(常考题)北师大版初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题

1．如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在BC边上，BD=

1DC，2∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=30，则阴影部分的面积为（ ）

A．5 B．10 C．15 D．20

2．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中ABCD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）

A．ACBADB C．ACAD DE的长是（ ）

B．ABBD D．CABDAB

3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则

A．1.5 B．2

C．22 D．10

4．下列说法正确的是（ ） A．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等

B．形状相同的两个三角形全等 D．所有的等边三角形都是全等三角形

5．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为( )

A．50° C．70° A．13cm

B．6cm

B．65° D．80° C．5cm

D．4cm

6．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） 7．如图，CDAB，BEAC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O，

12，则图中全等三角形共有（ ）

A．2对 A．3、1、4 A．2cm，3cm，4cm C．1cm，2cm，3cm （ ）

B．3对 B．3、5、9

C．4对 C．5、6、7 B．1cm，4cm，2cm D．6cm，2cm，3cm

D．5对 D．3、6、10

8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） 9．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）

10．如图，ABDE，AD，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是

A．AB//DE B．AC//DF C．ACDE D．ACDF

11．如图，ADBC,垂足为D,BFAC，垂足为F,AD与BF交于点

E,ADBD5,DC2，则AE的长为（ ）

A．2 B．5 C．3 D．7

12．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（ ）

B．3对

C．4对

D．5对

A．2对

二、填空题

13．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．

14．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的A,B两处，用仪器探测生命迹象C，已知探测线与地面的夹角分别是30和60（如图)，则C的度数是_________．

15．有两根小棒分别长2厘米和4厘米．要围成一个等腰三角形，第三根小棒的长度应该是____厘米．

16．己知三角形的三边长分别为2，x﹣1，3，则三角形周长y的取值范围是__． 17．如图，在线段AB两侧作ABC和△ABD，使ACAB，ABCABD，E为BC边上一点，满足2EADBAC，P为直线AE上的动点，连接BP、DP．已知AB3，AD2.6，BDE的周长为3.6，则BPDP的最小值为______．

18．如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．

19．如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．

20．如图，点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点，DE∥OB，交OA于点E，若∠AED＝50°，则∠1＝_____°．

三、解答题

21．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．

22．（1）如图1，已知OAB中，OAOB，AOB90，直线l经过点O，BC⊥直线l，AD 直线l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB中，OAOB，C，O，D三点都在直线l上，并且有BCOODABOA，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在ABC中，ABAC，CAB90，点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为3,2，请直接写出点B的坐标．

23．如图1，在长方形ABCD中，ABCD6cm，BC10cm，点P从点B出发，以

2cm/s的速度沿BC向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为ts．

（1）PC_____________cm．（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，ABP≌DCP？

（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，P,Q两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

24．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明． （1）____________； （2）____________．

25．如图，RtABC与Rt△DEF的顶点A，F，C，D共线，AB与EF交于点G，BC与DE相交于点H，BE90，AFCD，ABDE．

（1）求证：RtABC≌RtDEF； （2）若GF1，求线段HC的长．

26．如图，已知在ABC中，ABAC，BAC90，别过B、C两点向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．求证：EFBECF．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案． 【详解】

∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF， ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

ABECAFABAC在△ABE和△CAF中，， BAEFCA∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴S△ABE=S△ACF，

∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD， ∵S△ABC=30，BD=

1DC， 2∴S△ACD=20， 故选：D． 【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

2．B

解析：B 【分析】

根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断． 【详解】

解：∵ABCD， ∴∠ABC=∠ABD=90°， ∵AB=AB，

∴若添加ACBADB，可借助AAS证明△ABC≌△ABD，A选项不符合题意； 若添加ABBD，无法证明△ABC≌△ABD，B选项符合题意； 若添加ACAD，可借助HL证明△ABC≌△ABD，C选项不符合题意； 若添加CABDAB，可借助ASA证明△ABC≌△ABD，D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．

3．B

解析：B 【分析】

∆ADC，就可以得出BE=DC，进而根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90，进而得出∆CEB≅求出DE的值． 【详解】

∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90， ∴∠EBC+∠BCE=90， ∵∠BCE+∠ACD=90， ∴∠EBC=∠DCA，

在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC， ∴∆CEB≅∆ADC(AAS)， ∴BE=DC=1，CE=AD=3， ∴DE=EC-CD=3-1=2， 故选：B． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．

4．C

解析：C 【分析】

性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定答． 【详解】

A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形； B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等； C、两个全等图形面积一定相等，故正确；

D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形； 故选：C． 【点睛】

此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．

5．A

解析：A 【分析】

根据题意可证明ABEACD，即得到BC．再利用三角形外角的性质，可求出

DME，继而求出BMD． 【详解】

根据题意ABEACD（SAS）， ∴BC30

∵DMEBBDC，BDCCA ∴DMEBAC307030130 ∴BMD180DME18013050 故选A． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出

DMEBAC是解答本题的关键．

6．B

解析：B 【分析】

利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】

解：第三边长x的范围是：83x83，即5cmx11cm， 故选：B． 【点睛】

本题考查三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

7．C

解析：C 【分析】

共有四对．分别为ADO≌【详解】

解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°， 又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴

ADO≌

AEO；（AAS）

∴OD＝OE，AD＝AE，

∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE， ∴

BOD≌

COE；（ASA）

∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，

∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90° ∴

ADC≌

AEB；（ASA）

∵AD＝AE，BD＝CE， ∴AB＝AC，

∵OB＝OC，AO＝AO， ∴

ABO≌

ACO．（SSS）

所以共有四对全等三角形． 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

AEO，ADC≌

AEB，ABO≌

ACO，BOD≌

COE．做题

时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

8．C

解析：C 【分析】

根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】

A、1+3=4，不能组成三角形； B、3+5=8＜9，不能组成三角形； C、5+6=11＞7，能够组成三角形； D、3+6=9<10，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】

本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．

9．A

解析：A 【分析】

根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可． 【详解】

A、2+3＞4，能围成三角形； B、1+2＜4，所以不能围成三角形； C、1+2=3，不能围成三角形； D、2+3＜6，所以不能围成三角形； 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

10．C

解析：C 【分析】

直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可； 【详解】

A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；

B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意； D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】

本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；

11．C

解析：C 【分析】

先证明△ACD≌△BED，得到CD=ED=2，即可求出AE的长度． 【详解】

解：∵ADBC，BFAC， ∴AFEBDEADC90， ∵AEFBED， ∴EAFEBD， ∵ADBD5， ∴△ACD≌△BED，

∴CD=ED=2，

∴AEADED523； 故选：C． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．

12．C

解析：C 【分析】

认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找． 【详解】

AD平分BAC， BADCAD，

解：

在ABD与ACD中，

ABACBADCAD， ADADABDACD(SAS)，

BDCD，BC，ADBADC，

又EDBFDC，

ADEADF，

AEDAFD，BDECDF，ABFACE．

AEDAFD，ABDACD，BDECDF，ABFACE，共4对．

故选：C． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键．

二、填空题

13．2【分析】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可因为BC=3BE点D是AC的中点且S△ABC=12就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE

解析：2 【分析】

S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积． 【详解】

解：∵点D是AC的中点， ∴AD=

1AC， 211S△ABC=×12=6． 22∵S△ABC=12， ∴S△ABD=

∵BC=3BE， ∴S△ABE=

11S△ABC=×12=4， 33∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF， 即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2， 故答案为：2． 【点睛】

本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．

14．【分析】先由题意得CAB=30°∠ABD=60°再由三角形的外角性质即可得出答案【详解】解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°∴∠CAB=30°∠ABD=60°∵∠ABD=∠CAB+∠C∴∠C=6 解析：30

【分析】

先由题意得CAB=30°，∠ABD=60°，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】

解：∵探测线与地面的夹角为30°和60°， ∴∠CAB=30°，∠ABD=60°， ∵∠ABD=∠CAB+∠C， ∴∠C=60°-30°=30°， 故答案为：30°．

【点睛】

本题考查了三角形的外角的性质，对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，比较简单．

15．4【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边即可得出结果【详解】解：∵要围成一个等腰三角形∴有两种可能：224和2442+2=4所以224舍掉∴第三根小棒的长度

解析：4

【分析】

根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出结果． 【详解】

解：∵要围成一个等腰三角形， ∴有两种可能：2、2、4和2、4、4， 2+2=4，所以2、2、4舍掉， ∴第三根小棒的长度为4， 故答案为：4 【点睛】

本题主要考查的三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．

16．6＜y＜10【详解】根据三角形的三边关系得3-2＜x-1＜2+3解得：1解析：6＜y＜10 【详解】

根据三角形的三边关系，得 3-2＜x-1＜2+3， 解得：1所以三角形周长y的取值范围：1+2+3＜y＜2+3+5， 即6＜y＜10， 故答案为6＜y＜10． 【点睛】

本题考查三角形三边的关系，解决此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

17．8【分析】在BC上取CD′=BD连接AD′证明△ACD′≌△ABD得到

AD′=AD∠CAD′=∠BAD从而证明△AED′≌△AED得到D′E=DE∠AED′=∠AED过A作AF⊥BCAF与BC交于点

解析：8 【分析】

在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明△ACD′≌△ABD，得到AD′=AD，∠CAD′=∠BAD，从而证明△AED′≌△AED，得到D′E=DE，∠AED′=∠AED，过A作AF⊥BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可． 【详解】

解：在BC上取CD′=BD，连接AD′， ∵AC=AB， ∴∠C=∠ABC，

∵∠ABC=∠ABD，

∴∠C=∠ABD，又CD′=BD，AC=AB， ∴△ACD′≌△ABD（SAS）， ∴AD′=AD，∠CAD′=∠BAD， ∴∠DAD′=∠BAC， ∵2∠EAD=∠BAC=∠DAD′， ∴∠D′AE=∠DAE， 又AD′=AD，AE=AE， ∴△AED′≌△AED（SAS）， ∴D′E=DE，∠AED′=∠AED， ∴D′在直线BD上，

过A作AF⊥BC，AF与BC交于点F，

∵CD′=BD，D′E=DE，

∴CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，

∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，

∵△ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF⊥BC，AD′=AD=2.6， ∴F为BC中点，即CF=BF=∴AF=∴D′F=11BC=×3.6=1.8， 22AC2CF2321.822.4， AD2AF22.622.421，

∴BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8， ∴BP+DP的最小值为2.8， 故答案为：2.8． 【点睛】

本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．

18．180°【详解】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°故答案为：180°

解析：180° 【详解】 解：∵AB∥CD

∴∠1=∠EFD ∵∠2+∠EFC=∠3 ∠EFD=180°-∠EFC ∴∠1+∠3—∠2=180° 故答案为：180°

19．30【分析】本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC的关系继而将已知代入求解∠BOD【详解】∵OA⊥OB∴∠AOB＝90°即∠AOD+BOD＝90°；∵OD平分∠AOC∴∠AOD＝

解析：30 【分析】

本题首先利用垂直性质以及角分线性质求证2∠BOD与∠BOC的关系，继而将已知代入求解∠BOD． 【详解】 ∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°，即∠AOD+BOD＝90°； ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠DOC， 即∠BOD+∠BOC+BOD＝90°， 即2∠BOD+∠BOC＝90° ∵∠BOC＝30°， ∴∠BOD＝30°． 故答案为：30． 【点睛】

本题考查垂直以及角分线的性质，解题关键在于角的互换，其次注意计算仔细即可．

20．25【分析】直接利用平行线的性质得出∠AED=∠AOB=50°再结合角平分线的定义得出答案【详解】解：∵DE∥OB∴∠AED＝∠AOB＝50°∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点∴∠1＝∠AOC

解析：25 【分析】

直接利用平行线的性质得出∠AED=∠AOB=50°，再结合角平分线的定义得出答案． 【详解】 解：∵DE∥OB， ∴∠AED＝∠AOB＝50°，

∵点D是∠AOB的平分线OC上的任意一点， ∴∠1＝∠AOC＝故答案为：25． 【点睛】

本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义

1×50°＝25°． 2求得∠EOD=∠1的度数是解题的关键．

三、解答题

21．CD＝BE，CD⊥BE，证明见解析 【分析】

证明△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，根据三角形内角和定理得出∠BFD＝∠BAD＝90°，证明结论． 【详解】

解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE， 理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC， ∴∠DAB＝∠EAC＝90°．

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB， 在△ACD和△AEB中，

ADABCADEAB， ACAE∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE， ∵∠AGD＝∠FGB，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE． 【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22．（1）补全如图所示见解析；CDBCAD；（2）成立，证明见解析；（3）点B的坐标为1,2． 【分析】

（1）依题意补全图，易证△AOD≌△OBC，则有AD=CO，OD=BC，从而可得

CDBCAD；

（2）利用三角形内角和易证23，再证明BCO≌ODA，同（1）即可证明结论；

（3）过B、C两点作y轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B坐标． 【详解】

（1）补全图1如图所示，CDBCAD；

证明：∵AOB90，BC⊥直线l，AD 直线l， ∴∠BCO=∠ODA=90°， ∴∠BOC+∠OBC=90°， 又∵AOB90， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∴∠OBC=∠AOD， 在△AOD和△OBC中

BCOODAOBCAOD， BOAO∴△AOD≌△OBC（AAS） ∴AD=CO，OD=BC， ∵CDODCO， ∴CDBCAD． （2）成立． 证明：如图，

∵12180BOA，13180BOA，BOABCO ∴

23

在BCO和ODA中

32BCOODA BOOA∴

BCO≌ODA（AAS）

∴BCOD，COAD ∴CDCOODADBC

（3）点B的坐标为1,2．

过程如下：过B、C两点作y轴垂线，垂足分别为M、N，

同理（1）可得，CN=AM，AN=MB， ∵点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为3,2， ∴CN=AM=3，ON=2，OA=1, ∴MB=AN=ON-OA=1，OM=AM-OA=2， ∵点B在第四象限， ∴点B坐标为：1,2． 【点睛】

主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．

23．（1）102t；（2）t2.5；（3）存在，v=2.4或2，理由见解析． 【分析】

（1）由路程=速度时间，解得BP（3）分两种情况讨论，当BP2t，再由PCBCBP即可解题；

（2）由全等三角形对应边相等的性质得BPPC，即2t102t，据此解题；

CQ,ABPC时或当BACQ,PBPC时，△ABP与△PQC全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出t的值即可解得v的值． 【详解】

解：（1）由题意得，BPPCBCBP2t， 102t，

故答案为：102t； （2）若ABP≌DCP 则BPPC

2t即4t102t 10

t2.5

当t2.5时，ABP≌DCP； （3）存在，理由如下：

当BPCQ,ABPC时，ABPPCQ

AB6

PC6

BP1064

2t4

t2 CQBP4

2v4 v2；

当BACQ,PBPBPC

BPPCPC时，ABPQCP

1BC5 22t5

t2.5

CQ2.5vvBP6 2.4

6

综上所述，当v=2.4或2时，△ABP与△PQC全等． 【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

24．（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析． 【分析】

（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；

（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF． 【详解】

（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下： ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∴∠ADE=∠ADF；

（2）结论2：AE=AF，证明如下： 由（1）可知：△AED≌△AFD， ∴AE=AF． 【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．

25．（1）见详解；（2）1 【分析】

（1）先证明AC=DF，再根据HL证明RtABC≌RtDEF； ∆DCH，进而即可求解． （2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅【详解】

（1）∵AFCD， ∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF， 在RtABC与Rt△DEF中，

ACDF∵，

ABDE∴RtABC≅Rt△DEF（HL）；

（2）∵RtABC≅Rt△DEF， ∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，

∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA， ∴∠AFG=∠DCH， 又∵AFCD， ∴∆AFG≅∆DCH， ∴HC=GF =1． 【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键． 26．见解析 【分析】

证明△BEA≌△AFC，得到AE=CF，BE=AF，即可得到结论． 【详解】 证明：

BEEA，CFAF，

BACBEAAFC90，

EABCAF90，EBAEAB90， CAFEBA，

在△ABE和△AFC中， BEAAFCEBACAF， ABAC△BEA≌△AFC(AAS)．

∴AE=CF，BEAF．

EFAFAEBECF．

．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．