． )2，∴ AE22222（2）连结AD1．∵ AB⊥平面ADD1A1，∴ ABAD1．在Rt△ABD1中，AB=1，

11AD12，BD13，设A到BD1的距离为h，则ABAD1hBD1．即

221162612h3，∴ h，即点A到BD的距离为． 122333 （3）连结AD1交A1D于F，则AFA1D．∵ CD⊥平面AA1D1D，且AF

平面

AA1D1D，∴ CD⊥AF．∵ CD∩AD=D，∴ AF⊥平面A1B1CD．∴ AF为点A到平

面A1B1CD的距离．∵ AD12，∴ AF12AD1． 22 （4）∵ AB∥CD，∴ AB∥平面A1B1CD，∴ AB到平面A1B1CD的距离等于A点 到平面A1B1CD的距离，等于

2． 2444. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1．则

（1）AD1与平面ABCD所成的角等于________； （2）AC1与平面ABCD所成的角的正切值等于________； （3）AD1与平面BB1C1C所成的角等于________ ； （4）D1C1与平面BB1C1C所成的角等于________； （5）B1C与平面BB1D1D所成的角等于________.

解析：（1）∵ D1D⊥平面ABCD，∴ D1AD为AD1与平面ABCD所成的角，D1AD =45°．

（2）∵ C1C⊥平面ABCD，∴ C1AC为AC1与平面ABCD所成的角．设CC11，则AC2，∴ tanC1AC （3）∵ AD1CC112 ．AC22平面BB1C1C，B1C//AD1，∴ AD1∥平面BB1C1C，∴ AD1与

平面BB1C1C所成的角为0°．

（4）∵ D1C1⊥平面BB1C1C，∴ D1C1与平面BB1C1C所成的角为90°． （5）连结AC，交AD于H．连结B1H，∵ B1B⊥平面ABCD，CH

平面ABCD，

∴ B1BCH，又∵ CH⊥BD，∴ CH⊥平面BB1D1D．∴ B1H为B1C在平面

BB1D1D内的射影．∴ CB1H为B1C与平面BB1D1D所成的角．设正方体棱长为1，则

B1C2，CH12，∴ CB1H30，即B1C与平面BB1D1D所成的角AC22为30°．

445. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．

图9-29

解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．

446. 如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，AA为a、b的公垂线段，AA4cm．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．

解析：如图答9-20，过A作a//a，则a与b确定平面 ．作BCa于C，在平面 内作CD⊥b于D，连结BD．∵ AAa∴ AAa． ∵ AAb，abA，∴

AA．∵ BC//AA，∴ BC⊥．∵ CD⊥b，∴ BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵ a//a，∴ CAD为异面直线a与b所成的角，∴ CAD30．∵ ACAB2，CDA90，∴ CD=1．在Rt△BCD中，BCAA4，CD=1，∠BCD=90°，∴ BD2BC2CD2421217，∴

BD17．

447. 如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．

解析：∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H是S在平面ABC上的射影，∴ SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴ H为△ABC垂心．

448. 如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：

图9-32

（1）BD⊥平面ADC；

（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．

解析：（1）设AD=BD=CD=a，则ABAC2a．∵ ∠BAC=60°，∴ BC2a．由

勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC．

（2）如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH． ∵ DH

平面DCH，

∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．

449. PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．

解析：如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵ EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，PE3a．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴ DP2PE23a．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，DP23a，∴ cosDPHPH2a3 ．DP23a3

450. 四面体对棱长分别相等，分别是a,b,c.求体积.

解析： 把四面体“嵌入”棱长为x,y,z的长方体(如图).其充分条件是

x2y2a2,222yzb, z2x2c2有实数解

c2a2b2x2a2b2c2 y2b2c2a2z2如果关于x,y,z的方程组有实数解，则四面体体积 V＝xyz-4·

111·(xy)·z＝xyz 323＝

212(a2b2c2)(b2c2a2)(c2a2b2)

说明 对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形，本题采用了体积分割法，转化法求体积.

立体几何基础题题库451-500（有详细答案）

451. 如图1，线段AB平面α，线段CD平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积.

图1 图2

解析：依题意可构造一个底面对角线长为a，高为h的正四棱柱(如图2). 显然，正四棱柱的底面边长为

2a.其体积为 2V柱＝(

1222

a)h＝ah.

22而三棱锥C—AC′B的体积为 V锥＝

1V柱. V柱 6故四面体ABCD的体积为 V＝V柱-4V锥＝V柱-＝

112

V柱＝ah. 36说明 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧.

452. 求棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线A1C1与AB1的距离.

解法一：连结BD1，取A1B1的中点E，连BE交AB1于M，连D1E交A1C1于N，连MN. 因为ΔA1NE∽ΔC1ND1，所以1AEEN＝1＝， ND1C1D12则

11EMEN＝，同理＝.

3EBED13∵

EMEN＝.∴MN∥BD1. EBED1由三垂线定理知BD1与A1C1、AB1都垂直，故MN为两对角线的公垂线，

又ΔEMN∽ΔEBD1 故

1MNEN3＝＝.∴MN＝a. BD1ED133

解法二：取A1M＝

A1C1AB1，B1N＝，过N作NP⊥A1B1于P，连MP，则ΔMPN为直角三角形，

33由计算，PM＝

12352222

a,PN＝a,故MN＝a.又A1N＝a，A1M＝a,故A1N＝A1M+MN，

33333于是MN⊥A1C1；同理，由AN＝

22113a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB1.故MN为AB1与A1C13333a. 3的公垂线段，从而AB1与A1C1的距离为

解法三：可转化为求平行平面间的距离.连A1D，C1D，A1C1，B1C.易知A1D∥B1C，A1C1∥AC.故平面A1DC1∥平面AB1C.连BD1，设与平面A1DC1交于M，与平面AB1C交于N.因BD1与图中所示6条面对角线都垂直，故BD⊥面A1DC1，也垂直于AB1C.即MN是A1C1与AB1的距离，在RtΔ

DD1233D1DB中，D1M＝＝a，而同理可求BN＝a，故

33BD1MN＝3a-

333a-a＝a.

333说明 上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.

453. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值. 解析：如图.对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1，其交线为EF.过P作PQ⊥EF于Q，则PQ⊥对角面ABC1D1.分别连PE、PF.

∵EF⊥AD1，PE⊥AD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ＝α，

同理，∠PFQ＝β.

设A1P＝x,(0≤x≤1)，则PB1＝1-x. ∵EQ＝A1P，QF＝PB1，PQ＝∴当0＜x＜1时，有 tanα＝

2， 222,tanβ＝, 2x2(1x)22tantan2x2(1x)∴tan(α+β)＝＝

1tantan2212x2(1x)＝

2

1212(x)22而当x＝0时α＝

EF，tan(α+β)＝tan(+β)＝-cotβ＝-＝-2，上式仍成立；

22A1E1时，tan(α+β)取最小值-22；2类似地可以验证.当x＝1时，上式也成立，于是，当x＝当x＝0或1时，tan(α+β)取最大值-2. 又∵ 0＜α+β＜π， ∴(α+β)max＝π-arctan2 (α+β)min＝π-arctan22

454. 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线

BD1上，且AE＝

11，BF＝，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小. 42解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD， ∵

2GHGB＝＝ D1DD1B3∴GH＝

2 3

作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝

GH. HM下面求HM的值.

建立如图所示的直角坐标系，据题设可知. H(

1211，)、E(，0)、F(1，) 3342

∴直线EF的方程为

1y04， ＝

110142x即 4x-6y-1＝0.

由点到直线的距离公式可得

｜HM｜＝

12461334262＝

11， 613∴tgθ＝

2613413413·＝，θ＝arctg. 3111111说明 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.

455. 如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱AA1长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°则此平行六面体的体积为

解析：一 求平行六面体ABCD—A1B1C1D的体积，应用公式.由于底面是正方形，所以关键是求高，即A1到底面ABCD的距离

解法一：过点A1做A1O⊥平面ABCD，垂足为O，过O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为E、F，连结A1E，A1F，可知O在∠BAD的平分线AC上. ∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝

OAAFAF·＝＝cos∠A1AF

AA1AA1AO即cos∠A1AO·cos45°＝cos60° ∴cos∠A1AO＝

2 22 2∴sin∠A1AO＝

∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝2 ∴V＝SABCD·A1O＝2

分析二 如图，平行六面体的对角面B1D1DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1—ABD.

解法二：过B作BE⊥A1A，连结DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让面A1D1B1与面ADB重合，则得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD1是其侧棱，并且和斜三棱柱A1B1D1—ABD的体积相等. 取BD中点O，连结OE，易知

SΔBED＝

11BD·OE＝BD·DE2OD2 22＝

12322·2·( )()2＝2422∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1 ＝

22×2＝＝VA1B1D1ABD 42∴VA1B1C1D1ABCD＝2VA1B1D1ABD＝2

点评 在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体积＝直截面面积×侧棱长.

456.求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分. (2)对角线相等的平行六面体是长方体. 已知：平行六面体ABCD—A1B1C1D1

求证：(1)对角线AC1、BD1、CA1、DB1相交于一点，且在这点互相平分； (2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1时，该平行六面体为长方体.

证明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1， ∴AA1∥CC1.

∴对面角A1ACC1是平行四边形. ∴CA1与AC1相交，且互相平分.

设CA1∩AC1＝0，则O为CA1，AC1的中点.

同理，可证DB1与AC1及AC1与D1B也相交于一点，且互相平分. 交点也是O.

∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一点，且互相平分.

(2)∵平行六面体AC1的对角线面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形.且它们的对角线A1C、B1D、C1A、D1B都相等.

∴对角面A1C1AC，B1D1DB都是矩形. 因此 CC1⊥A1C1 ∴BB1⊥B1D1 又∵BB1∥CC1 ∴BB1⊥A1C1

∴BB1⊥平面A1C1

∴平行六面体A1C是直平行六面体 同理可证：CB⊥平面A1B，则BC⊥AB.

∴平面四边形ABCD是矩形. ∴直平行六面体A1C是长方体. 457.求证：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半.

已知：直四棱柱A1C，如图，它的底面AC为梯形.DC∥AB，侧面A1B与侧面D1C的距离为h. 求证：V棱柱AC＝

11(S+S)×h 2面A1B面D1C

证：设D1E1是梯形A1B1C1D1的高， ∵D1E1⊥A1B1，D1E1面A1C1

面A1C1⊥面A1B，面A1C1∩面A1B＝A1B1. ∴D1E1⊥面A1B. ∴D1E1＝h.

V棱柱A1C＝S底·AA1

1(D1C1+A1B1)·D1E1·AA1 21＝(D1C1·A1A+A1B1·A1A)·h 21＝(S面D1C+S面A1B)·h 2＝

458. 如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明AB1∥面DBC1

(2)假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面BB1CC1上的射影长. 分析：弄清楚正三棱柱的概念，利用三垂线定理找二面角.

解析：(1)证明：∵A1B1C1—ABC是正三棱柱， ∴四形B1BCC1是矩形，连结B1C，交BC1于E， 则B1E＝EC，连结DE.

在ΔAB1C中，AD＝DC，∴DE∥AB1 又AB1平面DBC1，DE平面DBC1 ∴AB1∥平面DBC1

(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，因为面ABC⊥面B1BC1，所以DF⊥B1BCC1，连结B1E，则B1E是A1B在平面B1BCC1内的射影

∵BC1⊥AB1 ∴BC1⊥B1E ∵B1BCC1是矩形

∴∠B1BF＝BC1C＝90° ∴ΔB1BF∽ΔBCC1 ∴

B1BBFBF＝＝ BCB1BCC1又F为正三角形ABC的BC边中点

2

因而B1B＝BF·BC＝2

于是B1F＝B1B+BF＝3，∴B1F＝3

2

2

2

即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为3

459. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a. (1)求截面EAC的面积

(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离 (3)求三棱锥B1—EAC的体积

解析：(1)连结DB交AC于O，连结EO. ∵底面ABCD是正方形 ∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC ∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角 ∴∠EOD＝45° DO＝

22a,AC＝2a,EO＝a·sec45°＝a. 2222

a. 2故 SΔEAC＝

(2)解：由题设ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC. 又A1A⊥A1B1

∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线

∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO ∴D1B∥EO

又O是DB的中点

∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a.

22∴D1D＝D1BDB＝2a.

异面直线A1B1与AC间的距离为2a. 连结B1O，则VB1EAC＝2VAEOB1 ∵AO⊥面BDD1B1

∴AO是三棱锥A—EOB1的高，AO＝

2a. 2在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点 则：S△EOB1＝

32

a. 4132223

·a·a＝a 3424∴VB1EAC＝2·

所以三棱锥B1—EAC的体积是

23

a. 4

460. 如图，在正方体ABDC—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点. (1)证明AD⊥D1F

(2)求AE与D1F所成的角 (3)证明面AED⊥面A1FD1

(4)设AA1＝2，求三棱锥F—A1ED1的体积VF—A1ED1

解析：(1)∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1.又D1FDC1，∴AD⊥D1F. (2)取AB中点G，连结A1G、FG(如图).因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F.

设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角.因为E是BB1的中点，RtΔA1AG≌RtΔABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成角为直角. (3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1ED1，∴体积VFA1ED1＝VGA1ED1＝VD1A1GE，∵AA1＝2，∴面积S△A1GE＝SABB1A1-2S△A1AG-S△GBE＝

3. 2∴VFA1ED1＝

113×A1D1×SA1GE＝×2×＝1. 332

461. 如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a.

(1)求证：AF⊥A1C

(2)求二面角C—AF—B的大小

分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB 连结EF，由于AB＝2AA1 ∴AA1FE为正方形

∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C

(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1 ∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝3a ∴CE＝2a,OE＝

22aa,∴tan∠COE＝＝2. 22a2∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.

462. 如图9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．记∠FCE= ，∠CFB=，∠CEB=，则有（ ）．

A．sin=sin·sin B．cos=cos·cos C．sin=sin·cos D．sin=sin·cos

解析：C．

CBCDBFsin，CF CB平面ABCDCB平面ABEFCBBEsinCB．CBABCE平面ABCDABEFCB平面ABEFCE CEEFcos．BEEFCF于是sin=sin·cos．

463. 设直线l、m，平面、、满足∩=l，l∥，m

，且m⊥，则必有（ ）．

A．⊥，且l⊥m B．⊥，且m∥ C．m∥，且l⊥m D．∥，且⊥ 解析：A．

ml  ；又lml．mm4. 一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内（都不在棱上），则这条线段与这

两个平面所成的角的和（ ）．

A．等于90° B．大于90° C．不大于90° D．不小于90°

解析：C．如图答9-45，设直二面角-l-，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵ ⊥，则AC⊥，BD⊥，连结BC、AD，则∠ABC为AB与平面所成的角，∠BAD为AB与平面所成的角．

当AB⊥l时，易得AB与、所成角之和等于90°，当AB与l不垂直时，设ABC1，

BAD2，CAB3，sin3BCBD， sin2，∵ BC＞BD，∴ ABABπ 上是增函数，∴ 3＞2，∵ 3190，sin3＞sin2，∵ 函数y=sinx在0，2∴ 901＞2，∴

1＋2＜90．故AB与、所成角之和≤90°．

465. 如图9-52，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角A-BD-C的平面角是（ ）．

A．钝角 B．直角

C．锐角 D．大小不确定的

解析：A．取BD中点E，连结AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴ DC=BC，∴ AE⊥BD，CE ⊥ BD，∴ ∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．∵

AE2AB2BE2，EC2BC2BE2，AC2AB2BC2，∴ cosAEC

AE2EC2AC22BE2＜0，∵ ∠AEC为钝角

2AEEC2AEEC466. 已知二面角-l-的大小为（是锐角），A∈l，B∈l，PCl，且P∈，P在内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．

解析：Scos．作PH⊥l于H，连结PH．∵ PP，∴ PHl（三垂线定理的逆定理）．∴ PHP为二面角-l-的平面角，即PHP．S1ABPH，2PHPHcos，∴ S1ABPHcosScos． 2

图答9-46

467. 平面⊥平面，平面⊥平面，且∩=a，∩=b，a∥b，平面与的位置关系是________． 解析：平行．在上作l⊥a，∵ a∥b，∴ l⊥b．∵ ⊥于a，∴ l⊥，同理l⊥．∴ ∥．

468. ．如图9-53，ABCDA1B1C1D1是长方体，AB=2，AA1AD1，求二平面AB1C与A1B1C1D1所成二面角的大小．

解析：∵ 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴ 平面AB1C与平面A1B1C1D1的交线l为过点B1且平行于AC的直线．直线l就是二平面AB又AA1C与A1B1C1D1所成二面角的棱．1⊥平面

A1B1C1D1，过A1作AH⊥l于H，连结AH．则AHA1为二面角AlA1的平面角．可求

得tanAHA1555．因此所求角的大小为arctan或πarctan 22213BB1，CMCC144469. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，且BKKBB1，MCC1，（如图9-54）．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l

于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则CM311a，BKa．在△ECM中，由BK∥CM可得EBa，442CF3555a，故tanMFC．因此所求角的大小为arctan或πarctan．

4445470. 如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角

CADC．

（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（2）若二面角CADC是直二面角，求CC的长； （3）求AC与平面CCD所成的角；

（4）若二面角CADC的平面角为120°，求二面角ACCD的平面角的正切值．

解析：（1）∵ AD⊥BC，∴ AD⊥DC，ADDC，∴ 二面角CADC的面为ADC和面ADC，棱为AD，二面角的平面角为CDC． （2）若CDC90，∵ AC=a，∴ DCDC12a，∴ CCa． 22 （3）∵ ADDC，AD⊥DC，∴ AD⊥平面DCC．∴ ACD为AC与平面DCC所成的角，在Rt△ADC中，DCDC1AC，∴ DAC30，于是 2ACD60． （4）取CC的中点E，连结AE、DE，∵ DCDC，ACAC，∴ AECC，DECC，∴ ∠AED为二面角ACCD的平面角，∵ CDC120，

CDCD113a，∴ DEa，在Rt△AED中，ADa，∴ 2423aAD tanAED223．1DEa4471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．

解析：如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵ △ACD是Rt△，∴ ADa2c2． ∵ △ABC是Rt△，∴ ABa2b2．∵ △BCD是Rt△，∴ BDb2c2．而在

AB2AD2BD2a2＞0，又∵ ∠BAD是△ABD中，cosBAD22222ABAD(ab)(ac)三角形内角，∴ 0°＜∠BAD＜180°，∴ ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，

∴ △ABD是锐角三角形．

472. 已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形

2222面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即SABCSDABSBDCSADC．

解析：如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则SADB△ABD中，作DM⊥AB于M，则DM111ab，SBDCbc，SADCac．在222abab22． ∵ CD⊥AD，CD⊥DB，∴ CD

a2b2 ⊥平面ADB，∴ CD⊥DM．在Rt△CDM中，CMDMCDc22ab2222a2b2b2c2c2a2112a2b2b2c2c2a2222 ， ∴ SABC(ABCM)(ab)a2b224a2b2122222(abb2c2c2a2)S ADBSBDCSCDA．4

图答9-25

473. 如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB

平面 ，点C，C在内的射影为

O，AC和BC与平面 所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面所成角的大小．

解析：连结OD，∵ CO⊥平面AOB，∴ ∠CDO为CD与平面 所成的角．∵ AB、CB与平面所成角分别为30°和45°，∴ ∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，BC＝2a．在Rt△ABC中，AB2(2a)2(2a)26a2，∴

AB6a． ∵ CD⊥AB，∵

11ABCDACBC，∴ 22CDa3ACBC2a2a2，∵ 0°a．在Rt△COD中，sinCDO2a2AB6a33＜∠CDO＜90°，∴ ∠CDO=60°，即CD与平面 所成的角为60°． 474. 给出下列四个命题：

①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行． ②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行．

③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B．只有③是正确的

475. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面，CD

平面，则直线CD与平面内的直

线的位置关系只能是（ ）．

A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 解析：B．由已知CD∥平面，内的直线与CD平行或异面．

476. （1）若直线a、b均平行于平面a，那么a与b的位置关系是__________； （2）若直线a∥b，且a∥平面，则b与的位置关系是__________； （3）若直线a、b是异面直线，且a∥，则b与的关系是__________． 解析：1）平行、相交或异面． （2）b∥或b．

（3）b∥或b或b与相交．

477. 如图9－20，在空间四边形ABCD中，E是边AB上的一点，求作过C、E的一个平面，使对角线BD平行于这个平面，并说明理由．

解析：在△ABD内过E点作BD的平行线，交AD于F．连结CE、CF，则BD∥平面CEF．∵BD∥EF（作图），BD∥平面CEF．

478. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1C1和CC1的中点，求证：直线A1C∥平面B1EF．

解析：注意在△C1A1C中，EF是中位线．

479. 如图9－21，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别是BC、CD的中点，则（ ）． A．BD∥平面EFGH，且EFGH是矩形

平面CEF，EF平面CEF，由直线与平面平行的判定定理可知BD

B．HG∥平面ABD，且EFGH是菱形

C．HE∥平面ADC，且EFGH是梯形 D．EF∥平面BCD，且EFGH是梯形

解析：D．A选项中“BD∥平面EFGH”正确，但“EFGH是矩形”错误；B选项中“EFGH是菱形”不正确；C选项中“HE∥平面ADC”不正确． 480. 设a、b是异面直线，则（ ）．

A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a有且只有一个平面与b平行

解析：D．借助正方体这一模型加以排除错误选项．取AB为a，B1C1为b，当任一点取A1时，AB∥平面A1B1C1，但A1平面A1B1C1．于是A不正确．而A1与B1C1上任一点的连线

均在平面A1B1C1内，所以这些直线与AB均无交点，所以B不正确．用反证法说明C不正确，若过任一点有直线与a、b都平行，则由公理4知a∥b，这与a、b异面矛盾．

481. 如图9－22，已知a∥，B、C、D∈a，A与a在平面的异侧，直线AB、AC、AD分别交于E、F、G三点，若BC＝5，AD＝7，DG＝4，则EF的长为_________．

解析：∵ E、F、G是平面ABC与平面的公共点， ∴ E、F、G共线，

∵ BC∥，∴ BC∥EF， ∴

EFFGAGAG74155 ，∴ EFBCBCCDADAD77

482. 如图9－23，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B、B1的任一点，

AB1A1EF，B1CC1EG．求证：

图9－23

（1）AC∥平面A1EC1； （2）AC∥FG．解析：

483. 已知三个平面、、满足＝，＝b，＝c，且a∥ ，求证：b∥，c∥．

如图答9－14，解析：

同理可证c∥．

484. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，求证：直线EF∥平面BB1D1D．

解析：取BD中点G，连结EG，GD1．可证EFD． 1G为平行四边形（还有其他证法）485. 已知平面∩平面＝l，A∈，B∈，C∈（如图9－24），在下列情况下求作平面ABC与平面的交线，并说明理由． （1）ABl；（2）AB∥l．

解析：（1）∵AB

l，AB与l共面于，∴ AB与l相交，设AB∩l＝D，连结CD，则CD

＝平面ABC，这是因为D∈AB，D∈l，∴ D∈平面ABC，D∈，∴ D为平面ABC与平面的一个公共点，∴ 平面ABC与平面的交线是过D的一条直线，又C是平面ABC与平面的另一个公共点，且平面ABC与平面的交线是过C的一条直线，所以平面平面ABC＝CD．

图答9－15

（2）在平面内过C作CE∥l，则CE＝平面ABC．∵ AB∥l，AB

，l，

∴ AB∥平面．∵ 平面ABC与平面有一个公共点C，∵ 平面ABC与相交于过C的一条直线m．∵ AB平面ABC，平面ABC＝m，AB∥，∴ AB∥m．∵ AB∥l，∴ l∥m．于是在内过C作l的平行线即为所求的交线．

486. 如图9－25，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．

解析：

487. 如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．

（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）

图9－26

解析：如图答9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在

PMPN2，同理在△PBC中有2，在△PDEΔPAB中，∵ M是ΔPAB的重心，∴

MDNE中，∵

PMPN，∴ MN∥DE，∵ MN平面ABC，DE平面ABC，∴ MN∥平MDNE面ABC．

488. 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）空间两条直线可以确定一个平面；

（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条； （3）垂直于同一条直线的两条直线平行；

（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行； （5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交； （6）直线a与b异面，b与c异面，则与c异面；

（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直． 解析：（1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面．

（2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．

（3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面． （4）正确．由公理4可知．

（5）不正确．a、c可能平行，还可能异面．

（6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交． （7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等

4. 直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?

解析：若a∥b，则a，b共面于，A、B、C、D均在内，故AB与CD共面于，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾

490. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条? 解析：参看图答9－10，与BD相交所成角为60°的面对角线BC1、BA1，DA1，DC1四

条；与BD异面所成角为60°的面对角线有AB1、B1C、AD1、CD1四条，故一共．

图答9－10

491. A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．

解析：设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面（设为）内．由E、D在平面内，则直线ED在平面内，直线ED上的点A也在平面内，即A、B、C、D都在平面内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线． 492. 给出以下四个命题：

①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 ②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行 ③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行

④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行 其中错误命题的个数是（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由AA1与AB所成角90°，BC与AB所成的角90°，但AA1B1在平面1与BC不平行，从而①、②不正确；AA1B1BA内，DC在平面ABCD内，虽平面A1B1BA与平面ABCD相交，仍有A1B1∥DC，从

而说明④不正确．

493. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线BD． 1异面的棱有（ ） A．3条 B．4条 C．6条 D．

解析：C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1、

B1C1与BD1异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与BD1异面，上下两底面之间的

四条棱中，有AA1是异面直线，故与BD1异面的棱共6条． 1、CC1与BD494. 三条直线共面的条件可以是（ ）．

A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点

C．这三条直线中的一条与另外两条都相交 D．这三条直线两两相交，但不交于一点 解析：D．可参看下列图形：

495. 已知m、n为异面直线，m平面，n平面，∩＝l，则l（ ）． A．与m、n都相交 B．与m、n中至少一条相交 C．与m、n都不相交 D．至多与m、n中的一条相交 解析：B．可参看下列图形：

496. 如图9－11，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱D1C1、B1C1的中点，求证：EF∥BD，且EF1BD． 2

解析：连结B1D1．∵ BB1，∴ 四边形BB1D1D是平面图形，又∵BB1，1∥DD1＝DD∴ 四边形BB1D1D是平行四边形，∴ BD与B1C1的中点，∴ EF

在△C1D1B1中，∵ E、F分别是D1C1B1D1，

11B1D1，由公理4有EF∥BD，且有EFBD． 22497. 如图9－12，O是平面ABC外一点，A1、B1、C1分别在线段OA、OB、OC上，且

满足

OA1OB1OA1OC1，．求证：△ABC∽△A1B1C1． OAOBOAOC

解析：∵

OA1OB1OB1OC1OA1OC1OA1OB1，，∴ .在△AOB中，由，OAOBOBOCOAOCOAOB∴ A1B1∥AB，同理B1C1∥BC，∵ A1B1C1与∠ABC方向相同，∴ A1B1C1＝∠ABC，同理B1A1C1＝∠BAC，∴ △A1B1C1∽△ABC．

498. 如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC25，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．

解析：取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵ D是PC中点，F是AC中点，则

DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴ ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝

11222PA＝2，EF＝BC＝5，∴ DEDFEF，∴ ∠DFE＝90°，22即异面直线PA与BC所成的角为90°．

499. 如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．

解析：在△ABC中，∵ Q是AB中点，M是BC中点，∴ MQ∥AC，且MQ＝理PN∥AC，且PN＝＝

1AC，同21AC．∴ QM2PN．∴ 四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ

11BD，QM＝AC，AC＝BD，∴ PQ＝QM，∴ 平行四边形MNPQ是菱形，∴ QN22⊥PM．

500. 如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线AC和B1D1的距离．

解析：连结A1C1交B1D1于O1，连结BD交AC于O，连结OO1，在矩形A1C1CA中，O1是

A1C1中点，O是AC中点，则O1OAC于O．同理OO1B1D1于O1，∴ OO1是异面

直线AC和B1D1的公垂线．∵ OO1＝CC1＝a，∴ AC与B1D1间的距离为a．