均值不等式高考一轮复习教师总结含历年高考真题

一、单变量局部

1、 求yx1x(x0)最小值及对应的x值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求yx1x(x0)最大值-2

3、（添系数）求yx(13x)x(0,113)最大值12

4、（添项）求yx4x2(x2)最小值6

5、（添根号）2x0求yx4x2最大值2 6、（取倒数或除分子）求yxx21(x0)最大值12 7、（换元法）求yx23x1x(x1)最大值-9 8、（换元法）求yx22x5(x2)最大值24

二、多变量局部

1、（凑系数或消元法）已知

14a0，b>0且4a+b=1求ab最大值1162、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求

4x9y最小值25 3、（放缩法）已知正数a，b满意ab=a+b+3则求ab范围[9,) 三、均值+解不等式

1. 若正数a,b满意ab=a+2b+6则ab的取值范围是

______[18,)_________

2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y的最小值__________4__________ 练习

1. 已知x>0，y>0，且

2x8y1则xy的最小值______________ 42.

yk31k2(k0)最小值_________2_________ 3. 设a0，b0，a2b221，则a1b2的最大值为_________

324_________ 4. 已知x54，求函数y4x214x5的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且

1x9y1求x+y的最小值______16__________ 6. 已知

2x3y2(x0,y0)则xy的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则y14ab的最小值______92________ 8. 已知x,yR且满意x3y41则xy的最大值________3_______

11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则xzy2=_____________D_______ A、最小值8 B、最大值8

C、最小值18 D、最大值18

注:消y

12、设x,yR则x21y2(1x24y2)的最小值是_______9_________ 13、若a,bR,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）

A、a2b22ab B、ab2ab

C、

112abab D、

baab2 14、若a,b,c,d,x,y是正实数，且Pabcd，Qaxcybdxy则有（C）

A、P=Q B、PQ C、PQ D、P>Q

15、已知x5x24x52则f(x)2x4有（D）

A、有最大值

554 B、有最小值4 C、最大值1 D、最小值1

16、建立一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x)(0x1)的最大值为

98 18、函数f(x)xx1的最大值是（C） A、25 B、12 C、22 D、1

19、已知正数x,y满意1x4y1则xy有（C）

A、最小值

116 B、最大值16 C、最小值16 D、最大值116

20、若-4A、-3 B、-2 C、-1 D、0

21、若2x2y1，则x+y的取值范围是（D） A、[0,2] B、[-2,0] C、[2,) D、(,2]

22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0t30)的关系大致满意f(t)t210t16则该商场前t天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P（x,y）在直线x+3y-2=0上，那么代数式3x27y的最小值是6

进步篇

一、函数与均值 x221、ma11a2(a2),n2(x0)则m,n之间关系

_____mn______________

2、 设x0,P2x2x,Q(sinxcosx)2则（ C） A、PQ B、PQ C、P>Q D、P3、已知函数fx1a2x若fx2x0在0,上恒成立，则a的取值范围是__(,0)[14,)_

4、若对随意x>0,xx23x1a恒成立，则a的取值范围是

_______a15____________

5、函数ylog2xlogx2x的值域

_______(,1][3,)___________ 6、设a,b,c都是正实数，且a,b满意

19ab1则使abc恒成立的c的取值范围是_D__

A、(0,8] B、（0,10] C(0,12] D、（0,16] 7、已知函数fx1loga(x1)(a0,a1)的图象恒过定点P，又点P

的坐标满意方程mx+ny=1,则mn的最大值为_________18_____________ 28、已知函数fxx2xax(x0,)

⑴当a1

2

时，求f(x)的最小值答案：22

⑵若对随意x(0,)，f(x)>6恒成立，求正实数a的取值范围___a>4__ 9、x24(1k)x0对x[1,3]恒成立，求k的范围 10、若a+b=2则3a3b的最小值为______6___________

11、设x,y,z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lgzlg4lgxzlgy的最小值为A A、

98 B、94 C、92 D、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则lgalgb的最大值为（B）

A、6 B、9 C、12 D、18

13、x,yR且x+y=5,则3x3y的最小值为（D） A、10 B、63 C、46 D、183

14、设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项，则

1a1

b

的最小值为（B） A、8 B、4 C、1 D、14 15、函数ya1x(a0,a1)的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny-1=0

（mn>0）上，则

1m1n的最小值为4 16、当x>1时，不等式x1x1a恒成立，则实数a的取值范围是（D）

A、(,2] B、[2,) C、[3,) D 、(,3]

17、函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直

线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则2m1n的最小值为（D） A、22 B、4 C、52 D、92 二、数列与均值

1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则（ab）2cd的

最小值是__4_

2、已知等比数列{an}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是 。

3、设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1b1，a21b21，则（D）

A、a11b11 B、a11b11 C、a11b11 D、a11b11

4、已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则(ab)2cd的最

小值是（D）

A、0 B、1 C、2 D、4

三、向量与均值

1、给定两个长度为1的平面对量OA和OB，它们的夹角为120。如图所⌒示，点C在以O为圆心的圆弧 A B 上变动。若OCxOAyOB其中x,yR，则x+y最大值是_2___

B C

OA

提示：取模,见模就平方

2、若a(x,1)，b(2,3x)(x<0)那么

ab22的最小值是

ab________-24________ a(x1,2)3、，b(4,y)（x,y是正数）若ab则xy的最大值是（A） A、

12 B、12 C、1 D、-1 四、解析几何与均值

1. 点(a,b)为第一象限点，且在圆

（x1）2(y1)28上，则ab最大值是_____1________

2. 直线ax+by+1=0,(a>0,b>0)平分圆x2y28x2y10，则

14ab

的最小值为___16__

3、已知a,b为正数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为________25________ 提示：变分式，乘“1”法

4、若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆x2y22x4y10的圆心，则ab最大值是____

14___ 5、（上海高考）已知直线l过点P（2,1）且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的最小值为4

6、（08海南）已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：

x2y28x4y160

⑴求直线斜率范围[12,12] ⑵直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

12的两段圆弧，为什么？不能 7、已知在ABC中，ACB90，BC=3，AC=4,P是AB上的点，则点P到AC，BC的间隔 最大值为_____3

8、已知直线l过点P（2,1），且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求三角形OAB面积最小值4

9、把长为12cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形面积之和最小值为（D）

A、

233cm2 B 、4cm2 C、32cm2 D、23cm2 10、若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2y22x4y10截得弦长为4，则

1a1

b

的最小值为（D） A、

14 B、12 C、2 D、4 五、三角与均值

1、已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c且

acosBbcosA3c2sinC，c=2,角C为锐角，则ABC周长的取值范围

是(4,6]

2、在ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S，且

3CACB2S

⑴求角C的大小3 ⑵若c3求a+b的取值范围(3,23]

3、在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c已知

cosC(cosA3sinA)cosB0

⑴求角B的大小

3 ⑵若a+c=1,求b的取值范围 12b1

4、【2015高考山东，理16】设fxsinxcosxcos2x4. （Ⅰ）求fx的单调区间；

（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

fA20,a1,求ABC面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是4k,4kkZ；

单调递减区间是4k,34kkZ

（II）ABC 面积的最大值为234 5、已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)m(mR)，将yf(x)的图像向左平移

4个单位后得到yg(x)的图像，且yg(x)在区间0,4内的最大值为2.

（1）务实数m的值；

（2）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若g(34B)1，且a+c=2,

求ABC的周长l的取值范围。[3,4)

6、（14新课标1理数）16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为

3 .

7、（2016山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2(tanAtanB)tanAcosBtanBcosA.（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12

8、（13全国新课标）ABC在内角A，B，C对边分别为a,b,c，已知a=bcosC+csinB

(I) 求B 4

(II) 若b=2，求ABC面积最大值 21

注：均值不等式求最值

9、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若BC23，a2，则b2c2的取值范围是（ D） A.（3,6）

B.（3,6]

C.(2,4)

D.(2,4]

、当0x2时，函数f(x)1cos2x8sin210xsin2x的最小值为 4 均值不等式+余弦定理

11、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

3bcosC3ccosBa，

则tan(BC)的最大值为

24 . 12、已知ABC的三边长a,b,c成等比数列，边长a,b,c所对的角依次为A，B，

C则sinB 范围

（0，32] 注：余弦找关系，均值求最值

13、已知ABC，若sinB,sinA,sinC成等差数列，则sinA的取值范围是

0，32]

注：余弦找关系，均值求最值

14、在△ABC中，已知B＝π

3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，

则△ADC的周长的最大值为____843____．

（