2022中考数学专题突破—阅读理解含答案

阅读理解

1．在平面直角坐标系中，对于点Px,y和Qx,y'，给出如下定义：

yx0如果y'，那么称点Q为点P的“伴随点”．

yx0例如：点5,6的“伴随点”为点5,6；点5,6的“伴随点”为点5,6． （1）直接写出点A2,1的“伴随点”A'的坐标．

（2）点Bm,m1在函数ykx3的图象上，若其“伴随点”B'的纵坐标为2，求函数ykx3的解析式．

（3）点C、D在函数yx24的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D'．若点C在第一象限，且CDDD'，求此时“伴随点”D'的横坐标．

（4）点E在函数yxn1x2的图象上，若其“伴随点”E'的纵坐标y'的最大值为

2m1x3，直接写出实数n的取值范围．

【解析】解：（1）点A＇的坐标为（2，1）． （2）①当m≥0时，

m+1=2，m=1;

∴B（1，2）,

∵点B在一次函数y=kx+3图象上， ∴k+3=2， 解得：k=-1;

∴一次函数解析式为y=-x+3;

1

②当m＜0时，

m+1=-2，m=-3;

∴B（-3，-2）．

∵点B在一次函数y=kx+3图象上， ∴-3k+3=-2，

解得：k=

5， 35x+3; 3∴一次函数解析式为y=（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上， ∴点C的坐标为（n，-n2+4），

∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D＇（-n，n2-4）; ∵CD=DD＇， ∴2n=2（-n2+4），

解得：n=117; 2∵点C在第一象限，

∴取n1117117，n2（舍）; 22117． 2∴D＇的横坐标为（4）－2≤n≤0、1≤n≤3． 解析如下：

2

当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0, 当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;

2．阅读下列材料，然后解答问题:

在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如:32,，这样的式子，其实我们还可以将其进一231233232步化简:；3122222313131323121231

以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． 请参照以上方法化简:

（1）5 31 21（2）1111（3） 31537520192017【解析】解：155353； 3333 3

212121212122121221；

31111 31537520192017315353757520192017

31315375201920172019201731537520192017 222220191 2=

3．设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a,b．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m,n上的“闭函数”．如函数yx4，当x1时，y3；当x3时，y1，即当1x3时，有1y3，所以说函数yx4是闭区间1,3上的“闭函数”

（1）反比例函数y2019是闭区间1,2019上的“闭函数”吗?请判断并说明理由； x（2）若二次函数yx26xk是闭区间3,4上的“闭函数”，求k的值；

（3）若一次函数ykxb(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含m,n的代数式表示)．

【解析】(1)反比例函数y2019是闭区间[1,2019]上的“闭函数” x理由如下

4

反比例函数y2019在第一象限，y随x的增大而减小， x当x1时，y2019 当x2019时，y1, 即图象过点(1,2019)和(2019,1)

当1x2019时，有1y2019，符合闭函数的定义，

反比例函数y2019是闭区间[1，2019]上的“闭函数” x(2)由于二次函数yx26xk的图象开口向上,对称轴为x3, 二次函数yx26xk在闭区间[3,4]内，y随x的增大而增大 当x3时，y3,

k12

当x4时，y4, 即图象过点(3,3)和(4,4)

当3x4时，有3y4，符合闭函数的定义，

k12

(3)因为一次函数ykxb(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有

①当k0时，即图象过点m,m和n,n

mkbmk1  ，解得. nkbnb0

5

yx

②当k0时，即图象过点m,n和n,m,

mkbn nkbmk1解得

bmn∴直线解析式为yxmn

综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝−x＋m＋n． 4．阅读理解，解答下列问题：

在平面直角坐标系中，对于点Ax,y若点B的坐标为kxy,xky，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点A2,5的“2级牵挂点”为B(225,225)，即B9,8．

x（1）已知点P5,1的“3级牵挂点”为P1求点P1的坐标，并求出点P1到轴的距离；

（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q15,3，求Q点的坐标及所在象限； （3）如果点Mm,1m的“2级牵挂点”M1在x轴上，求点M1的坐标；

6

（4）如果点C1,c1的“2级牵挂点”C1在第二象限， ①求c的取值范围；

②在①中，当c取最大整数时，过点C1作C1D1x轴于点D1，连接OC1，将OC1D1平移得到OQD，1其中O、C1、D1的对应点分别为O1、Q、D，连接C1Q，直接写出四边形C1D1O1Q的面积为______．

点P5,1的“3级牵挂点”为P1，

【解析】解：（1）

5(3)116，5(3)12

即P116,2

x且P1到轴的距离为2

（2）

点Q的“4级牵挂点”为Q15,3

设Q点的坐标为x,y

4xy5

x4y3x1解得

y1Q点的坐标为1,1，在第一象限．

（3）

点Mm,1m的“2级牵挂点”M1

2m1m3m1，m2(1m)2m

即M1(3m1,2m) 点M1在x轴上

7

2m0 m2

则3m15 M1的坐标为5,0

（4）①

点C1,c1的“2级牵挂点”C1

12c1c1，12(c1)2c3

即C1(c1,2c3)

点C1在第二象限

c10 2c30解得c3 232c的取值范围为c

②由题意可以得到下图：

所以四边形C1D1O1Q的面积=SC1D1OSC1OO1Q1113141． 22 8

故答案为

11． 25．定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x +bx+c经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2 +ex+f经过点( ﹣3，3)． （1）求b、c及a的值；

2

2

（2）已知抛物线y =﹣x +2x +3与抛物线yn=

n22nx﹣x﹣n （n为正整数） 33①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．

②当直线y =

1x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围． 22

③若直线y =k（k <0）与抛物线y =﹣x +2x +3与抛物线yn =

n22nx﹣x﹣n （n为正整数）共有334个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB =BC=CD时，求出k、n之间的关系式

【解析】(1) ∵抛物线yx2bxc经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：42bc0，

164bc0解得：b6，c8，

设“同交点抛物线”的解析式为yax2x4， 将(–3，3)代入得：3a3234， 解得：a3，

故答案为：b6，c8，a3； (2)①令y0，则x22x30，

，x23， 解得：x11 9

∴抛物线yx22x3与x轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，

令yn0，则

n22nxn0， x33，x23， 解得：x11∴抛物线ynn22nxxn与x轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)， 33∴抛物线y和抛物线yn是“同交点抛物线”， 它们图形共同性质：对称轴同为直线x1； ②当直线y1xm与抛物线y相交只有1个交点时， 21yxm32由，得：xxm30， 222yx2x33由⊿b24ac41m30，

2解得：m257， 16n22n4xxn的顶点坐标为(1，n)，其中n为正整数， 3331xm与抛物线yn中n1时的抛物线相交只2抛物线yn因为随着n的增大，yn的顶点纵坐标减小，所以当直线y有1个交点时，

1yxm22由，得：2x7x6m60， y1x22x1332由⊿b4ac7426m60，

2 10

解得：m97， 48如图所示：

当直线y1xm经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点， 211xm得：m， 22把“同交点”(–1，0)代入y把“同交点” (3，0)代入y13xm得：m， 22∴当直线y1xm与抛物线y、yn有4个交点时，m的取值范围为： 2975713m，且m，m； 481622n22nxxn相交于A、D、B、C，如图： 33③设直线yk分别与抛物线yx22x3和抛物线y

由yk，得：x22xk30， 2yx2x3 11

∵x1x2bc2，x1x2k3， aa2222∴ADx1x2x1x24x1x224k3164k，

yk2由，得：nx2nx3n3k0， n22nyxxn33bc3n3k2，x3x4，

aan22∵x3x4BC2x2x4x3x44x3x4224∵ABBCCD， ∴AD29BC2，

3n3k12k16， nn12k164k916∴，

n整理得：32n27knk0． 6．回答下列问题：

（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为a1，第二个数记为a2…，第n个数记为an，则a6________;a7____ （2）观察下列运算过程：

S122223...2n①

①2得

2S22223...2n1②

②-①得

12

S2n11

参考上面方法，求（1）中数列的前n个数的和S． 【解析】通过观察可发现其规律为：an3an1，

故a63a5486，a73a61458； （2）根据题中已给的推导过程可得（1）中

S2123123223n1①

①3得：

3S23123223323n②

②-①得：2S23n2

S3n1

7．如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T(AB,AD)1，B1，或T(AB,l2)，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段AC1．请依据上述定决如下问题： (1)如图1，在锐角ABC中，AB5，T(AC,AB)3，则T(BC,AB) ；

(2)如图2，在RtABC中，ACB90，T(AC,AB)4，T(BC,AB)9，求ABC的面积；

(3)如图3，在钝角ABC中，A60，点D在AB边上，ACD90，T(AD,AC)2，T(BC,AB)6，求T(BC,CD)

13

【答案】（1）2；（2）39；（3）73 2【解析】解：（1）如图1中，作CHAB．

T(AC,AB)3，AH3，

AB5， BH532，

T(BC,AB)BH2，

故答案为2．

（2）如图2中，作CHAB于H．

14

T(AC,AB)4，T(BC,AB)9，AH4，BH9，

ACBCHACHB90，

AACH90，ACHBCH90，

ABCH，

ACH∽CBH，

CHAH， BHCHCH4， 9CHCH6，

SABC11ABCH13639． 22（3）如图3中，作CHAD于H，BKCD于K．

ACD90，T(AD,AC)2，AC2，

A60，ADCBDK=ACH30，

CD3AC23，AD2AC4，AH1AC1，DHADAH3， 2T(BC,AB)6，CHAB，

BH6，DBBHDH3，

15

在RtBDK中，

K90，BD3，BDK30，

DKBDcos3033， 2CKCDDK233373， 22T(BC,CD)CK73． 28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：

材料 1：已知平面内两点M(x1,y1)、N(x1,y1)，则这两点间的距离可用下列公式计算：

MNx1x2y1y222．

例如：已知P3,1,Q1,2，则这两点的距离PQ31122213 材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点Px1,y1,Qx2,y2为端点的线段中点坐标为x1x2y1y2,22例如：点P1,2、点Q3,6，则线段PQ的中点M的坐标为1326,，即M2,4 221如图，已知A1,4,B6,1，求线段AB的长度和中点C的坐标； 2若M为x轴上一动点，求MAMB的最小值；

3已知ABC的顶点坐标分别为A0,4,B1,2,C4,2，你能判定ABC的形状吗？请说明理由．

16

【解析】1解：AB16241225934 C72,52

2解：设Ma,0

A1,4,B6,1

作点A1,4关于x轴对称点A'

A'1,4连接A'B

MAMBMA'MB

MAMBminA'B

612142

17

52 3解：AB12225

AC422225 BC32625

AB2AC252025 BC225 AB2AC2BC2

∴ABC为直角三角形

9．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等.若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”：若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为121321233132132

(1)若M的其百位数字为a，十位数字为b、个位数字为c，试说明M与其“友谊数”的差能被15整除； (2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等

(a0,b0)，求N的“团结数”

【解析】（1）由题意得：M为100a10bc， 则M的友谊数为100b10ac，

因此有100a10bc100b10ac，

100a10bc100b10ac， 90a90b，

18

90a90b156a6b， 90a90b能被15整除，

即M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）102a10a2102b10b210ab10ba，

20a10a220b10b210ab10ba， 22a22b44，

则N的“团结数”是22a22b44．

10．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：

311，在分式中，对于只含有一个字22母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次

2xx14x2数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，2，……

x1x2x2x1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：

x1x12x122x2x244x2x244；； 1x2x1x1x1x1x1x2x2x2x2（1）分式

2是 分式（填“真”或“假”） xx1化为整式与真分式的和的形式 x2（2）将分式

2x21（3）如果分式的值为整数，求x的整数值

x1【解析】解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式式

2分子零次，分母1次，所以分x2是真分式； x故答案为：真；

19

（2）

x1x23x2331=；

x2x2x2x2x22x212x2212x1x111（3）=； 2x1x1x1x1x1∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x-1=±1， ∴x=2或x=0

∴x的整数值为2或0．

11．阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2ab，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值． 根据以上结论，解决以下问题：

(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+

1有最小值，最小值为____； a(2)应用：

①如图1，已知点P为双曲线y=

4(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周x长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y=

8(x>0)上一点，且PQ∥x轴， 连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在x平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

20

【解析】（1）根据题意知a=

11时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2． aa（2）①设点P(x，

44)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+）， xx当x=

44时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)． xx244244242②设点P(x，)，（x>0）；OP=x（x）8， 2x=（x）xxxxxOP最小，即x+

44最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）； xx8(x>0)得点Q（4，2）； x由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=

所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为： （-2，0）、（2，0）或（6，4）．

12．数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x|a||b|的值．小明说：“考虑到要去掉绝对ab值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．

解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时， ②当两个字母a，b中有1个正，1个负时， ③当两个字母a，b中有0个正，2个负时． （1）根据小明的分析，求x|a||b|的值． ab（2）若a，b，c均不为零，且abc0，求代数式【解析】（1）①当a，b中有2个正，0个负时， 原式x|ab||bc||ca|的值． cab|a||b|112； ab21

②当a,b中有1个正，1个负时， 原式x|a||b|110； ab③当a,b中有0个正，2个负时， 原式x|a||b|112； ab综上所述，x的值为2或0或2． （2）∵abc0，

∴abc，bca，cab，

a，b，c不可能都为正或都为负，

∴

|ab||bc||ca||c||a||b|． cabcab①当a，b，c中有两正一负时， 原式|c||a||b|1111， cab②当a，b，c中有一正两负时， 原式|c||a||b|1111． cab|ab||bc||ca|的值为1或1． cab综上所述

22