反比例函数对称性研究

万安中学 侯来合 2011/11/1

反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。

【反比例函数中心对称性研究】

中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O成中心对称，点O叫做对称中心。

在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于原点的中心对称点坐标为N（-a,-b）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。

k在反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于原点的

xk中心对称点坐标为N（-a,-b）也一定在反比例函数y=(k≠0)的图象上，由中

xk心对称定义可知，反比例函数y=(k≠0)的图象双曲线关于点O成中心对称，

x对称中心是坐标原点o,

k【例1】已知反比例函数y=(k﹥0)的图象与y=mx 和 y=nx相交与A B C D四

x点，那么四边形ABCD是（ ）

A 梯形 B 平行四边形 C 矩形 D 正方形

k分析：因为反比例函数y=(k﹥0)，y=mx ，y=nx均关于点O成中心对称，所以

x交点A与C ， B与D，关于点O成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四

边形ABCD是平行四边形 故选（B）

【例2】已知：反比例函数y=

k1与直线y=k2x相交与A（-1，m）B(n,3) x求： (1) mn (2) 反比例函数和正比例函数的解析式 解：∵y=

k1与y=k2x均关于原点O中心对称 x∴ A关于原点O中心对称与B

∴m=-3 n=1 ∴mn=-3

∴A(-1,-3) ∴-3=-3=k2x(-1) ∴k1=k2=3

∴两函数的解析式为y=

k1 13和y=3x x【反比例函数轴对称性研究】

现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。 在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于y=x的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x的对称点坐标为H (-b,-a)

证明如下：如图，连接OM ON 并过M做MP⊥Y轴 MQ⊥X轴

在⊿OPM 和 ⊿OQN中

OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO = ∠NQO=900

∴⊿OPM ≌⊿OQN

∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ 又因为Y=X平分∠XOY 所以∠XOR=∠YOR=45度 所以∠MOR=∠NOR

由等腰三角形三线合一性质可知 直线y=x垂直平分MN

所以点M 点N关于直线y=x

对称

同理可证M与S关于直线Y=-X对称

k在反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于y=x

xk对称点坐标为N（b,a）也一定在反比例函数y=(k≠0)的图象上，由 轴 对称

xk定义可知，反比例函数y=(k≠0)的图象双曲线关于y=X轴对称，同理可证

xk反比例函数y=(k≠0)的图象双曲线关于y=-X轴对称，

x【拓展训练】

k如图，直线y=-x+b与反比例函数y=(k≠0)相交与M（m,3）N(n,-1)

x，直线y=-x+b与Y轴, X轴相交与A B两点 ，点C（b,b）在第一象限

（1） 直接写出m和n的值

k（2）求直线y=-x+b与反比例函数y=的解析式

x（3）求⊿MON的面积

（4）直接写出x为何值时反比例函数值大于一次函数值

（5）四边形OACB是（ ）A 平行四边形 B矩形 C 菱形 D正方形