轨迹方程的棵求方法 ■信宜市西江中学数 学 有 数 求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的 课题之一，是用代数方法研究几何问题的基础．这类 题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能 力融于一体，因而也是历届高考考查的重要内容之 一．王位高 分析Ｉ由已知“ｌＭ ｌ＋ｌ 于定长（大于ｌ ｌ＝４”，联想到椭圆 的定义， “平面上到两个定点 ， 的距离的和等 １）的点的轨迹叫椭圆”，可求得动 点Ｍ的轨迹方程． 下面介绍求曲线轨迹方程的常用方法： （１）直接 解析ｉ由椭圆的定义知点Ｍ的轨迹是以 （一ｌ，０）， （１，ｏ）为焦点，长轴长为４的椭圆，设其方程为 ＿＋ ａ－ ＇ 法； （２）定义法； （３）代入法； （４）参数法； （５）交轨法，供同学们在复习解析几何的时候参考． 一、直接法 ｛＝ ＝１（ａ＞ｂ＞Ｏ），贝０ ａ＝２，ｃ＝ｌ，６＝ 一ｃ ＝４—１＝３，故点 ０ 直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系 Ｍ的轨迹方程为莩＋车＝１． ｑ－ ｊ 直接坐标化，列出等式进而化简即得动点轨迹方程 １点评｛利用定义法求解轨迹方程时，必须对基本 曲线的定义十分熟悉，解题时才能得心应手． ｌ例１Ｉ已知两定点Ａ（一￡，０）和Ｂ（ｔ，０）， ＞０，５为 一动点，ＳＡ与船两直线的斜率乘积为了１，求动点Ｓ 的轨迹方程． 三、代入法 代入法又称转移法或相关点法．如果点Ｐ的运动 Ｊ分析Ｉ设动点为Ｓ（ｘ， ），由题意，依照点Ｓ满足的 轨迹或所在曲线已知，而点Ｑ与点Ｐ之间的坐标又 可以建立某种关系，则借助点Ｐ的轨迹可以得到点Ｑ 的轨迹． 条件，可列出等量关系式 直线ＳＢ的斜率 上‘寺＝ ・ Ｉ～解析ｌ 设ｓ（ ，Ｙ），直线刚的斜率Ｋ ＝— 』【 Ｊ、 ≠ ）， （ ≠ｆ）， Ｉ例３ｌ在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线ｙ 上 异于坐标原点０的两不同动点Ａ、Ｂ满足Ａ０上ＢＯ （如下图），求△ＡＯＢ的重心Ｇ（即三角形三条中线 由题意，得 —ｌ—ｆ Ｊ ‘寺 一 （ ≠ ）， 经整理，得等 ＝１（ ≠＋ｆ）． ｝点评Ｉ直接法是求曲线的轨迹方程最常用也是最 基本的方法之一．它的基本步骤是：（１）建系；（２）设点； （３）列式；（４）代换；（５）化简；（６）证明． Ａ Ｌ ｒ ０ 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如 椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可根据定义直接探 求． 的交点）的轨迹方程． 本题可利用代入法求动点Ｇ的轨迹方程， 要求Ｇ的轨迹方程可由重心Ｇ的坐标公式建立轨迹 方程． 设ＡＡＯＢ的重心为Ｇ（ ，ｙ） （ ｙ。），Ｂ（ｘ ， 例２Ｉ在平面直角坐标系中，已知点 （一１，０）， 点 （一１，０），动点 满足条件ｌ Ｉ＋１ＭＦ２ Ｉ＝４，求 动点Ｍ的轨迹方程． １４ Ｙｚ），则 一一 一 １）１＝ ２＿ｋ，．’．ｙ＝ｘ 叫． 又‘．’Ｐ点在Ｙ轴的右侧，．。．ｘ＞０． ‘．。Ａ０上曰０，．‘．ｋ ・ｋｏｓ＝－Ｉ，即 １ ２＋，，ｌ ＝一１…（２） 又‘．‘ｘ＝ｋ，ｋ＞２或ｋ＜０，．‘．ｘ＞２，．’．轨迹ｃ的方程 为ｙ＝ｘ２－ｘ（ｘ＞２）． 又点Ａ，Ｂ在抛物线上，有ｙｌ ，ｙ２＝ｘ ，代入（２）， 化简得ＸＩ￣２：－－１，．・．ｙ＝且 ＝丁１（ ２ 帆 ２）＝ ［（ －慨：） 一 ２ＸｌＸ２１＝丁１×（３ ） ＋ ：３ ２＋ 所以重心为Ｇ的轨迹方 ，｝点评ｌ用参数法求轨迹方程要注意合理选择参数， 作参数的量通常是直线斜率，动点的坐标等． 五、交轨法 若动点是两曲线的交点．可以通过这两曲线的方 程为ｙ＝３ｘＺ＋ ． １点评ｌ对某些较复杂的轨迹方程问题，可先确定 一程直接求出交线的方程，即为所求动点的轨迹方程， 这种求轨迹方程的方法叫做交轨法． 个较易求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动 点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程． ｛例５】已知常数ａ＞０在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４， ＢＣ＝４ａ，０为ＡＢ的中点，点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在ＢＣ、 四、参数法 若动点的坐标（ ，Ｙ）中的 ，Ｙ分别随另一变 ＣＤ、ＤＡ上移动，且器＝ ＝ ，Ｐ为ＧＥ与 ＯＦ的交点（如下图），求点Ｐ的轨迹方程． 量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立 轨迹的参数方程． １例４ｊ已知直线１过点 （１，０），与抛物线 ＝ 交于Ａ、Ｂ两点，０为坐标原点，点Ｐ在 Ｙ轴的右侧 且满足 ＝ ＋ ，求Ｐ点的轨迹Ｃ的方程． Ｊ ｙ ３ｆ２＝２ｒ Ａ ０ 曰 １分析 点Ｐ为直线ＧＥ与ＯＦ的交点，点Ｐ随着直 ｒ ０ Ｍ 数学有数 线ＧＥ与ＯＦ运动而变化，并且有 ＝ ＝ ｝， 故可设参数 ＝器＝ ＝ ｝，并用它表示直线ＧＥ ， ； 与ＤＦ的方程． １分析｛点Ｐ随着Ａ、曰两点的变化而变化，而Ａ、 为抛物线上的动点，点Ｐ与Ａ、 的直接关系不明 显，因此需引人参数（直线ｆ斜率）．先将动点Ｐ的 坐标 、Ｙ用其他相关的量表示出来，然后再消掉这 些量，从而就建立了关于 、Ｙ的关系式． １解析ｉ由题意有Ａ（一２，０），Ｂ（２，０），Ｃ（２，４ａ）， Ｄ（ ４。），设 ＝ ：等＝ ≤ ）， 由此有Ｅ（２，４ａｋ），Ｆ（２—４ｋ，４ａ），Ｇ（－２，４ｎＩ４ ）． 直线ＯＦ的方程为：２ａｘ＋（２ｋ一１）ｙ＝Ｏ， ① １解析Ｉ直线ｚ与 轴垂直时与抛物线交于一点， 不满足题意． 直线ＧＥ的方程为：一ａ（２ｋ一１）ｘ＋ｙ一２ａ＝０． ② 从①②中消去参数ｋ，得点Ｐ（ ，ｙ）满足方程 设直线ｆ的方程为ｙ＝ｋ（ 一１），把ｙ＝ｋ（ｘ－１）代入 抛物线ｘ２＝２ｙ，得ｘ２－２ｋｘ＋２ｋ＝Ｏ． 设两交点为Ａ（ Ｙ ）、Ｂ（ ｙ２）， 则Ｘｌ帆２＝２ｋ， ２＝２ ，△＝４ｋＺ－８ｋ＞Ｏ￣ｋ＞２或ｋ＜０． ２ａ＝ｘ２＋ｙａ－２ａｙ＝Ｏ，整理得午＋ ２ ＝１（ｙ≠０）． 翮用交轨法求动点轨迹方程时，不一定要求 设Ｐ（ ，ｙ），．￣ｌＪ－－ｏＹ＝（ｘ，ｙ），ｏＴ＝（ ，Ｙ．）， －（ ，ｙ２）， 出交点坐标，只要能消掉参数，得出交点的两个坐标 间的关系即可． ．・ ： ＋ ， 责任编校徐国坚 高中２００８年第｛｛粥 １５
