南京信息工程大学2011-2012第一学期高等代数其中试卷(A)(后附答案)

南京信息工程大学试卷

2011 －2012学年 第 1 学期 高等代数(上) 课程试卷( A 卷)

本试卷共 3 页；考试时间 120 分钟；任课教师 ；出卷时间2011年12月

一、填空题（本题满分15分, 每题3分）

5x12323x1xx12x11. 行列式中x3的系数是 ；x4的系数是 . 22x112. 设A为3阶矩阵，且|A|,，则(A)18A*= . 62a1b1a1b2aba2b23. 设A21anb1anb22a1bna2bn,其中ai0,bi0,(i1,2,anbnn)，则r(A) .

4. 如果x1Ax4Bx21，则A= ；B= ．

5. 设1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的三个解向量，且r(A)3，

10211,23，则非齐次线性方程组Axb的通解为 .

3243二、选择题（本题满分15分, 每题3分）

1. 设fxx3ax2bx9，如果2是fx的2重根，则a,b=（ ）

25252525,12 (D) ,12 ,13 (B) ,13 (C) 4224(A)

2. 设n阶方阵A与B等价，则（ ）

(A) |A||B| (B) |A||B| (C) 若|A|0,则|B|0, (D) |A||B| 3. 设A是n阶退化矩阵，则下面说法正确的是（ ）

(A) 必有一行元素全为0； (B) 必有两行元素对应成比例；

第 1 页 共 8 页

(C) 必有一行向量是其余行向量的线性组合； (D) 任一行向量是其余行向量的线性组合.

4. 设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则有（ ）成立

(A) |A*||A|n1 (B) |A*||An| (C) |A*||A| (D) |A*||A1| 5.A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABCE，则有( ) (A) ACBE （B）BACE （C）BCAE （D）CBAE 三、判别下列多项式在有理数域上是否可约. (本题满分10分，每题5分) 1. fx=2x687x578x342x251x3； 2. fx=x55x1.

四、(本题满分10分，每题5分) 计算下列行列式：

022211bb31. aa32022c； 2. Dn2202. c312220五、(本题满分10分，每种方法各5分)

111设A210，试用两种方法求矩阵A的逆矩阵.

1101031213011六、(本题满分10分) 求向量组1,2,3,4,5

21725421406的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示. 七、(本题满分10分) 讨论a,b取何值时，非齐次线性方程组

ax1x2x34x1bx2x33 x2bxx4231(1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？有无穷多解时，求其全部解.

第 2 页 共 8 页

八、(本题满分8分) 已知向量组1,2,3线性无关，证明向量组1122,

22233,3331线性无关.

九、(本题满分6分) 已知A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，且A2A6E0，

证明：r(A3E)r(A2E)n.

x13十、(本题满分6分) 设R=xx2x1,x2,x3R为3维向量空间，已知xR3

x3与实数R上的三阶方阵A使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且A3x3Ax2A2x,记Cx,Ax,A2x，求3阶方阵B，使得ACBC1.

2011-2012学年第一学期《高等代数》（上）

期末试卷（A卷）参

一、填空题（本题满分15分, 每题3分）

21321. 5,10; 2. 16; 3. 1; 4.A1,B2；5.k.

4354二、选择题（本题满分15分, 每题3分）

1. B 2. C 3. C 4. A 5. C

三、（1）利用艾森斯坦判别法，取p3,则此多项式在有理数域上不可约。

----------------------5分

2.令xy1，则

f(x)x55x1(y1)55(y1)1y55y410y310y25 ---------3分

利用艾森斯坦判别法，取p=5，此多项式在有理数域上不可约。

第 3 页 共 8 页

-------------------5分

111cc3四、1．aba3b3c2c1c3c11a0ba0cac3a3baba33caca33

a3b3a3=(ba)(ca)1b2aba21c2aca2

=(ba)(ca)(cb)(abc) ----------------5分

02222022r1r2rn2. Dn220222201r22r12n22n22n22n2222100(2n2)(2)n1(1n)(2)n -----------5分 211030，所以A可逆。 --------------1分 0022202220

1020(2n2)0020001rn2r1五、解：法一：因为A2111A111010110,A121020100,A13211113, 1A211,A2211101,A23112,

A311,A322,A331

011则A*012 -------------4分

32101*因此A1A0|A|1131323132 -----------5分 313第 4 页 共 8 页

111100111100r22r1012210法二：AE210010r3r1

110001021101101110101110r2(1)r1r2012210012210 r32r2r3(3)003321210011331000r1-r30100r2+2r300110故A101131323131323132， ------------4分 313132 --------------5分 313213011r2r1042r301725rr32r1214060031211101r1r30000110000003123303

1101004403011101

0011000003111六、解：A(1,2,3,4,5)241r230r3r200031211101r3r400000r4(4)000440 ------------4分

所以向量组的秩为3， -------------6分 一个极大线性无关组为1,2,4， -------------8分 且3312,5124. -----------10分

第 5 页 共 8 页

a11七、解：系数行列式|A|1b1b(1a)，

12b1由Cramer法则，当a1且b0时，方程组有唯一解； ----------------3分 当a1时，对增广矩阵B施行初等行变换，

1141114111411rr3r2r2123B1b130b101001， r2r1r2r1212b1402b10002b100 当b1时，r(A)r(B)23， 2111410121 r2(2)方程组有无穷多解，这时B00101022r1r20000000021它的一个特解为*2, 其导出组的基础解系为0

0112原方程组的通解为xk*k02. ------------------6分

101141411111 r2(2)当b时，这时B001010222r3(2b1)r20002(2b1)02b100r(A)2r(B)3，方程组无解. -------------------7分

a1141013r1r2a114 当b0时，B1013101410141310r2ar1011a43ar3r1，

0001此时r(A)2r(B)3，方程组无解. ------------------9分

第 6 页 共 8 页

综上所述，当a1,b0时，方程组有唯一解；

121 当a1,b时，方程组有无穷多解，通解为xk02；

2101 当a1,b时，方程组无解；

2 当b0时，方程组无解. ------------------10分 八、证明：设有一组数x1,x2,x3，使得x11x22x330，

即x1(122)x2(2233)x3(331)0 ------------2分 则有(x1x3)1(2x12x2)2(3x23x3)30，

x1x30因为1,2,3线性无关，得2x12x20， ------------4分

3x3x032101其系数行列式220120，方程组只有零解，故x1x2x30

033--------------7分

所以向量组1122, 22233,3331线性无关. ------------8分 九、证明：因为A2A6E0，所以(A3E)A2EO，于是

rA2ErA3En； -----------3分

另一方面，rA2Er3EAr((A2E)(3EA))n；又

r(A3E)r(3EA)，则rA2ErA3En

从而有rA2ErA3En. -----------6分 十、证明：因为x,Ax,A2x线性相关，所以C可逆； -----------2分 且ACAxAxA2xAxA2xA3x

第 7 页 共 8 页

xAx000000A2x103C103 -----------5分

012012000于是取B103，得ACBC1 -----------6分

012

第 8 页 共 8 页