2006年全国初中数学竞赛山东赛区预赛

一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内.

1．化简(x3y42xxy4xyx)8xxy22得 （ ）

3xy43xy4A.B.x3y4C.D.

53x2x11x22．满足不等式组3的所有整数的个数为 ( ) xx1335 A.1 B.2 C.21 D.22

3．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是 （ ）

A.52 B.54 C.56 D.58 4．由一元二次方程x2 + px + q = 0的两个根为p、q，则p、q等于 （ ） A.0 B.1 C.1或-2 D.0或1 5．如图，△ABC中，∠B=40，AC的垂直平分线交AC于D， 交BC于E,且∠EAB∶∠CAE = 3∶1，则∠C等于 ( )

0

0

0

AD A.28 B.25

C C.22.50 D.200 BE6．全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小

组，90%的学生参加数学小组，则四个小组去参加的学生至少占全班的百分比是 （ ）

A.10% B.15% C.20% D.25%

7．有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为 （ ）

A.30升 B.40升 C.50升 D.60升 8．三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角 形 ( )

A．一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是直角三角形 D.与原三角形相似

二、填空题（本提供4小题，每小题8分，满分32分）： 将答案直接填在对应题中的横线上.

9．如图，在△ABC中，AB = AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别 交AD,AC于E,F.若

EFBEabGEBE，那么等于 .

10.方程||x - 3| + 3x|=1的解是 . 11．AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若BC = a,CA = b,AB = c,则AD+ BE+ CF

2 2 2

= . 12．有两个二位数，它们的差是58，它们的平方数的末两位数相同，则这个二位数是 .

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分） 13．△ABC中，AB = 1,AC = 2,D是BC中点,AE平分 ∠BAC交BC于E,且DF∥AE.求CF的长.

14．某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？

15．把数字1，2，3，…，9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数位之和等于18. Ⅰ给出符合要求的填法；

Ⅱ共有多少种不同填法？证明你的结论.

参

一、选择题 DCBCA CBA 二、填空题 9．EFBEAFABabEFabBE

GFBFCF GFGEBEAFbaaABAFAFAB(BEEF)AFba1baaababbabaa22a(ba)(ba)abBE(BEBEBE)BEb2BE

GFEFBE342baaabba 10.-2或-1 11.

三、解答题

(abc) 12. 79和21

2213．解：分别过E作EH⊥AB于H，EG⊥AC于G,因AE平分∠BAC,所以有EH = EG 从而有

BECESABESAECCFCAABACCDCE3412

又由DF∥AE,得 1BC2CE341BEEC232CE1BE113(1)(1) 2CE224 所以CF = CA = 2 =

14.解：设甲队有x人，则乙队有[2(x-70)-70]人，即乙队有(2x-210)人

设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则 3(2x – 210 - y) = x + y, 即 x = 126 +

45y

由y > 0知y至少为5，即x = 126 + 4 = 130. 所以甲队至少有130人.

15.解：Ⅰ右图给出了一个符合要求的填法； Ⅱ共有6种不同填法 把填入A,B,C三处圈内的三个数之和记为x；D,E,F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z.显然有x + y + z = 1+2+…+9=45 ①

图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有

z + 3y + 2x = 6×18 = 108 ② ②-①,得

x + 2y = 108 – 45 = 63 ③ 把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得

2x + y = 3×18 = 54 ④

B 5 E 9 2 7 F A 4 1 3 8 D 6 联立③，④，解得 x = 15，y = 24，继而之z = 6.

在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D,E,F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的填法.