９一．ｆ 数学教学 ２０１３年第９期 “非常距离＂下的轨迹探究 ２１５６２５江苏张家港市第三职业高级中学屈奇峰 ２０１２年北京市中考数学最后一题为：在平 线，交于点Ｑ，则Ａ Ｐ１Ｐ２Ｑ为等腰直角三角形， 面直角坐标系中，对于任意两点 （ ｌ， １）、 所以Ｉ Ｐ１ＱＩ＝ＩＰ２Ｑｌ，即ｌ １一Ｘ２ｌ＝ｌＹｌ—Ｙ２Ｉ． Ｐ２（ｘ２，Ｙ２）的“非常距离”，给出如下定义： 同理，当过点Ｐ１、Ｐ２的直线斜率 ＝一１时， 若Ｉ １一Ｘ２Ｉ≥ｌＹｌ一 ２Ｉ，则点Ｐ１与点Ｐ２的 亦有ｌＸｌ—Ｘ２Ｉ＝ｌＹｌ—Ｙ２１．所以分类讨论的关 “非常距离”为１Ｘ１一Ｘ２１； 键和斜率 ＝士１的直线有关． 若Ｉ １一Ｘ２１＜ｌＹｌ一 ２ｌ，则点Ｐ１与点Ｐ２的 若定点Ａ（ａ，ｂ）、动点Ｐ（ｘ， ），则这两点 “非常距离”为ｌ １一 ２１．题目的具体内容从略． 的“非常距离”可以这样求出：过点 分别作 这几年，中考和高考里出了很多关于距离 尼＝－４－ｉ的两条直线，把整个平面直角坐标系分 的创新题，像２０１０年广东理科卷以及２０１２年 成四个区域，如图２所示． 在区域（１）中， 无锡中考数学卷中的折线距离ｆ或称直角距 ｄ（ＰｊＡ）＝Ｙ—ｂ，在（２）一（４）中，ｄ（ ）分别等 离）；２０１１年上海高考理科卷中的点到线段的 于Ｘ—ａ，ｂ—Ｙ，ａ—ｘ． 距离等等，而这个“非常距离”又有何非常之 处？下面我们就来探究一番． 、Ｊ Ｉ ＰｐＰ（ｘ， ）ｙ １ ／ －， １ ｌ， １） 、、，， 若我们规定，ｍａｘ｛ａｊ６＇｝为ａ、ｂ中较大者， ／ 、、 ● ／ ，、／ 、 （１） ， ， ｌＰ１Ｐ２Ｉ为Ｐ１、Ｐ２两点的欧氏距离，ｄ（Ｐ１、Ｐ２） ，， ，为Ｐ１、Ｐ２两点的“非常距离”，则“非常距离”的 ／ ｌ— ２Ｉ 、、、、／ ㈤讹 （２） ２ ２．、， ） ●● 、． — 定义可以简化为：ｄ（Ｐ１，Ｐ２）＝ｍ￣ｘ｛Ｉｘｌ— Ｉ 】 Ｑ 、 ～ ／０ 、 Ｘ２ｌ，ＩＹｌ一 ２１）．这个新定义是完全合理的，因为 ，Ｄ ， （３） 、、 它满足下面的距离公理： ／ 、、 、 （１）非负性：ｄ（Ｐ１，Ｐ２）≥０，且ｄ（Ｐ１，Ｐ２）＝ 图１ 图２ ０￣－－－＞Ｐｌ＝Ｐ２； 注：下面的讨论过程中，分类讨论的基 （２）对称性：ｄ（Ｐ１，Ｐ２）＝ｄ（Ｐ２，Ｒ）； 础都是过定点作斜率后＝士１的直线，分平 （３）三角不等式：ｄ（Ｐ１，Ｐ２）≤ｄ（ ，Ｘ）＋ 面直角坐标系为若干区域，规定最上的 ｄ（Ｐ２，Ｘ），Ｘ为平面直角坐标系中任意一点． 区域为（１），其他区域按顺时针方向，分别 那么，一般情况下Ｐ１（Ｘｌ，Ｙ１）、Ｐ２（ ２，Ｙ２）两 为（２）、（３）、（４）……，若有中间的区域，则标 点的“非常距离”该如何具体求出呢？ 号为最末，每一个区域包含了边界的射线或者 当过尸】、Ｐ２两点的直线斜率后＝１时 线段，不赘述． （图１），过点 、Ｐ２分别作 轴，Ｙ轴的垂 下面我们利用“非常距离”的定义，仿照文 构造“凹槽形”相似图形，巧妙建立了动点之间 三、触类旁通的效果，当然，上述几个问题的 的坐标关系，从而探求出当直角顶点置于规则 解答，还可以从不同的角度给出其他解法，教 曲线上进行旋转时，具有的固定不变规律．这 学中需见机行事．经常做这种训练，不仅可以 样做不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发 提高学生思维深度，还可以培养学生面对难题 思维、渗透数学思想、培养能力，达到举一反 时良好从容的心态． ２０１３年第９期 数学戡学 ９一ｉ５ …，探讨一些和距离有关的轨迹，以及如何快 速地作出相应的图形．为节省篇幅，只对圆和 双曲线作详细讨论，其他情况只给出相应的结 论． 圆 为所求．或者，换个角度，我们可以这样考虑， 如图４所示，以Ｐ为圆心作圆，圆和直线 的位置从相离到相切，当相切时，切点即为垂 足Ｑ．所以，我们也用同样的方法来求点到 设圆心为定点Ａ（ａ ），半径为定长ｒ（ｒ＞ ０），则圆上的点Ｐ（ｘ，Ｙ）满足ｄ（只Ａ）＝ｒ． 如图３，在四个区域中分别讨论得： 直线的非常距离．如图５所示，以点Ｐ为 中心作边长从小到大的正方形，当正方形和 直线ｆ有唯一交点Ｑ时，Ｑ为正方形的左 上顶点，此时，非常距离下的圆和直线相切， （１）Ｙ—ｂ：ｒ，．‘．Ｙ：ｂ＋ｒ，得线段ＢＣ， ｄ（Ｐｊ ｆ）＝ｄ（ Ｑ），ｋｐＱ＝－１，过Ｐ作 轴 ‘．．其中Ｂ（ａ— ｂ＋ ），Ｃ（ａ＋ｒ，ｂ＋ｒ）． （２） —ａ＝ｒ’．．． ＝ａ＋ｒ，得线段 Ｄ， 其中Ｄ（ａ＋ ｂ—ｒ）． （３）ｂ—Ｙ＝ｒ，．‘．Ｙ＝ｂ—ｒ，得线段ＤＥ， 其中Ｅ（ａ—ｒ，ｂ—ｒ）． （４）ａ—ｘ＝ｒ’．．． ＝ａ— ，得线段ＥＢ． 得以圆心为中心，边长为２ｒ的正方形 （图３）．且ｋｃＥ＝１，ｋＢＤ＝－－１ 、、－ ｙ ／ ‘、，ｃ ＼ 、、：、 ／ ， ／ 、、 ｒ ～ ’、 一 ， Ｄ、 ， 、、 图３ 作法：把圆心分别上下平移ｒ个单位，得 到两个点，过这两个点作水平直线．再把圆心 分别左右平移ｒ个单位，得到两个点，过这两 个点作竖直直线，所得四条直线围成的正方形 即为非常距离下的圆． ’．‘ｄ（Ｂ，Ｃ）＝（ａ＋ｒ）一（ａ— ）＝２ｒ，得圆 的周长为８ｒ，圆周率７ｒ为圆的周长与直径的比 值．在欧氏几何中，丌是一个无理数，而在非常 距离下，丌＝ ＝４，是一个有理数了． ’ 下面利用圆来求平面内点到直线的非常 距离． 设点Ｐ（ｘｏ， ０）和直线ｆ：Ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠ ０）上任一点 ，称ｄ（ ）的最小值为点Ｐ到 直线ｆ的非常距离，记作ｄ（Ｐ’ｆ）． 在欧氏几何中，求点ＪＦ）到直线ｆ的距离， 只需过Ｐ作ｆ的垂线，得垂足Ｑ，则ＩＰＱｌ即 的垂线，交切圆于点Ｍ，则ｄ（Ｐ１Ｑ）＝ＩＰＭＩ． ‘・’１ｐＱ：Ｙ ＝ ＋ＸＯ＋ ０，解之得 ＝Ｑ ＝ ＸＯ十 Ｏ一 ｂ １＋ｋ ｌ＝ １ｋｘｏ一 ｏ ＋ｂ １＋ｋ ＞０１． 图４ 图５ 同理，如图６所示，当直线ｆ的斜率 ＜０ 时，ｋｐＱ １，计算得ｄ（Ｐｊ ｆ）＝ ． ＿．Ｉ 一 ＼ 图６ 所以点Ｐ（ｘｏ， ｏ）到直线ｆ： ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠ ０）的非常距离为： ｄ（Ｐｊ ｆ）＝ ………… 当直线ｆ为水平直线（ｋ：０）时（图７），直 线和非常距离下的圆相切，切点有无穷多个， 它们组成线段ＡＢ，其上任意一点到点Ｐ的非 常距离都相等，我们取和点Ｐ在同一竖直直线 上的点Ｑ（ ０，６），ｄ（Ｐ＇１）＝ＩＹｏ—ｂｌ，也满足上面 的（水）式．所以公式（木）满足斜率存在的所有情 况． ９－１６ Ｊ，Ｊ 一 数学教学 ２０１３年第９期 注：下面讨论的射线都在求出的直线上， ， 结合所在的区域，不难得到对应的图形，所以 ●Ｐ ，：ｖ＝ｂ 一 我们只给出起点，不赘述． － Ｑ ０ （３） 一（－Ｃ）］一（ —ｃ）＝２ａ，矛盾． （４） 一（－ｃ）Ｊ一（０一 ）＝２ａ，．‘． ：一 十 ２ａ—Ｃ，得以Ｂ为起点的射线，其中Ｕ（ａ，ｎ—Ｃ）． （５）（０一 ）一（０一 ）＝２ａ，矛盾． （６）（０一 ）一（ｃ一 ）＝２ａ，．‘． ＝ 一２ｎ— Ｃ＜ —ｃ，不在区域（６）内，矛盾． 图７ 当直线ｆ为竖直直线时，斜率不存在，如 图８所示，ｄ（Ｐ’１）＝ｌＸ０～０ ｙ ，： 口 ● ｒ １ Ｑ● Ｉ ．Ｐ Ｂ● Ｊ Ｄ 图８ 双曲线 设Ｆ１、Ｆ２为两焦点，焦距为ｄ（Ｆ１，Ｆ２），实 轴长为２ａ（ａ＞０），Ｐ（ｘ， ）为所求双曲线上任 一点，则Ｉｄ（Ｐ’Ｆ１）一矗（Ｐ’Ｆ２）ｌ＝２ａ． （ｉ）当两焦点在同一条水平直线上时， 取如下特例，Ｆ１（一Ｃ，Ｏ），Ｆ２（Ｃ，０），ｃ＞０，则ｄ（Ｆ１， Ｆ２）＝２Ｃ，２ａ＜２ｃ．如图９，在九个区域中分别 讨论得： （一）ｄ（Ｐ，Ｆ１）一ｄ（Ｐ，Ｆ２）＝２ａ （１）（ 一０）一（ 一０）＝２ａ，矛盾． （２） 一（－Ｃ）］一（ 一０）＝２ａ，．‘． ＝ ＋ｃ一２ａ，得以Ａ为起点，斜率 ＝１，往 右上方的射线，其中Ａ（ａ，Ｃ一０）． ＼、、、’ Ｉ Ｙ＝ｘ＋ｃ，／／ ，， ／ 、 ・、 一一 Ｄ 、～、 、１ ｌ（ ／ ／ ／一ｃ 、 一 ～ ｌ，， 、 、、：．什ｔ 、 ， Ｂ＼ 、、 ＼＼ ＼ ～ ＼ 、 图９ （７）（一Ｃ— ）一（Ｃ— ）＝２ａ，矛盾． （８）（ 一０）一（Ｃ— ）＝２ａ，．‘． ：一 ＋ ２ｎ＋ｃ，不在区域（８）内，矛盾． （９） 一（一ｃ）］一（Ｃ— ）＝２ａ，．‘． ＝ｎ，得 线段Ａ ． （二）ｄ（Ｐｊ Ｆ１）一ｄ（Ｐ）Ｆ２）＝－２ａ 注：为节省篇幅，下面的讨论过程中，我们 对得到矛盾的区域都忽略了，请读者自行补足． （６）（０－ｙ）一（Ｃ－－Ｘ）＝－２ａ，．‘． ＝ｚ＋２ａ－ ｃ，得以Ｃ为起点的射线，其中Ｃ（一０，ｎ—ｃ）． （８）（ｙ－Ｏ）一（ＣＤＸ）＝－２ａ，．‘． ：－ｚ＋ｃ－ ２ａ，得以Ｄ为起点的射线，其中Ｄ（一ｎ，Ｃ一０）． （９） 一（－Ｃ）］一（ｃ— ）＝－２ａ，．‘．ｚ＝一０， 得线段ＣＤ． 所以得到两条折线，关于 轴、 轴轴对 称，且关于原点中心对称． （ｉｉ）当两焦点在斜率ｋ＝１的直线上时， 取如下特例，Ｆ１（一ｃ，一ｃ），Ｆ２（ｃ，ｃ），Ｃ＞０，则 ｄ（Ｆ１，Ｆ２）＝２ｃ，２ａ＜２ｃ．如图１０，在六个区域 中分别讨论得： （一）ｄ（Ｐ，Ｆ１）一ｄ（Ｐｊ Ｆ２）＝２ａ （３） ～（－Ｃ）］～（ｃ一 ）：２ａ，．‘． ＝ 一 ＋２ａ，得以Ａ为起点的射线，其中Ａ（ａ，ｎ）． ： ／ 。 、、、／ 、● 、、、 、一 ’、 ／／、、、、 ／ 图１０ ２０１３年第９期 数学数学 ９一ｉ （６）［Ｙ一（－ｃ）】一（Ｃ—ｚ）＝２ａ，．‘．Ｙ＝ ＼ Ｊ 一 ＋２０，得以 为起点的射线． １３：Ｙ 一时： ｃ＋２ｍ ， （二）ｄ（Ｐ１ Ｆ１）一ｄ（Ｐ１ Ｆ２）＝－２ａ 、、、ｌｌ：ｙ ｃ．＿２ｍ ／ （３） 一（－ｃ）］一（ｃ－ｙ）＝一２ａ，・‘・Ｙ＝一Ｘ一 ２０，得以Ｂ为起点的射线，其中Ｂ（－ａ，一０）． ＼ ／ 一、＼／ ．・’ （６）［Ｙ一（－ｃ）］一（Ｃ—Ｘ）＝一２ａ，．‘．Ｙ＝ ＼ 一 、ｌ ， ， 、、 －Ｘ一２０，得以Ｂ为起点的射线． ：ｔ＿Ｄ 所以得到过 、 两点，斜率ｋ＝－１的 ／ 、、 ， 、、 两条平行直线．关于Ｙ＝ｉｘ轴对称，还关于任 ． 一条平行于Ｙ＝Ｘ的直线对称，且关于原点中 ／ 凡，／ ， ＼ 心对称． 图ｌ２ （ｉｉｉ１其他情况． 当两焦点在斜率 ＞０， ≠１的直线上 、、 ，， 时，简单起见，取 ＞１，所以取如下特例， 、、 ／ 、 ， Ｆ１（０，０），Ｆ２（２ｍ，２ｃ），ｃ＞ｍ＞０，则ｄ（Ｆ１，Ｆ２）＝ Ｌ ＼、 ．， 、、ｃ＿、 ■＿ Ｌ ２ｃ，２０＜２ｃ．如图１１，四条直线把直角坐标 系分成九个区域，四条直线分别为１１：Ｙ＝ ／ ，一／ 一 ’ 、 Ｘ＋２ｃ一２ｍ，１２：Ｙ＝Ｘ，１３：ｙ＝一 ＋２ｃ＋２ｍ， 、、 ，／＼ ’、 Ｚ４：Ｙ＝－－Ｘ ｒ （一）ｄ（ Ｆ１）一ｄ（Ｐ，Ｆ２）＝２ａ ．／ ，／ ，ｎ’ ・．＼＼ ＼、＼ 、 ：图１３ 、当ｄ（Ｐ，Ｆ１）一ｄ（Ｐｊ Ｆ２）＝２ｍ时 、，／ 『２：ｙ＝ （２）Ｙ： ，得以Ｓ为起点的射线． （３）（ 一０）一（Ｘ一２ｍ）＝２ｍ，恒成立，得 、、Ｄ ， ， ， 、 、 区域（３１． ／ ／、． （４）（Ｘ一０）一（２ｃ—Ｙ）＝２ｍ，．‘．Ｙ＝ ／Ｆ ， 、一 、、＋２ｃ＋２ｍ，得以Ｓ为起点的射线． ＿ ＼ 、，． ／ 、 ＼ ＼ 、、、；， 实际上，在区域（２）、（４）中所得的两条射 线，就是区域（３）的边界射线，接下来的讨论中， 图１１ 若有类似情况，我们只选区域． （２）（Ｙ—ｏ）－（ｘ一２ｍ）＝２ａ，．‘．Ｙ：Ｘ＋２ａ一 （８）（Ｙ一０）一（２ｍ— ）＝２ｍ，．‘．Ｙ＝一Ｘ＋ ２ｍ，此直线必在直线ｌｌ之下，但与直线２２的 ４ｍ，得以 为起点的射线，其中 （３ｍ—ｃ，Ｃ＋ 关系，取决于ａ、ｍ这两者之间的大小． ｍ１． 当２ａ一２ｍ＞０，即ａ＞ｍ时，Ｙ＝Ｘ＋ ． （９）（Ｙ一０）～（２ｃ—Ｙ）＝２ｍ，．‘．Ｙ：Ｃ＋ｍ， ２ａ一２ｍ在直线Ｚ２之上；当ａ＝ｍ时，Ｙ＝ 得线段 Ｓ． Ｘ＋２ａ一２ｍ与直线ｆ２重合；当ａ＜ｍ时， 当ｄ（Ｐ，Ｆ１）一ｄ（Ｐｊ Ｆ２）＝一２ｍ时 Ｙ＝ｚ＋２ａ一２ｍ在直线１２之下．所以，我们 （４）（Ｘ一０）一（２ｃ—Ｙ）＝一２ｍ，．‘．Ｙ： 又要分成三类来讨论． 一 ＋２ｃ一２ｍ，得以Ｂ为起点的射线，其中 ①ｃ＞ａ＞ｍ＞０或者②ｃ＞ｍ＞ａ＞ Ｂ（ｃ—ｍ，Ｃ—ｍ）． ０时，讨论过程与上面的（ｉ）类似，得图ｌ１和 （７）（０一 ）一（２ｍ—Ｘ）＝一２ｍ，恒成立，得 图１２．③ｅ＞ａ＝ｍ＞０，如图１３所示，中间 区域ｆ７１． 区域（９）为矩形，其另两个顶点为Ｒ（ｍ—Ｃ，Ｃ— （９）（ 一０）一（２ｃ－ｙ）＝一２ｍ，．‘．Ｙ＝ｃ—ｍ， ｍ）、ｓ（ｃ＋ｍ，ｃ＋ｍ）． 得线段兄日． ９一ｌ８ 数学救学 ２０１３年第９期 所以得如图１３表示的图形．当两焦点在 Ｆ２）＝２ｃ，２ａ＞２ｃ．得图１６．轨迹为一个六边形， 斜率０＜ｋ＜１的直线上时，在区域（９）中的线 段变成竖直线段，射线和区域作相应改变． 作法：若两焦点在斜率ｋ＝土１的直线上 时，作对应的两条直线即可．其他情况下，先作 区域（９）表示的矩形内的线段ＡＢ、ＣＤ，然后 过线段的端点在矩形的形外作垂直于相应边的 射线，其中，若如果线段ＡＢ、ＣＤ恰好过矩形 的某个顶点，则对应的整个区域都满足，这样 得双曲线． 椭圆 设Ｆ１、Ｆ２为两焦点，焦距为ｄ（Ｆ１，Ｆ２）， 长轴长为２ａ，Ｐ（ｘ，Ｙ）为所求椭圆上任一点， 贝０ ｄ（Ｐ’Ｆ１）＋ｄ（Ｐ Ｆ２）＝２ａ． （ｉ）当两焦点在同一水平直线上时，取如下 特例：Ｆ１（一ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），ｃ＞０，则ｄ（Ｆ１，Ｆ２）＝ ２ｃ，２０＞２ｃ．最终得图１４，轨迹为一个八边形， 关于 轴， 轴，Ｙ＝Ｉｘ四条直线轴对称，且 关于原点中心对称． 、、 、、 ■垦，／ ■一 ～、、／＼、 ， ＼ ， －，，、Ｉ、、Ｆ 、 ｌ，， 、、０ 、、、 ／＼／ ／Ｇ Ｅ、、 图１４ 通 非常距离 下的椭 、一 ，， 、 —■● 、、、 ／／ ＼ ，Ｉ， 、， ＼ ＼，， 、 Ｉ、、０， 、、 ／ｌ～ ｌ，， 、０ ， ，、、，、ｌ王 、、 ， 、，， 、 ，， ＼／ ：、 、、／ ／、、 —— （ｉｉ）当两焦点在斜率ｋ＝１的直线上时，取 如下特例：Ｆ１（一ｃ，一ｃ），Ｆ２（ｃ，ｃ），ｃ＞０，则ｄ（Ｆ１， 关于 ＝ｉｘ轴对称，关于原点中心对称． ｖ：一 玉、、 ．ｙ 、、 ．ｙ＝ ／ 、－ ／ －Ｂ Ｖ＝— ，、、Ｉ（ ≯＝＝： Ｅ ，，， ≥≮ 、 、 ● 、、 、， ．一 ■． ／ ／ 图１６ （ｉｉｉ）其他情况． 仅给出两焦点连线的斜率满足０＜ｋ＜ １和ｋ＞１的图形，如图１７和图１８所示． 抛物线 设Ｆ、２分别为焦点和准线，Ｆ ２， Ｐ（ｘ，Ｙ）为所求抛物线上任一点，则ｄ（Ｐ＇Ｆ）＝ ｄ（尸，２）．准线分平面为两个大区域，抛物线必在 包含焦点的区域内，否则，ｄ（Ｐ，Ｆ）＞ｄ（ ２）（证 明略１． 、、 ／ 、，－一 ＿ ／ 、 ／、 ｌ、 ，／一 ０ 、／ 、・ ≥： ／ 、 ， 、 ， 图１７ ＼Ｙ Ｊ、、、 ／一 一 Ｊ．《，， Ｆｌ 、、／ ， ——— ，．／ 、、 图１８ ２０１３年第９期 数学教学 ９－１９ （ｉｉ）当 、Ｂ两点在斜率 ＝１的直线上 （ｉ）当准线为一条竖直直线上时，取如下特 例：Ｆ（ｃ，０），ｆ：Ｘ＝一ｃ（ｃ＞０），得图１９，轨迹 为一条竖直线段以及以线段的端点为起点，斜 时，我们取 （一ｃ，一ｃ），Ｂ（ｃ，ｃ），ｃ＞０．得图２３． 这个和我们欧氏几何中的中垂线完全一样了． 率等于 士１的两条射线．它关于过焦点且垂直 于准线的直线对称． 。 ， １ ， Ｄ Ｉ ／ ／ ， ． ●图１９ ｆｉｉ）当准线的斜率ｋ＞０时，我们取如下 特例：Ｆ（ｃ，０）（ｃ＞０），ｆ：Ｙ＝ｋｘ，Ｆ在ｆ的右 下方，得图２０．特别地，准线斜率ｋ＝１时，如 图２ｌ，轨迹关于过焦点、斜率等于一１的直线 对称． 、 、、 ／ Ｄ ～ ／ ・、 ， ， ，＼ ＼ 。、 图２０ 图２１ 线段ＡＢ的中垂线 ． Ｐ（ｘ， ）为所求中垂线上任一点，则 ｄ（ ）＝ｄ（ Ｂ）． （ｉ１当Ａ、Ｂ两点在同一条水平直线上时， 我们取Ａ（一ｃ，０），Ｂ（ｃ，０），ｃ＞０．得图２２．中垂 线为区域（１）和区域（５）以及线段ＣＤ． 图２２ ’、、 ，／ ． ，、／ 、 ，Ｂ ，， 、、 ／ 、 ～ 、、 ０，， 、、 ／ ■、 ／ 、 ／ 、 ／ ，图２３ （ｉｉｉ）当 、Ｂ两点在斜率０＜ ＜１的直 线上时，我们取 （０，０），Ｂ（ｐ，ｑ），Ｐ＞ｑ＞０．得 图２４．而图２５给出了ｋＡＢ＞１的结果，其他 情况作相应的调整即可． ＼ ， 、、： Ｅｑ 一 ～、 、、 ， ＾、， 、、 、，，、． 、、 ， － ，， ‘／ 、 ， 图２４ 图２５ 以上，我们仅仅讨论了非常距离下的圆， 中垂线以及第一定义下的圆锥曲线．那么，在 非常距离下，利用中垂线和圆，任意三角形是 否存在外接圆？若有，有几个？如何作出？相应 地，任意三角形是否有内切圆？实际上，欧氏 几何中众多的几何定理，会有什么新的改变？ 这些都是值得我们继续探讨的问题． 参考文献 『１１夏德凡．“直角距离”下的轨迹探究 ． 数学教学，２ｏ１１（１２）：１６—２０，３１．
