《数学之友》 ２０１６年第２４期 联想打开我的解题思路 解题探索 邓宇琦 （江苏省苏州中学高二（６）班，２１５００７） 进入高中的数学学习，很多时候我们都会发现 一一些压轴题不再像初中那样只需将为数不多的数学 Ｏｔ）（ 为任意角），同样的方法求出其值为÷； （３）求值：ＣＯＳ。（３０。＋ ）＋ｓｉｎ ＋ＣＯＳ（３０。＋Ｏｔ） 模型套入题目中，答案就会呼之欲出．有时候甚至是 绞尽脑汁也是一筹莫展．但如果运用联想的方法，这 些看似很难的题目就会迎刃而解了． 数学解题的实质，就是通过已知条件，探究其与 所求结论之间的必然联系，从而由已知条件得出所 求结论的过程．联想就是由一种信息情景探索到另 一信息情景的思维过程，这两个信息情景之间可能 具有相似性或因果关联性．通过这种联想思维过程， 在所解题目的已知条件和所求结论间建立起清晰的 推导桥梁，从而实现数学题目的有效解答．联想的数 学思维方法灵活地运用于数学解题中，既能拓宽解 题思路又能提高运算效率，从而实现从已知条件到 所求结论的有效转化． １ 联想定理 例１不查表求值：ｓｉｎ ２３。＋ｓｉｎ２３。ｓｉｎ３７。． 分析：按照常规思路，本题需要利用较多的三角 公式，如降幂公式、积化和差公式和差化积公式，但 如果仔细观察式子的结构特征，很容易联想到余弦 定理公式，于是问题就转化成在ＡＡＢＣ中，厶４＝ ２３。，ＬＢ＝３７。，则 Ｃ＝１２０。．不妨设外接圆直径为 １，由正弦定理知三边长分别为ｓｉｎ２３。，ｓｉｎ３７。， ｓｉｎｌ２０。．再由余弦定理知： ｓｉｎ２２３。＋ｓｉｎ２３７。一２ｓｉｎ２３。ｓｉｎ３７。ｃｏｓ１２０。 ：ｓｉｎ １２０。． １ 因此，ｓｉｎ ２３。＋ｓｉｎ ３７。＋ｓｉｎ２３。ｓｉｎ３７。＝÷ 叶 由此可见，运用联想法使复杂问题简单化．对于 本题还可以作如下探究： （１）求值：ｓｉｎ ＯＬ＋ｓｉｎ （６０。一 ）＋ｓｉｎａｓｉｎ（６０。一 ）（ 为任意角） 通过联想特殊值 ＝０。，探究出其值为÷，叶 再利 用三角形中的正弦定理和余弦定理证明． （２）求值：ｓｉｎ Ｏ／＋ｓｉｎ （１２０。一 ）＋ｓｉｎａｓｉｎ（１２０。 ・７８・ ｓｉｎｃ￣，探究其值也是÷．叶 其实在ＡＡＢＣ中，由正弦定理和余弦定理可 知，ｓｉｎ ＋ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＣ＝ｓｉｎ Ｃ，当 ＋ 为定值时 （如６０。，１２０。，４５。，３０。等）都可以得出其相应的值． 这种题型在高考试题、竞赛试题、自主招生试题中多 次出现，所以我们平时学习中要善于联想，注重积 累，方能提升． ２联想图形 例２ 已知 、Ｙ、ｚ均为正实数，求证： 而＋ ＞ 对于这道题用常 规的作差比较法是无 法解决的．但我们从 ＋ ＋ｘｙ联想到余弦曰 Ｃ 定理，从要证明的不等式，又联想到三角形两边之和 大于第三边，于是构造三条线，ＯＡ＝ ，ＯＢ＝Ｙ．ＯＣ ＝ ，且ＬＡＯＢ＝ＬＢＯＣ＝ ＣＯＡ＝１２０。 由余弦定理知：Ａ日＝ 十ｙ 十 ，日Ｇ＝ ￣／ｙ２＋ ＋ｙｚ，ＡＣ＝ ＋ ＋ ． 再由三角形的性质得： ＋Ｙ ＋ｘｙ＋ 十 ＋ｙｚ＞ ＋ ＋ ． 由此可见，利用联想方法使问题迎刃而解．我们 也可以探究如下问题： （１）已知 ，Ｙ，。∈Ｒ ，求证：￣／ 。＋Ｙ 一ｘｙ＋ ／ｙ２＋ ｖ一ｙｚ＞ ＋ 一 ． 由本题结构联想到余弦 定理和三角形的性质，同样构 造三条线段ＯＡ＝ ，ＯＢ＝Ｙ，Ａ ＯＣ＝ｚ，但此时ＬＡＯＢ＝ ＬＢＯＣ＝ ＣＯＡ＝６０。，于是由余 《数学之友》 ２０１６年第２４期 、｝ 斗 一ｘｙ ＢＣ＝ 亡一ｙｚ．ＣＡ＝ ０一 ． 元法求解．令ｔａｎＡ＝ ，ｔａｎＢ＝Ｙ，ｔａｎＣ＝ｚ，因此有 ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ，即ｔａｎＣ＝一ｔａｎ（Ａ 但发现点０不在三角形ＡＢＣ内部，于是，我们 又联想到立体图形、四面体ＯＡＢＣ，所以在ＡＡＢＣ ＋ ），也就是 ＋ ＋Ｃ＝ 订（ ∈ｚ），从而有 ＋ ２Ｂ＋２Ｃ＝２ｎ－ｒｒ（ｒｂ∈Ｚ），也就是有ｔａｎ２Ａ＋ｔａｎ２Ｂ＋ 中，仍有上述不等式成立． （２）已知 ， ， ∈Ｒ ，求证： ＋ ＋ ￣／（ 一１） ＋ ＋√ ＋（Ｙ一１） ＋￣／（ 一１） ＋（Ｙ一１） ≥２ 对于本题，利用分析法、综合法、基本不等式法 都无法解决，但从结构形式上看，联想到两点间距 离，因此，每个根式都看成是两点间距离，于是构造 平面直角坐标系０一ｘｙ．原点０（０，０），Ａ（１，０），Ｂ （１，１），Ｃ（０，１），点Ｐ（ ，Ｙ），于是得正方形 ＯＡＢＣ，ＰＯ＝ ＋Ｙ ，ＰＡ＝￣／（ 一１） ＋Ｙ ，Ｐ日＝（ 一１） ＋（Ｙ一１） ，Ｐｃ＝￣／ ＋（Ｙ一１）２． 由图形及三角形性质得 ＋ＰＢ≥ＯＢ＝ ，ＰＡ＋Ｐｃ ≥Ａｃ＝ ．Ｐｏ＋ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ≥ ２ ，当且仅当Ｐ为ＯＢ与 ＡＣ交点时等号成立． 其实问题（２）还可以推广到空间中，已知 ，ｙ， ∈Ｒ ，求证： ＋ ＋ｚ ＋ （ 一１） ＋Ｙ ＋ｚ 十 ｖ／ｘ＋（Ｙ一１） 十 十 ＋Ｙ ＋（ 一１） ＋ √（ 一１） ＋（Ｙ一１） ＋ ＋ ￣／（ 一１） ＋ ＋（ 一１） ＋ ≥４ 从Ｅ述问题可以看出，要善于观察式子的结构特 征，联想到相关的几何图形，再利用几何Ｉ生质ｊ基彳亍证明． ３联想公式 有的问题与一些公式极为相似，在解题时我们 可以将要证明的结论或已知条件与某公式对照，寻 找解题的突破口． 例３ 已知实数 ，Ｙ， ，满足 ＋Ｙ＋ｚ＝ｘｙｚ，求 、— ｖ ４ｘｒｚ ＋青＋ 丽莉‘ 面对这道题，真是让人感觉“老虎吃天，无从下 口”，但仔细观察已知条件，我们很快联想到斜三角 形ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡｔａｎＢｔａｎＣ，而 又联想到二倍角公式的正切形式，于是想到换 ｔａｎ２Ｃ＝ｔａｎ２Ａｔａｎ２Ｂｔａｎ２Ｃ．展开代入得 １一 ＋ ＿１一 Ｌ ＋ 。１ Ｚ２ 一１＿二二 １ Ｙ ，从而等式得证・一 （一 ）（一 ）（１一ｚ ） ” 可 何 例４设数列｛口 ｝的前／７，项和满足ｓ ＝０ ｓ ＋Ⅱ１，其中ｎ２≠０． （１）求证｛０ ｝是等比数列； （２）若Ｏ；２＞一１，求证： ≤ ，并写出 成立的前提条件． 分析：这道题的第一问属于常规题．但是第二 小问则需要动一番脑筋．首先我们可以发现：当 ＝１或者２时，式子的等式是成立的．但是继续往 下就会发现遇到了瓶颈，用常规的解题方法无法 解出，就不知道该如何下手．这时候应该再回到 题目中，观察需要证明的等式，尽可能把它和学 过的知识联系起来．联想到等差数列的前 项和 公式，并由此再联想到推导这个公式的方法：倒 序求和，就可以求出这个等比数列的前ｉＯ，项和也 用倒序求和． 设等比数列的公比ｑ Ｓ ＝１＋ｇ＋…＋ｇ 一 ＋ｇ“一。 Ｓ ＝ｑ 一 ＋ｑ 一 ＋…＋ｑ＋１ 接着两式相加会得到一个新的等式，此时就可 以用ｑ‘一 ＋ｑ 一 ≤０１＋口 ，即ｑ 一 ＋ｑ 一 ≤１＋ｑ 一 ，ｉ ＝１，２，３，… 如此一来，就可以通过做差法进行比较，并用分 类讨论的方式确定等式成立的前提条件． １＋ｇ 一 一（ｑ 一。＋ｇ 一‘）＝（１一ｑ‘一 ）＋（ｇ 一 一 ｇ ‘）， 分类讨论，当ｑ＝１时，１＋ｑ ＝ｑ ＋ｑ ‘； 当一１＜ｑ＜１，ｑ≠０时，１一ｑ 一 ＞０，１一ｑ 一‘＞０， 所以１＋ｑ ＞ｑ ＋ｑ ； 当ｑ＞１时，１一ｑ 一 ＜０，１一ｑ 一 ＜０，所以１＋ ｑ 一 ＞ｑ 一 ＋ｑ ～： 综上所述，１＋ｑ ≥ｑ ＋ｇ ，当且仅当ｑ＝１ 或／７，：１，２时等号成立． 从以上例题可以看出，联想方法在解题中既拓 宽了解题的思路，又提高了运算的效率，同时也提高 了我们数学思维能力． ・７９－
