专题四 开放探索问题
1．(2019·宁波)请写出一个小于4的无理数：________.
2．(2018·曲靖)关于x的方程ax2＋4x－2＝0(a≠0)有实数根，那么负整数a＝________(写出一个即可)．
图1
3．(2018·长春)如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,3)，(n,3)．若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值可以为________．(写出一个即可)
4．(2017·兰州)在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的条件是________________．(填序号)
图2
5．(2019·邵阳)如图2，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是______________________．(不添加任何字母和辅助线) 6．如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角； (2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，加以证明．
图3
7．(2018·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
8．(2017·邵阳)如图4，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形．
图4
9．如图5，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________________，并证明．
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
图5
10．(2017·达州)如图6，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F. (1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE，AF.当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
图6
11．(2017·徐州)如图7，在▱ABCD中，O是BC边的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC. (1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．
图7
12．(2018·德州)如图8①，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m,0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；
(2)如图8②，若P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连接MN，试确定△MPN的面积最大时点P的坐标；
(3)如图8③，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图8
① ② ③
1113．(2019·安顺)如图9，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋3相交于A，
22B两点，交x轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A(0,3)，C(－3,0)． (1)求出抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上找一点M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大
值；
(3)P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA，交y轴于点Q.问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图9
14．(2017·葫芦岛改编)如图10，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴、y轴分别交于A，B，C三点，已知A(－2,0)，C(0，－8)，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图10①，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B′落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
(3)如图10②，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，M是直线CD上的动点，N是平面内一点．则是否存在这样的点M，N，使得以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图10
参
专题四 开放探索问题
课时作业
1．π(答案不唯一) 2.－1或－2 3.2(答案不唯一) 4．①③④ 5.AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C 6．(1)∠DAG，∠AFB，∠CDE均与∠AED相等． (2)略
7．(1)方程有两个不相等的实数根．
(2)当a＝1，b＝2时，方程的根为x1＝x2＝－1(答案不唯一)． 8．(1)略 (2)AB＝AD或AC⊥BD(答案不唯一)．
9．(1)(答案不唯一)如EH＝FH或∠EBH＝∠FCH或∠BEH＝∠CFH或BE∥CF (2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由略．
10．(1)5 (2)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由略．
11．(1)略 (2)100°
12．(1)m＝1，n＝3，解析式为y＝－x2＋6x－5. 87
(2)P(3,0) (3)存在，点Q的坐标为(2，－3)或3，－3.
15
13．(1)y＝x2＋x＋3 (2)当点B，C，M在同一条直线上时，|MB－MC|取最
22大值，即为BC的长，最大值为2
(3)存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，P的坐标为(1,6) 14．(1)y＝x2－2x－8，D(1，－9) 1＋371－37
(2)P，22
259(3)存在符合要求的点M，N，点M的坐标为－2，2或(4，－12)或(－5，－3)
