中考数学压轴题专题创新型与新定义综合问题

【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan75的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：如图1，作RtABC，使C90，ABC30，延长CB至点D，使BDBA，连接AD.设AC1，则BDBA2，BC

3.tan75tanDAC

DCDBBC2323.ACAC1请解决下列问题：（1）类比求解：求出tan22.5的值；（2）问题解决：如图2，某住宅楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22.5时，住宅在建筑物的墙上留下高3m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45时，住宅楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C在一条直线上）.求住宅楼AB的高度（结果保留根号）；（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在RtABC中，A30，B90，BC2；在RtDEF中，FED90，EFD45，DF2.他将DEF的斜边DF与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿CA方向移动.在移动过程中，D，F两点始终在CA边上（移动开始时点F与点C重合）.探究在DEF移动过程中，是否存在某个位置，使得ECD22.5？如果存在，直接写出CD

1的长度；如果不存在，请说明理由.【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．2性质探究：如图2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O的切线．证明：连接OP，OD．由作图可知，DPDC，OPOC，又ODOD．OPD≌OCD（.SSS）

OPDOCD90，∴DE是半圆O的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接OE.请判断BOE和CDO的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD之间的数量关系；（3）如图4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；3（4）如图5，已知点E，F，G，H为正方形ABCD的四个“奇妙点”．连接AG，BH，CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，an，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，所以a2＝a1+d，（a1+d）（a1+2d）a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．a3＝a2+d＝+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（______）d（3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．4【变式2-1】（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x+x3=45，则x=__________；②若7y–y8=26，则y=__________；③若t93+5t8=13t1，则t=__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算12222201722018的值，采用以下方法：设S12222201722018①则2S2222201822019②-①得2SS220191

∴S12222201722018220191（1）122229=;②5（2）332310=;（3）求1aa2an的和（a0，n是正整数，请写出计算过程）.【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数y12kxk与函数y2x22x3,定义新函数yy2y1

（1）若k2,则新函数y

；，b

；（2）若新函数y的解析式为yx2bx2,则k（3）设新函数y顶点为m,n．①当k为何值时，n有最大值，并求出最大值；②求n与m的函数解析式；2

（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点A,B，函数y2x2x3的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．【变式3-1】特例感知（1）如图1，对于抛物线y1xx1，y2x2x1，y3x3x1，下列结论正确的序号是_________；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移2

2

2

1

个单位得到；2③抛物线y1，y2，y3与直线y1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念（2）把满足ynxnx1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标2

6分别为：k1，k2，k3，…，kn（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线y1分别交“系列平移抛物线”于点A…，An，连接CnAn，Cn1An1，判断CnAn，1，A2，A3，Cn1An1是否平行？并说明理由.【变式3-1】（2019•山东威海）（1）阅读理解1

的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的x

1

垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1x如图，点A，B在反比例函数y=（n>1）．小红通过观察反比例函数y=AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于1

的图象，并运用几何知识得出结论：x112，，，之间数量关系的命题：n1n1n若n>1，则__________．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．7a(ab)

【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝

b(ab)

（1）请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是．【考点4】变换操作类阅读型问题

【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件：．（2）问题探究：如图2，小红画了一个RtABC，其中ABC90，AB2，BC1，并将RtABC沿B的平分线BB方向平移得到A'B'C'，连结AA、BC．小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB的长）？8（3）应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，BADBCD90，AC、BD为对角线，AC2AB．试探究BC、CD、BD的数量关系．【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O0,0、A3,0、B0,4，点C为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C的坐标；(3)如图2，将ABC（BCAB）绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD、DC，四边形ABCD是勾股四边形，其中DC、BC为勾股边，求DCB的度数.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，9ABBCCD

==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．A1B1B1C1C1D1

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2的值．S1

1．阅读理解：已知两点M(x1,y1),N(x2,y2)，则线段MN的中点Kx,y的坐标公式为：x

y

y1y20，O经过点A，．如图，已知点O为坐标原点，点A3,点B为弦PA的中点．若点Pa,b，2）x1x2

，2则有a,b满足等式：a2b29．设Bm,n，则m,n满足的等式是（A．m2n29C．2m32n3

2

2

m3nB．922

D．2m34n29

2

22

2．阅读理解：解方程x2|x|20．解：（1）当x0时，原方程可以化为x2x20，解得x12,x210（不合题意，舍去）；（2）当x0时，原方程可以化为x2x20，解得x12,x210（舍去），∴原方程的解为x12,x22．那么方程x2|x1|10的解为（10）A．x10,x21B．x12,x21C．x11,x22D．x11,x22

a，c，d是实数，3．阅读理解：我们把符号b，ac

bd

称为22阶行列式，并且规定：ac

bd

adbc，a1xb1yc13(2)2(1)624例如：.二元一次方程组的解可以利用22阶axbyc122223

2

Dx

xa1D行列式表示为：；其中D

Da2yyD

解二元一次方程组

b1b2，Dx

c1c2b1b2，Dy

a1a2c1c2.问题：对于用上面的方法2xy1

时，下面说法错误的是（）3x2y12

C．Dy27

A．D

21

32

7B．Dx14

x2

D．方程组的解为

y3

，（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2）们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．5．观察下列各式：11111

111，12221221111111，222323231111111，32423434

11请利用你发现的规律，计算：111111111，其结果为____．11122222222122334201820196．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，……，第n个数记为an，则a4a200_________．117．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（时，等号成立．结论：在a+b）2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b．，当且仅当a=b时，a+b有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若x＞0，只有当x=时，4x+有最小值为．（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？8．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式（1）二次项系数（2）常数项；的方法.验算：“交叉相乘之和”；12（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，则，等于一次项系数-1，即.像这样，通过十字交叉线．帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：9．阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”．问题：（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB=33,∠BAD=60°，∠ABC=90°，求四边形ABCD出图形并写出解答过程）个；的面积．（画10．（阅读）如图1，若ABD∽ACE，且点B,D,C在同一直线上，则我们把ABD与ACE称为旋转相似三角形．（理解）（1）如图2，ABC和ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：ABD与ACE是旋转相似三角形．（应用）（2）如图3，ABD与ACE是旋转相似三角形，AD//CE．求证：ACDE．（拓展）（3）如图4，AC是四边形ABCD的对角线，D90，BACD，BC25，AC20，13AD16．试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．（阅读理解）11．对于任意正实数a、b，∵(ab)20，∴ab2ab0

∴ab2ab，只有当ab时，等号成立．（数学认识）在ab2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则ab2k，只有当ab时，ab有最小值2k．（解决问题）（1）若x0时，当x_____________时，x

1

有最小值为_____________；x14（2）如图，已知点A在反比例函数y

31

(x0)的图像上，点B在反比例函数y(x0)的图像上，xxAB//y轴，过点A作ADy轴于点D，过点B作BCy轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值．（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，12．∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．（理解）若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；（尝试）（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．（1）阅读理解13．利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P是等边三角形ABC内一点，PA1，PB

3，PC2.求BPC的度数.为利用已知条件，不妨把BPC绕点C顺时针旋转60得AP'C，连接PP'，则PP'的长为_______；在PAP'中，易证PAP'90，且PP'A的度数为________，综上可得BPC的度数为_______；（2）类比迁移如图，点P是等腰RtABC内的一点，ACB90，PA2，PB

2，PC1.求APC的度数；15（3）拓展应用如图，在四边形ABCD中，BC5，CD8，ABAC的长.1

AD，BAC2ADC，请直接写出BD214．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为______；证明：（2）如图1，MN是O的直径，点A,B,C在O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．15．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．16将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=°；个（包含四边形ABCD）．；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有拓展提升：（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．，分别连接ED、16．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合）EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD

的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：1如图1，ABDEC45，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；2如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；3如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．17（1）阅读理解：17．如图①，在ABC中，若AB8，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD100，以C为顶点作一个50的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．18．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（A.平行四边形B.矩形C.菱形）D.等腰梯形（2）在四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，请直接写出∠BCD的度数.19．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．1概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件，你添加的条件是________．2问题探究：18如图2，在“等邻边四边形”ABCD中，DAB60，ABCADC90，ABAD6，求对角线AC的长．3拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，BAD60，BCD30，AC为对角线，试探究AC，BC，DC的数量关系．20．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形A．平行四边形B．矩形C．菱形．D．等腰梯形命题（填“真”或“假”）．（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．21．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C处，即ACAC，19据以上操作，易证明ACD≌ACD，所以ACDC，又因为ACD>∠B，所以∠C>∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，①求证：∠B+∠D=180°；②求AB的长．22．如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．阅读理解：在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为S，△ADF的面积S1，△PDC的面积S2．（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S=，S1=______，S2=；S2（2）在图②中，若ABa，ABa，ABa，则=__________，并写出理由；S1S2（3）如图③，□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2）中的结论求△PAB的面积．23．阅读理解，并回答问题：20若x1,x2是方程ax2bxc0的两个实数根，则有axbxcaxx1xx2．即2

ax2bxcax2a(x1x2)xax1x2，于是ba(x1x2)，cax1x2，由此可得一元二次方程的根与系数关系：x1x2

cb

，x1x2，这就是我们众所周知的韦达定理．aa(1)已知m，n是方程x2x1000的两个实数根，不解方程求m2n2的值；(2)若x1,x2,x3是关于x的方程x(x2)2t的三个实数根，且x1x2x3．①x1x2x2x3x3x1的值；②求x3x1的最大值．（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，AC6．求BC边上的中线AD的取值范围．解24．决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE

AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF

（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．，在面积为S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r连接25．阅读材料：已知，如图（1）OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．SSOBCSOACSOAB

∴r

2S

．abc1111

BCrACrABr(abc)r222221（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求26．阅读与应用：r1的值.r2阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（当a＝b时取等号）．阅读2：函数yx即x

ab20，所以a2abb0，从而ab2abmmmm

（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知：x2x所以当x2m，xxxxm

的最小值为2m．x44，周长为2x，求当x＝__________xx

m时，函数yx

阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为时，周长的最小值为__________．问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时，值为__________．问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资00元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）（阅读材料）己知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切⊙O的半径为r.连接27．2

y2的最小y122OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC＋S△OAC＋S△OAB=∴r

2Sabc1111111

BC·r＋AC·r＋AB·r=a·r＋b·r＋c·r=（a＋b＋c）r2222222（1）（类比推理）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；（2）（理解应用）如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC分别相切于D、E和F，己知AD=3，BD=2，求r的值.28．定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有__________；（2）性质探究：①如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分∠BCD；②如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，∠BCD=2α，试说明：cosα=（3）性质应用：如图3，四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD，且四边形ABCD的周长为6+210，∠BAC=45°，AC=32，求奇异四边形ABCD的面积．BCCD

；2AC29．阅读材料：23材料一：对实数a，b，定义Ta,b的含义为：当ab时，Ta,bab；当ab时，Ta,bab．例如：T1,3134；T2,1213．材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问：1234100?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：11002995051101505050．也可以这样理解：令S123100①，则S10099321②，①+②：2S110029939810011001100，即S100100125050．根据以上材料，回答下列问题：（1）已知xy10，且xy，求T5,xT5,y的值；2

（2）对于正数m，有Tm1,13，求T1,m99T2,m99T3,m99T199,m99的值．30．阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等．例如，在图1中，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点О，且ACBD，AOB，BOC，△COD，△AOD的面积分别为S1,S2,S3,S4，则有S1·S3S2S4，证明过程如下：1

OBOAS12OBS41ODOAOD2任务：24（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，分别记AOB，BOC，△COD，△AOD的面积为S1,S2,S3,S4，求证S1·S3S2S4；（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，SAOD4，S△BOC6，SAOB:SCOD1:3，则四边形ABCD的面积为________________．25