第三讲 函数的性质

（一）主要知识 1.单调性

一般地，设函数f（x）的定义域为Ⅰ：

（1） 如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

（2）如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念. ③判断函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2是给定区间内的两个任意实数，且x1＜x2； b.计算f（x1）－f（x2）并适当变形； c.判断上述差的符号；

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数). （二）主要方法 1.判断函数单调性 （1）定义法；

（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；

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（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （4）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任意一个子区间上也是增（减）函数； （5）如果yf(u)和ug(x)的单调性相同，那么yf[g(x)]是增函数，如果yf(u)和ug(x)的单调性相反，那么yf[g(x)]是减函数. （三）课前练习

1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，对f(x)=0的根有下列说法：①有且只有一个； ②有2个；③至多有一个； ④没有根.其中不正确的说法是（填序号）.

2. 已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的函数.（用“增”“减”填空）

3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是.

4.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)= f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+ f(x)＜2f(4)的解集为.

5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上的最大值为3，最小值为2， 则m的取值范围是.

2

（四）例题分析 考点一：单调性定义

【例1】证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数.

1

【例2】证明函数f（x）＝ 在（0，＋∞）上是减函数.

x

考点二：单调性性质应用

3【例3】函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,试判断f（a2－a＋1）与f的大小关系.

4

【例4】已知函数f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a的取值范围.

x1(3a1)x4af(x)【例5】若是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ） x1logaxA.(0,1) B.(0,) C.[,)

131173 D.[,1)

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3

考点三：求函数单调区间 【例6】写出函数f（x）＝

【例7】判断函数f（x）＝

考点四：抽象函数单调性应用

【例8】已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.

【例9】讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性。

1

的增减情况.

x2－2x－3 的单调区间.

x2－4x

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