2020年中考数学压轴专题18创新型与新定义综合问题(学生版)

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品 专题18创新型与新定义综合问题

【考点1】几何综合探究类阅读理解问题

【例1】（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

【变式1-1】（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌

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△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．

问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．

【变式1-2】（2019·湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由． 运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长．

【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题

【例2】（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：

设S=1+2+22+…+22017+22018①，

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则2S=2+22+…+22018+22019②， ②–①得2S–S=S=22019–1， ∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29=__________； （2）3+32+…+310=__________；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．

【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，

易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c． 【基础训练】 （1）解方程填空：

①若2x+x3=45，则x=__________； ②若7y–y8=26，则y=__________； ③若t93+5t8=13t1，则t=__________； 【能力提升】

（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新 排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；

②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．

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【变式2-2】（2019•济宁）阅读下面的材料：

如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x16（x＞0）是减函数． x666x26x16x2x1． x1x2x1x2x1x2∵06x2x1∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．

x1x2∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）=

6（x＞0）是减函数． x1+x（x<0）， x2117f（–1）=+1=0f2=+2=（–），（–）（–）–．

(2)2(1)24（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________； （2）猜想：函数f（x）=

1+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）； 2x（3）请仿照例题证明你的猜想． 【考点3】函数类新定义综合型问题

【例3】（2019·江西）特例感知

222（1）如图1，对于抛物线y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，下列结论正确的序号

是_________；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移

1个单位得到； 2③抛物线y1，y2，y3与直线y1的交点中，相邻两点之间的距离相等.

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形成概念

2（2）把满足ynxnx1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.

知识应用

在（2）中，如图2.

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为：k1，k2，k3，…，kn（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

Cn1An1，…，An，③在②中，直线y1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，连接CnAn，判断CnAn，Cn1An1是否平行？并说明理由.

【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解

1的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的x1垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1

x如图，点A，B在反比例函数y=（n>1）．

小红通过观察反比例函数y=AE+BG=2CF，CF>DF， 由此得出一个关于

1的图象，并运用几何知识得出结论： x112，，，之间数量关系的命题： n1n1n若n>1，则__________． （2）证明命题

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小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【变式3-2】定义：如图，若双曲线yk>0与它的其中一条对称轴yx相交于两点A，B，则线段

AB的长称为双曲线ykxkk>0的对径． x

（1）求双曲线y1的对径; xkk>0对径是102.求k的值; xkk<0的对径. x（2）若某双曲线y（3）仿照上述定义,请你定义双曲线y【考点4】变换操作类阅读型问题

【例4】．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四

边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

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(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；

(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O0,0、A3,0、B0,4，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；

(3)如图2，将ABC（ BC  AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60，得到DBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求DCB 的度数.

【变式4-1】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1） 概念理解：

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ． （2） 问题探究：

如图2，小红画了一个RtABC，其中ABC90，AB2，BC1，并将RtABC沿B的平分线

BB方向平移得到A'B'C'，连结AA、BC．小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应

平移多少距离（即线段BB的长）？ （3） 应用拓展：

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，BADBCD90，AC、BD为对角线，

AC2AB．试探究BC、CD、BD的数量关系．

【变式4-2】（2019•湖南长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸

四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）

（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，

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ABBCCD==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． A1B1B1C1C1D1（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求

S2的值． S1

1．（2019•湘西州）阅读材料：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则x1•y2=x2•y1，根据该材

rrrrrrrr料填空，已知a=（4，3），b=（8，m），且a∥b，则m=__________．

2．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=__________．

23.我们定义：对于抛物线yaxbxca0，以y轴上的点M0,m为中心，作该抛物线关于点M对称

的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”，若抛物线

yx22x5关于点0,m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，则m的取值范围是______.

4.（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3=7．

则（1）用含x的式子表示m=__________； （2）当y=–2时，n的值为__________．

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5.（2019•湖北宜昌•3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=的面积为S=abc，那么三角形2p(pa)(pb)(pc)．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，

若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为（ ） A．66

B．63 C．18

D．

19 2

6.（2019•山东临沂）一般地，如果x4=a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±4a，若4m4=10，则m=__________．

7.（2019•湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=__________．

8．据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，－1），P是二次函数y=

12

x的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其4中正确的是__________．（填序号）

9.（2019•浙江湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4

的正方形ABCD

可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是__________．

10|a≠0，（2019•广西贵港）我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c（且b2﹣4a>0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点

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为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=﹣1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是__________．

11.（2019·贵州安顺）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）=logaM+logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），理由如下： 设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，

∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N） 又∵m+n=logaM+logaN ∴loga（M•N）=logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式34=81转化为对数式； （2）求证：loga

M=logaM﹣logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0） N（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62=．

12．定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形ABCD是圆美四边形

1求美角C的度数； 2如图1，若eO的半径为23，求BD的长；

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3如图2，若CA平分BCD，求证：BCCDAC．

13.（2019•枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10． （1）求4⊗（–3）的值；

（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．

14．在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；

① ② ③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.

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特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：

（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；

（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）.

15．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形.

（1）如图①，已知四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形，若AC6，BD8则S四边形ABCD=_______；

¶BC¶180， （2）如图②，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线交于点E，若AD①求证：四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形；

②作OMBC于M，请猜想AD与OM之间的数量关系，并推理说明. 16．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

求证：四边形ABCD1如图1，点A，B，C在eO上，ABC的平分线交eO于点D，连接AD，CD．是等补四边形； 探究：

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连接AC，AC是否平分BCD?请说明理由． 2如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，运用：

3如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点

求DF的长． F，CD＝10，AF＝5，

17．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：

（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”； （2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明） （3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．

18．定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形ABCD中，若

AC,BD，则称四边形ABCD为准平行四边形.

（1）如图①，A,P,B,C是eO上的四个点，APCCPB60，延长BP到Q，使AQAP.求证:四边形AQBC是准平行四边形；

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（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于eO，ABAD,BCDC，若eO的半径为5,AB6，求AC的长；

（3）如图③，在RtVABC中，C90,A30,BC2，若四边形ABCD是准平行四边形，且

BCDBAD，请直接写出BD长的最大值.

19．阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度（小于360）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心.叫做这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述定答下列问题：

（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90.这个图形可以是______；

（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同.请你按

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上述两个要求，分别在图中的三个正六边形中画出三种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）.

20．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 ．（填写序号即可） ①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE． ①求证：△BCE是等边三角形； ②求证：四边形ABCD是勾股四边形．

21.（2019·黔东南州）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：

对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}=问题：

（1）①M{（–2）2，22，–22}=__________， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}=__________；

（2）若min（3–2x，1+3x，–5}=–5，则x的取值范围为__________； （3）若M{–2x，x2，3}=2，求x的值；

（4）如果M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，求x的值．

22．定义：如图1，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A，B两点不重合），如果ABP的三边满足AP2BP2AB2，则称点P为抛物线yaxbxc2129=4，min{1，2，–3}=–3，min（3，1，1}=1．请结合上述材料，解决下列3融会贯通，战胜中考

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（a0）的勾股点.

（1）求证：点M(0,1)是抛物线yx1的勾股点.

（2）如图2，已知抛物线C:yaxbx（a0）与x轴交于A，B两点，点P(1,3)是抛物线C的

22勾股点，求抛物线C的函数表达式.

23．定义：若抛物线L2:ymxnxm0与抛物线L1:yaxbxa0的开口大小相同，方向相

22反，且抛物线L2经过L1的顶点，我们称抛物线L2为L1的“友好抛物线”． （1）若L1的表达式为yx2x，求L1的“友好抛物线”的表达式；

22（2）已知抛物线L2:ymxnx为L1:yaxbx的“友好抛物线”．求证：抛物线L1也是L2的“友好抛

2物线”；

22（3）平面上有点P1,0，Q3,0，抛物线L2:ymxnx为L1:yax的“友好抛物线”，且抛物线L2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L2与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围．

24．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．

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（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N两点的坐标；

（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．

25．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验

(1)已知抛物线yx2bx3经过点(-1,0),则b= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 . 抽象感悟

我们定义：对于抛物线yaxbxca0,以y轴上的点M0,m为中心，作该抛物线关于

2点M对称的抛物线y' ,则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”. (2)已知抛物线yx22x5关于点0,m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围. 问题解决

(3) 已知抛物线yax2axba0

2①若抛物线y的衍生抛物线为ybx2bxa22b0,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求

2a，b的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y关于点0,k12的衍生抛物线为y ,其顶点为A；关于点0,k2的衍生抛物线为y112，

其顶点为A2；…；关于点0,kn2的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(n为

正整数).求AnAn1的长(用含n的式子表示).

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