2006年全国初中数学竞赛山东赛区预赛

（2005年12月4日上午8∶30—11∶00）

一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只

有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1．化简(A.2xxy4xyx)8xx2y2得 （ ）

C.3xyD.3xyx3y444453x2x11x2的所有整数的个数为 ( ) 2．满足不等式组3xx1335B.x3y

A.1 B.2 C.21 D.22

3．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是 （ ） A.52 B.54 C.56 D.58

4．由一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p、q等于 （ ）

A.0 B.1 C.1或-2 D.0或1

5．如图，△ABC中，∠B=400，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于 （ ） A. 280

A B. 250

D

C.22.50 B C

0E D.20

6．全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理

小组，90%的学生参加数学小组，则四个小组去参加的学生至少占全班的百分比是

（ ）

A.10% B.15% C.20% D.25%

7．有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为 （ ） A.30升 B.40升 C.50升 D.60升

8．三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形 （ ） A. 一定是锐角三角形 A B1C1B. 一定是钝角三角形

B

C. 一定是直角三角形

C

D. 与原三角形相似 A1

1

二、填空题（本提供4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填在对应题中的

横线上

A 9．如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别 交AD,AC于E,F.若

EFBEab，那么

GEBEG

等于 .

F E 10. 方程||x-3|+3x|=1的解是 . 11．AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若BC=a,CA=b,AB=c, B C D 222

则AD+BE+CF= . 12．有两个二位数，它们的差是58，它们的平方数的末两位数相同，则这个二位数

是 .

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．△ABC中，AB=1,AC=2,D是BC中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE.求

CF的长. AF

CBDE

14．某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑

公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？

2

15．把数字1，2，3，…，9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF

的每条边上三个圈内数位之和等于18. Ⅰ给出符合要求的填法

Ⅱ共有多少种不同填法？证明你的结论

A

E D

B C F

3

参

一、选择题 DCBCA CBA 二、填空题 9．BE

BEABbbGFCFABAFABba1BFAFAFAFababaababa(BEEF)(BEBE)BE GFaabab(ba)(ba)aBEBEGEGFEFb2a2a2babbBEBEBEaba310.-2或-1 11.(a2b2c2) 12.79和21

4EFAFaEFa三、解答题

13．解：分别过E作EH⊥AB于H，EG⊥AC于G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG

从而有

BECESABESAECCFCAABACCDCE12

1BEEC2CE1BE113(1)(1) 2CE224又由DF∥AE,得

341BC2CE 所以CF=CA=2=

423314.解：设甲队有x人，则乙队有[2(x-70)-70]人，即乙队有(2x-210)人

设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则 3(2x-210-y)=x+y, 即 x=126+y

54 由y>0知y至少为5，即x=126+4=130.所以甲队至少有130人. 15.解：

Ⅰ右图给出了一个符合要求的填法；

A Ⅱ共有6种不同填法

4 把填入A,B,C三处圈内的三个数之和记 为x；D,E,F三处圈内的三个数之和记为y；其余 三个圈所填的数位之和为z.显然

E 9 D 有x+y+z=1+2+…+9=45 ① 1 8 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和 为18，所以有 2 3 z+3y+2x=6×18=108 ② ②-①,得 7 6 B 5 X+2y=108-45=63 ③ C F 把AB,BC,CA每一边上三个圈中的数的和 相加，则可得

4

2x+y=3×18=54 ④

联立③，④，解得 x=15，y=24，继而之z=6.

在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D,E,F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的填法

5