浙江省2019年中考数学复习第二部分题型研究题型四 新定义与阅读理解题类型二新概念学习型

第二部分 题型研究

题型四 新定义与阅读理解题

类型二 新概念学习型

针对演练

1. 若x1，x2是关于x的方程x＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x－6x－27＝0，x－2x－827222＝0，x＋3x－＝0，x＋6x－27＝0, x＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.

4

(1)判断方程x＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.

2. 设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为(a，b)、(c，d)，当a＝－c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．

(1)请写出二次函数y＝x＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”；

(2)已知关于x的二次函数y1＝x＋nx和二次函数y2＝nx＋x；函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，求n.

2

2

2

2222223. 函数y＝和y＝－(k≠0)的图象关于y轴对称，我们定义函数y＝和y＝－(k≠0)

kxkxkxkx相互为“影像”函数：

(1)请写出函数y＝2x－3的“影像”函数：________； (2)函数________的“影像”函数是y＝x－3x－5;

2试题习题，尽在百度

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(3)若一条直线与一对“影像”函数y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)的图象分别交于点A、2x2x2B、C(点A、B在第一象限)，如图，如果CB∶BA＝1∶2，点C在函数y＝－(x＜0)的“影

x像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B的坐标．

第3题图

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1，又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此下去，得到线段OP3，OP4…，OPn(为正整数)．

(1)求点P3的坐标；

(2)我们规定：把点Pn(xn，yn)(n＝0，1，2，3…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|，|yn|)称为点Pn的“绝对坐标”，根据图中Pn的分布规律，求出点

Pn的“绝对坐标”．

第4题图

考向2) 几何类(杭州：2015.19；台州：2016.23，2015、2013.24；绍兴：2017.22，2013.22，2012.21)

针对训练

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1. (2017绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°. ①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长； ②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．

第1题图

2. 阅读下面的材料：

如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①，▱ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．

请解决下列问题：

(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；

(2)若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；

(3)若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图②，请画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”，并说明理由．

第2题图)

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3. (2017常州)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线

AC、BD还需要满足________时，四边形MNPQ是正方形；

(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点． ①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是________； ②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

第3题图

4. (2017黄石)在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP＝BC，如下图所示．

(1)如图①，求证：BA＝BP；

(2)如图②，点Q在DC上，且DQ＝CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，

求的值；

CGGB(3)如图③，已知AD＝1，在(2)的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接

BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM＝BN，请证明：

△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

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第4题图

5. 对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中，∠B＝∠D，AB＝AD；如图②中，∠A＝∠C，AB＝AD则这样的四边形均为奇特四边形．

(1)在图①中，若AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠C＝120°，请求出四边形ABCD的面积； (2)在图②中，若AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；

(3)如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE＝DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，若EB＋BC＝m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含m的代数式表示)；如果不是，请说明理由．

第5题图

6. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)如图①，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；

(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；

(3)如图②，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC试题习题，尽在百度

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沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB′的长)?

第6题图

7. (2017江西)我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知

(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC； ②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________． 猜想论证

(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用

(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

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第7题图 答案

1. 解：(1)不是．理由如下：

∵解方程x＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3， ∴|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|， ∵3.5不是整数，

∴方程x＋x－12＝0不是“偶系二次方程”； (2)存在．理由如下：

∵方程x－6x－27＝0，x＋6x－27＝0是“偶系二次方程”， ∴假设c＝mb＋n，

当b＝－6，c＝－27时，有－27＝36m＋n， 32∵x＝0是“偶系二次方程”，∴n＝0，m＝－，

4

2222

2

∴c＝－b.

342

272又∵x＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，

4

2732

当b＝3时，c＝－＝－×3，

44

32∴可设c＝－b，

4

32222对任意一个整数b，当c＝－b时，b－4ac＝b－4c＝4b，

4

－b±2|b|31∴x＝，∴x1＝－b，x2＝b，

222

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31

∴|x1|＋|x2|＝|b|＋|b|＝2|b|.

22∵b是整数，

322

∴对于任意一个整数b，存在实数c，当且仅当c＝－b时，关于x的方程，x＋bx4＋c＝0是“偶系二次方程”．

2. 解：(1)∵y＝x＋x＋1， 123

∴y＝(x＋)＋，

24

2

132∴二次函数y＝x＋x＋1的顶点坐标为(－，)，

24

132

∴二次函数y＝x＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(，)，

22

12372

∴反倍顶二次函数的解析式为y＝(x－)＋＝x－x＋；

224

122222

(2)y1＋y2＝x＋nx＋nx＋x＝(n＋1)x＋(n＋1)x＝(n＋1)(x＋x)＝(n＋1)(x＋)－

2

n＋1， 41n＋1∴顶点的坐标为(－，－)，

241y1－y2＝x2＋nx－nx2－x＝(1－n)x2＋(n－1)x＝(1－n)(x2－x)＝(1－n)(x－)2－21－n， 4试题习题，尽在百度

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11－n

∴顶点的坐标为(，－)，

24

由于函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，

则－2×

1－nn＋1＝－， 441

解得n＝.

3

3. 解：(1)y＝－2x－3；

【解法提示】令－x＝x得y＝－2x－3. (2)y＝x＋3x－5；

【解法提示】令－x＝x得y＝x＋3x－5.

(3) 如解图，作CC′⊥x轴，BB′⊥x轴，AA′⊥x轴垂足分别为C′、B′、A′，

22

第3题解图

设点B(m，)，A(n，)，其中m＞0，n＞0，

2m2n由题意，将x＝－1代入y＝－中解得y＝2，

2x22

∴点C(－1，2)，∴CC′＝2，BB′＝ ，AA′＝ ，

mn

又∵A′B′＝n－m，B′C′＝m＋1，CC′∥BB′∥AA′，CB∶AB＝1∶2, 则

B′C′∶A′B′＝1∶2，

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n－m＝2（m＋1）2则2222，消去n化简得到3m－2m－3＝0,

－＝（2－）nmn3

1＋101－10解得m＝或(舍弃)，

33

2

∴＝21＋10－2＋210＝ ，

m33

1＋10－2＋210∴点B坐标为(，)．

33

4. 解：(1)根据题意，得OP3＝2OP2＝4OP1＝8OP0＝8, 根据等腰直角三角形的性质，得P3(－42，42); (2)由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，

在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或y轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：

①当Pn的n＝0，4，8，12…，则点在x轴上，则“绝对坐标”为(2，0) ， ②当Pn的n＝2，6，10，14…，则点在y轴上，则“绝对坐标”为(0，2) ； ③当Pn的n＝1，3，5，7，9…，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为(2

－1

n

n

n

2，2

n－1

2)．

考向2 几何类

针对演练

1. 解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形． 又∵∠ABC＝90°，

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∴四边形ABCD为正方形， ∴BD＝2；

②如解图①，连接AC，BD，

第1题解图①

∵AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴AD＝CD；

(2)若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF， ∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件； 若EF与BC不垂直， ①当AE＝AB时，如解图②， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

第1题解图②

∴AE＝AB＝5；

②当BF＝AB时，如解图③， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形，

第1题解图③

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∴BF＝AB＝5. ∵DE∥BF， ∴△PED∽△PFB，

∴

EDPD1＝＝， FBPB2

∴DE＝2.5， ∴AE＝9－2.5＝6.5.

综上所述，AE的长为5或6.5.

2. 解：(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；

(2)2；

【解法提示】如解图①的矩形BCAF、矩形ABED为Rt△ABC的两个“友好矩形”；

第2题解图

(3)此时共有3个“友好矩形”，如解图②的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．

理由如下：

∵矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK均为△ABC的“友好矩形”，∴这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC

的边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，则L1＝＋2a，L2＝＋2b，L3＝＋2c，

2Sa2Sb2Sc∴L1－L2＝(＋2a)－(＋2b)＝

2Sa2Sb2Sab－S(b－a)＋2(a－b)＝2(a－b)·，而ab＞S，aabab试题习题，尽在百度

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＞b，

∴L1－L2＞0，即L1＞L2，同理可得，L2＞L3， ∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小． 3. 解：(1)①矩形；

【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形．

②垂直；

【解法提示】∵四边形ABCD是等角线四边形，∴AC＝BD，∵M、N、P、Q 分别是边AB、11BC、CD、DA的中点，∴MN＝PQ＝AC，PN＝MQ＝BD，∴MN＝PQ＝PN＝MQ，∴四边形MNPQ22是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形MNPQ有一个角是直角，

又易知MN∥PQ∥AC，PN∥QM∥BD，∴要使四边形MNPQ是正方形需要AC⊥BD.

(2)①3＋221； ∵AD＝BD，

∴D在AB的垂直平分线上， ∵四边形ABCD是等角线四边形， ∴AC＝BD，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5， ∴BD＝5，

如解图①，取AB的中点为M，则DM⊥AB，

第3题解图①

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在Rt△ADM中，AD＝BD＝5，AM＝BM＝2，由勾股定理得DM＝21； 11

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DM＋BC·BM

22

11

＝×4×21＋×3×2＝3＋221； 22②四边形ABED面积最大值为18，理由如下： 如解图②，设AE与BD交于点O，夹角为α，则

第3题解图②

1

2

12

12

S四边形ABED＝S△AED＋S△ABE＝AE·ODsinα＋AE·OBsinα＝AE·BDsinα，

∵AE＝BD，

12∴S四边形ABED＝AEsinα，

2

∴当AE最大，且α＝90°时，四边形ABED的面积最大， 此时延长AC交圆C于E，则AE最大为5＋1＝6， 12

∴四边形ABED的最大面积为×6＝18.

24. (1)证明：如解图①所示，

第4题解图①

∵PC＝BC，∠BCP＝90°，

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∴BP＝2BC，

又∵矩形ABCD为“标准矩形”， ∴AB＝2BC， ∴AB＝BP；

(2)解：如解图②，作点Q关于直线BC对称的点F，连接AF交BC于点E，连接QE、GF，

第4题解图②

∵DQ＝CP，∴CQ＝DP＝CF且AQ为定值， ∴EQ＝EF，GQ＝GF，

∵AQ为定值，要使△AGQ的周长最小时， ∴只需AG＋GQ＝AG＋GF最小， 显然AG＋GF≥AF＝AE＋EF＝AE＋EQ， 即当点G与点E重合时，△AGQ的周长最小，

此时＝CGCECFDP＝＝，

GBEBABAB∵

DPCD－CPAB－BCBC2＝＝＝1－＝1－， ABABABAB2

∴当△AGQ的周长最小时，

CG2

＝1－； GB2

(3)证明：如解图③，MN交AF于点K，连接KT，

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第4题解图③

由(2)可知，CF＝DP， ∴PF＝AB且PF∥AB， ∴四边形ABFP为平行四边形， 又由PM＝BN， ∴MF＝AN， ∴△MFK≌△NAK， ∴点K为AF与MN的中点， 又∵点T为BF的中点， ∴KT为△FAB的中位线， ∴S△FKT＝S△TMK＝S△TKN，

1112

∴S△MNT＝2S△FKT＝S△FAB＝S平行四边形ABFP＝×2＝，

2444

∴△MNT的面积S为定值，这个定值为

2

. 4

5. 解：(1)如解图①，设AC与BD交于点O；

第5题解图①

∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝AD＝BD＝4, ∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠CBD ＝∠CDB，

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∵∠BCD＝120°， ∴∠CBD＝∠CDB＝30°， ∴CB＝CD， ∵AB＝AD， ∴AC⊥BD，

23

∴BO＝OD＝2，OA＝AB·sin60°＝23，OC＝OB·tan30°＝，

3

111163

∴S四边形ABCD＝·BD·OA＋·BD·OC＝·BD·(OA＋OC)＝；

2223(2)2；

【解法提示】如解图②，作DH⊥AB于H，过点B、D、C作圆，连接BD，

第5题解图②

∵∠C′＝∠C＝45°， ∴当C′B＝C′D时，

△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大， 易证四边形ABC′D是菱形， 在Rt△AHD中，

∵∠A＝45 °，∠AHD＝90°，AD＝4， ∴AH＝HD＝22，

∴四边形ABC′D的面积＝AB·DH＝82， ∴四边形ABCD的面积的最大值为82.

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(3)四边形BCGE的面积是定值，理由如下： 如解图③，连接EC、CF，作FM⊥BC于M.

第5题解图③

在△BCE和△DCF中， BE＝DF

∠EBC＝∠FDC， BC＝DC

∴△BCE≌△DCF(SAS)， ∴CE＝CF， ∵EG＝GF， ∴S△ECG＝S△FCG， ∵四边形CDFM是矩形， ∴BC＝DC＝MF，DF＝BE＝CM， ∴BM＝m，BE＋FM＝m，

∴△FCM，△DCF，△BCE的面积相等， 11112∴S四边形BCGE＝·S四边形BEFM＝··m·m＝m.

22246. 解：(1)AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB； (2)解：小红的结论正确． 理由如下：

∵四边形的对角线互相平分， ∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，

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∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形；

(3)由∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，得：AC＝5， ∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，

∴BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝5， (Ⅰ)如解图①，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝2；

第6题解图①

(Ⅱ)如解图②，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝A′C′ ＝5；

第6题解图②

(Ⅲ)当A′C′＝BC′＝5时，如解图③，延长C′B′交AB与点D，则C′B′⊥AB，

第6题解图③

∵BB′平分∠ABC，

1

∴∠ABB′＝∠ABC＝45°，

2∴∠BB′D＝∠ABB′＝45°， ∴B′D＝BD， 设B′D＝BD＝x，则C′D＝x＋1，BB′＝2x，

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∵根据在Rt△BC′D中，BC′＝C′D＋BD即x＋(x＋1)＝5， 解得：x＝1或x＝－2(不合题意，舍去)， ∴BB′＝2x＝2；

2

2222

第6题解图④

－1＋7－1－7

(Ⅳ)当 BC′＝AB＝2时，如解图④，与(Ⅲ)方法同理可得： x＝或x＝

22(舍去)，

－2＋14

∴BB′＝2x＝. 2

－2＋14

故应平移2或5或2或的距离．

2

1

7. 解：(1)①，②4；

2【解法提示】①如解图①中，

第7题解图①

∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′， ∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′， ∵∠BAC ＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，

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∴∠B′AC′＝120°， ∴∠B′＝∠C′＝30°， 11∴AD＝AB′＝BC.

22②如解图②中，

第7题解图②

∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°， ∵AB＝AB′，AC ＝AC′， ∴△BAC ≌△B′AC′， ∴BC＝B′C′， ∵B′D＝DC′，

11

∴AD ＝B′C′＝BC＝4；

22

1

(2)猜想：AD＝BC.

2

理由：如解图③中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M，

第7题解图③

∵B′D＝DC′，AD ＝DM ， ∴四边形AC′MB′是平行四边形，

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∴AC′＝B′M＝AC，

∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∠B′AC′＋∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A, ∵AB＝AB′， ∴△BAC≌△AB′M ， ∴BC ＝AM， 1

∴AD＝BC；

2(3)存在．

理由：如解图④中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于O，

第7题解图④

∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°， ∴在Rt△DCM中，

∵CD＝23，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°， 在Rt△BEM中，

∵∠BEM＝90°，BM＝BC＋CM＝14，∠MBE＝30°， 1

∴EM＝BM＝7，

2∴DE＝EM－DM＝3，

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∵AD＝6， ∴AE＝DE, ∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC， 在Rt△CDF中， ∵CD＝23，CF＝6， ∴∠CDF＝∠CPE＝60°， 易证△FCP≌△CFD， ∴CD＝PF，∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP＝90°，

∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠APD＝60°， ∵∠BPF＝∠CPF＝60°， ∴∠BPC＝120°， ∴∠APD＋∠BPC＝180°，

∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”， 在Rt△PDN中，

∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3， ∴PN＝DN＋PD＝（3）＋6＝39.

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