基于主成分分析法及系统聚类分析法的四川省各县市经济发展水平综合评价

1 问题提出

经济是指一个国家国民经济的总称.区域经济是在一定区域内经济发展的内部因素与外部条件相互影响而形成的综合性的经济概念，它受到该区域的自然条件、资源开发和利用状况、社会经济条件以及经济等各种因素的制约和影响.经济发展为一个国家摆脱贫困落后状态，走向经济和社会生活现代化的过程.区域经济发展不仅意味着该区域国民经济规模的扩大，更意味着经济和社会生活素质的提高.我们要提高某地方人们的生活水平，要更好更快地发展某个地方，就必须充分了解这个地方现有的经济发展状况.因此，现有经济发展状况的研究对将来的发展有着非常重要的指导意义.

四川简称“川”、“蜀”；1952年9月1日正式成立；政治、经济、文化中心—成都.四川历史悠久、风光秀丽、物产丰富，享有“天府之国”美誉，现系“西部综合交通枢纽”、“西部经济发展高地”.四川各个县市的经济发展差异大,如何全面、系统、定量地分析评价四川各县市经济发展水平，本文将运用多元统计学中的主成分分析方法和系统聚类分析法对这一问题进行具体分析.

本文通过建立四川省各县市经济发展水平评价指标体系，运用统计软件SPSS进行主成分分析及系统聚类分析，对四川省21个县市的经济发展水平进行了综合排序，而后对结果进行了分析,并提出了相应的建议.

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四川省各县市经济发展水平综合评价

2 模型的建立

2.1 主成分分析知识：

简介：主成分分析的数学模型是：设n个变量构成的n维随机向量为X=（X1，X2，„，Xn）‘.对X作正交变换，令Y=T’X，其中T为正交阵，要求Y的各分量是不相关的，并且Y的第一个分量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，„„为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差和相等.

原理：设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上处理降维的一种方法.

基本思想：主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标.最经典的做法就是用F（选1取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即VarF1越大，表示F1包含的信息越多.因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分.如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求CovF1,F20，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，„„，第P个主成分.

步骤：FPa1iZX1a2iZX2apiZXP

其中a1i, a2i, „„,api(i=1,„„,m)为X的协方差阵Σ的特征值所对应的特征向量，ZX1,ZX2,ZXp是原始变量经过标准化处理的值，因为在实际应用中，往往存在指标的量纲不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，而将原始数据标准化，本文所采用的数据就存在量纲影响[注：本文指的数据标准化

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是指Z标准化.

Aaijpm，Raiiai，R为相关系数矩阵，i,ai是相应的特征值和单位特征向量,12p0.

进行主成分分析主要步骤如下：

1. 指标数据标准化（SPSS软件自动执行）； 2. 指标之间的相关性判定； 3. 确定主成分个数m； 4. 主成分Fi表达式； 5. 主成分Fi命名；

2.2 系统聚类分析法

系统聚类分析法是一门多元统计分类法，根据多种要素对目标实体进行划分类别的方法.对不同的要素划分类别往往反映不同目标的等级序列.

系统聚类的步骤一般是首先根据一批数据或指标找出能度量这些数据或指标之间相似程度的统计量；然后以统计量作为划分类型的依据，把一些相似程度大的站点（或样品）首先聚合为一类，而把另一些相似程度较小的站点（或样品）聚合为另一类，直到所有的站点（或样品）都聚合完毕，最后根据各类之间的亲疏关系，逐步画成一张完整的分类系统图，又称谱系图.其相似程度由距离或者相似系数定义.进行类别合并的准则是使得类间差异最大，而类内差异最小.

特点：事先无须知道分类对象的分类结构，而只需要一批地数据；然后选好分类统计量，并按一定的方法步骤进行计算；最后便能自然地、客观地得到一张完整的分类系统图.

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3 数据来源

通过查阅2011四川省统计年鉴，我们从中筛选出与综合经济能力相关的十个数据，如下： X1、X2、X3——第一产业、第二产业、第三产业生产总值(亿元)， X4——社会消费品零售总额(亿元)，X5——全社会固定资产投资(亿元)，X6——进出口总额(亿美元)，X7——地方财政收入(亿元)，X8——地方财政支出(亿元)，X9——城镇居民人均可支配收入(元)，X10--农村居民人均收入(元)（数据如表3—1所示）.

地区 成都市自贡市 攀枝花市 泸州市 德阳市 绵阳市 广元市 遂宁市 内江市 乐山市 南充市 眉山市 宜宾市 广安市 达州市 雅安市 巴中市 资阳市

阿坝藏族羌族自治州 甘孜藏族自治州 凉山彝族自治州

表3-1 四川省21个县市的10项指标

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 526.9408

21.836 38.7841 47.5888 45.7976 45.2057 16.7267 17.7685 20.3856 45.7695 32.25 24.6863 55.65 21.2785 30.5924 15.6522 7.816 24.4679 16.6682 16.3047 62.6923

X8 777.3767

81.1614 75.07 126.538 224.4206 345.322 221.3188 88.8467 92.4757 118.5123 185.6129 96.5266 143.3154 97.5438 150.2741 77.4922 103.0304 101.1007 203.828 131.9779 190.6966

X9 X10

285.09 2480.90 2785.34 3638.7904

84.68 370.84 192.21 7.847272 21.49 386.63 115.87 134.9479 108.81 403.71 202.27 123.2308 152.39

532.72 236.16 24.341771

4255.37 246.7759

320.09 330.70 460.40 601.26 820.97 480.15 495.40 350.93 510.05 656.66 420.26 534.21 383.42 601.32 370.67 252.70 401.13 362.41 211.11 660.51

5.4138 2.53 1.3325 22.3195 15.9752 2.0729 2.815 1.6845 9.763 3.0867 0.9985 6.5275 2.9275 0.707 0.1333 0.4863 1.5669 0.1475 0.1305 0.3793

19920 8205.0

14538 5762.2 16882 6292.5 15505 5388.5 16202

85.8

166.49 468.27 325.46 181.26968 76.52 125.67 119.68 59.05598 109.39 254.69 131.15 6.711075 112.39 419.53 158.36 91.804 100.08 442.45 201.39 107.27054 201.62 401.57 224.63 9.5908 103.80 303.31 145.14 81.13621 133.84 519.21 217.80 137.99845 109.91 259.25 168.06 7.253679 194.99 409.59 214.62 101.94269 49.97 157.83 78.74 30.31665 81.65 94.97 104.29 3.497549 151.81 348.40 157.69 60.66343 25.13 58.53 49.10 15.62223 28.77 44.92 49.14 2.253029 172.06 371.05 241.08 184.69917

15516 5940.0 12509 4035.5 13778 53.9 14324 5503.8 15237 5613.0 12638 4814.3 144 5942.5 15261 5609.7 14754 5377.2 12624 5084.0 14906 5180.8 12413 3847.2 15298 5552.1 15939 3741.2 14880 2743.8 14879 4565.4

数据来源：四川统计年鉴2011

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由于各指标有不同的物理量纲，于是我们把数据进行标准化处理，令

𝑋𝑖∗

=

𝑋𝑖−𝐸(𝑋𝑖)√𝐷(𝑋𝑖) 𝑖=1,…，𝑝

这样使得主成分有现实经济意义，不仅便于剖析实际问题，又可以避免突出数值大的变量.标准化处理后的数据如表2-2所示

地区 成都市 自贡市 攀枝花市 泸州市 德阳市 绵阳市 广元市 遂宁市 内江市 乐山市 南充市 眉山市 宜宾市 广安市 达州市 雅安市 巴中市 资阳市 甘孜藏族自治州 凉山彝族自治州

∗ 2.58124 -.50846 -1.48266 -.135 .53541 .75279 -.63427 -.12751 -.08126 -.27104 1.29439 -.21369 .24943 -.11950 1.19217 -1.04359 -.55518 .527

∗ 4.16738 -.10277 -.07081 -.03625 .22483 .09440 -.592 -.33782 -.00423 .04215 -.04058 -.23943 .19749 -.32859 -.02435 -.53384 -.66105 -.14818 -.73479 -.76233 -.10234

∗ 4.333 -.17225 -.30491 -.15477 -.095 .05928 -.29828 -.27835 -.23107 -.15630 -.11592 -.25404 -.12779 -.21422 -.13331 -.36942 -.32503 -.23224 -.42093 -.42086 -.08734

∗ 4.35157 -.29529 -.13263 -.14763 -.27418 -.07335 -.22976 -.29675 -.18784 -.16805 -.29306 -.20150 -.12873 -.29605 -.17487 -.26654 -.30086 -.22770 -.28534 -.30245 -.066

∗ 4.29593 -.38258 -.36996 -.21577 -.04831 .21290 -.19229 -.17416 -.34591 -.15674 .01756 -.26349 -.12802 -.30729 -.04823 -.32244 -.46269 -.28623 -.33226 -.51214 .02213

∗ 4.33974 -.19139 -.24536 -.26801 .12598 .00688 -.25411 -.24018 -.26140 -.10974 -.23508 -.27428 -.17048 -.23807 -.27975 -.29052 -.28390 -.26361 -.29026 -.29057 -.28590

∗ 4.32288 -.29439 -.13947 -.058 -.07536 -.08077 -.34110 -.33158 -.30765 -.07561 -.19914 -.26834 .01467 -.29949 -.21435 -.35092 -.42255 -.27034 -.34163 -.34496 .07908

∗ 3.93477 -.59771 -.63740 -.30230 .33493 1.12202 .31474 -.54768 -.52405 -.35455 .08229 -.49768 -.19308 -.49106 -.14777 -.62160 -.45534 -.46790 .20087 -.266 .11538

∗ 2.97925 -.20719 1.18059 .36533 .77799 .37184 -1.40847 -.65715 -.333 .20666 -1.33210 -.14443 .22086 -.07931 -1.34039 .01069 -1.46531 .24277 .62228 -.00471 -.00530

∗ 2.57242 .41726 .88511 .08756 1.05565 .57412 -1.10613 .08879 .128 .28562 -.41903 .57633 .28271 .07759 -.18109 -.09569 -1.27226 .231 -1.36578 -2.24574 -.63863

阿坝藏族羌族自治州 -1.42654

-1.37042 .83867

表3-2 标准化的四川省21个县市的10项指标

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4 主成分分析法

运用主成分分析法评价区域经济发展水平的步骤： （1）原指标数据的标准化变换； （2）求出指标样本的相关系数矩阵；

（3）计算相关系数矩阵的特征值和特征向量；

（4）计算各特征值的贡献率，并按累积贡献准则提取主 成分；

（5）用主成分对评价问题做出综合分析.

综合评价根据具体情况，可以用第一主成分作排序的判据，也可以用K个主成分的加权值作为综合评价值，权数取各主成分的贡献率bj，即综合评价值Z=∑𝑛𝑗= 𝑏𝑗𝑧𝑗.

根据主成分分析的原理，利用SPSS软件进行分析得到特征根和方差贡献分析表（见表4-1）及因子载荷阵（见表4-2）.

Total Variance Explained

Initial Eigenvalues Component 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total 8.249 .800 .6 .183 .083 .009 .007 .002 .001 .001 % of Variance 82.494 8.005 6.639 1.829 .827 .090 .073 .025 .011 .008 Cumulative % 82.494 90.498 97.137 98.966 99.793 99.883 99.957 99.981 99.992 100.000 Extraction Sums of Squared Loadings Total 8.249 % of Variance 82.494 Cumulative % 82.494 Extraction Method: Principal Component Analysis.

表4-1 特征根和方差贡献分析表

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Component Matrix(a)

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

Component

1

.701 .991 .9 .980 .9 .984 .988 .926 .736 .716

Extraction Method: Principal Component Analysis. a 1 components extracted.

表4-2 因子载荷阵

由表中数据可知，第一个因子已经可以解释82.494%的方差，计算特征向量的公式为：𝑧𝑖𝑗=𝑎𝑖𝑗/√𝜆𝑗 . 其中，𝑧𝑖𝑗为第j个特征向量的第i个元素，𝑎𝑖𝑗为因子载荷矩阵（成分矩阵）第i行第j列的元素，𝜆𝑗为第j个因子对应的特征根.我们再利用SPSS软件得到如表4-3所示的特征向量矩阵.

z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 0.244 0.345 0.344 0.341 0.344 0.343 0.344 0.322 0.256 0.249

表4-3 特征向量矩阵

我们以特征根为权，对十个主成分进行加权综合，所以

∗∗∗∗∗∗

Y= ∗1 1 ∗∗∗

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根据上式可计算出四川省各县市经济发展的综合得分，并根据此排序，具体结果如图4-4所示.

城 市 成都市 自贡市 攀枝花市 泸州市 德阳市 绵阳市 广元市 遂宁市 内江市 乐山市 南充市 眉山市 宜宾市 广安市 达州市 雅安市 巴中市 资阳市 阿坝藏族羌族自治州 甘孜藏族自治州 凉山彝族自治州 综合得分 12.11 -0.75 -0.46 -0.31 0.66 0.86 -1.35 -0.92 -0.68 -0.27 -0.41 -0.62 0.01 -0.76 -0.45 -1.2 -1.82 -0.39 -1.28 -1.88 -0.07 排序 1 14 11 7 3 2 19 16 13 6 9 12 4 15 10 17 20 8 18 21 5

表4-4 各县市主成分得分及排序

主要运行结果解释：

1、从主成分矩阵中可以看出最主要的经济指标是2、3、5、7即四川省主要经济指标是第二产业、第三产业生产总值、全社会固定资产投资、地方财政收入； 2、从对Y的排序中中可以看出成都市的综合经济能力一家独大，遥遥领先其他县市，另外绵阳市、德阳市的综合经济能力排名也进入了前三，而广元市、巴中市、甘孜藏族自治州的综合经济能力排在最后三位，总体来说除开省会成都外，其余省市差距不是很大，可以说是发展均衡，也可以认为是整体综合经济能力欠发达，综上，四川省需促进各县市的协调发展.

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5 系统聚类分析法

用系统聚类分析法对四川省辖下的21个县市的10个重要经济指标进行处理，对结果进行分析，并提出相关建议.

用SPSS软件中的聚类分析模块功能运行得到系统聚类法树形图，对其分为3类、4类、5类，运行结果如图5-1所示.

图5-1 系统聚类法树形图

主要运行结果解释：

若将四川省21个市县按综合经济能力分为3类，则成都市为一类，自贡市、泸州市、德阳市、绵阳市、遂宁市、内江市、乐山市、南充市、眉山市、宜宾市、广安市、达州市、雅安市、资阳市、凉山彝族自治州、攀枝花市为第二类，广元市、巴中市、阿坝藏族羌族自治州、甘孜藏族自治州为第三类，所有情况如表5-2所示（三列分别为分一类、二类、三类的情况）.

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四川省各县市经济发展水平综合评价

城 市 成都市 自贡市 泸州市 德阳市 绵阳市 遂宁市 内江市 乐山市 南充市 眉山市 宜宾市 广安市 达州市 雅安市 资阳市 凉山彝族自治州 攀枝花市 广元市 巴中市 阿坝藏族羌族自治州 甘孜藏族自治州 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 分 类 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 5 5

表5-2 各县市经济综合能力系统聚类法分类情况表

我们还是可以看到省会成都市独属一类，这说明其经济综合能力一家独大，其余城市发展水平相当，这里特别可以看出阿坝藏族羌族自治州、甘孜藏族自治州两个个少数民族自治州都属于末类，因此加强少数民族自治州的经济发展也是四川省整体经济综合能力提升的必要措施.尤其是阿坝藏族羌族自治州是08年汶川地震的重灾区，加强灾后重建工作也是必要任务.

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6 结论与建议

1.成都经济综合实力雄厚, 为四川省的经济最发达城市, 起着经济辐射作用.成都是四川的经济中心, 商业、信息产业及一些新兴的产业发展迅速, 经济实力强, 对整个四川的经济发展有较强的影响力.成都作为省会城市，除自身快速发展外还应带动其他县市共同发展，尤其是欠发达的少数民族自治州.

2.促进四川省各县市的协调发展.以成都、绵阳和德阳为一经济发展带, 发挥各自优势, 进一步推动中心、纽带的经济城市群体效应.

3.除成都外，其它城市进出口总额十分之少，应大力加强其他县市的开放程度，进一步深化改革，扩大开放.

4.汶川地震灾区灾后重建工作，应当坚持以人为本、科学规划、统筹兼顾、分步实施、自力更生、国家支持、社会帮扶的方针. 国家需对地震灾后恢复重建给予财政支持、税收优惠和金融扶持，并积极提供物资、技术和人力等方面的支持.

5.加快民族地区的产业结构调整，不断增强民族地区经济发展的自主增长能力；加大民族地区扶贫开发力度；加强民族地区基础设施建设；加快民族地区教育、文化、卫生、体育等各项社会事业的发展.要认真搞好宣传教育，营造促进民族地区加快发展的浓厚氛围.推动少数民族地区经济又好又快发展.

6.我们可以看到主成分分析法和系统聚类分析法所得出的排名或分类结果几乎一致，由于数据选择的原因，与实际情况可能还存在一定差距，但也和四川省各县市实际排名相差无几了.论文做完之后，发现数据选取面太窄，以致很多行业方面的问题未能观出端倪.譬如，如加入农林渔牧业指标、大规模以上工业企业主要指标、交通运输、邮电和通讯方面指标.我们将看出更多的问题，针对各县市的经济发展也能有更多的发言权.总的来说，通过写本次小论文，从问题提出、模型建立、数据收集、运用SPSS软件求解、到最后分析结果,锻炼了各方面的能力，收获颇丰.

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