2021年数学中考试题分类之七阅读型试题及答案

例1、（台州）我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”：即已知三角

122a2b2c22形的三边长：求它的面积。用现代式子表示即为：s[ab()]……①

42（其中a、b、c为三角形的三边长：s为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海式：

sp(pa)(pb)(pc)……②（其中pabc）。 2（1） 若已知三角形的三边长分别为5、7、8：试分别运用公式①和公式②：计算该三角

形的面积。

（2） 你能否由公式①推导出公式②？请试试。

知识点：本题考查了多项式乘法、分解因式、二次根式及其化简等有关知识。

精析：这是一道阅读理解题：它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式：第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力：第（2）题是考查学生是创新能力。

准确答案：

中考对该知识点的要求：近几年中考试题中：阅读理解型试题题型新颖：形式多样：知

识覆盖面较大：它可以是总计课本原文：也可以是设计一个新的数学情境：让学生在阅读的基础上：理解其中的内容、方法、思想：然后把握本质：理解实质的基础上作出回答。

目标达成：

7－1－1．（贵州市）阅读下面操作过程：回答后面问题：在一次数学实践探究活动中：小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图12（a））：小刚过AB、AC的中点画直线EF：把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图12（b））： 图12

BADAECBDAD1234CFBC（a） （b） （c）

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1____S2：S3____S4：

（2）根据这两位同学的分割方法：你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线 有 条：请在图12（c）的平行四边形中画出一种： （3）由上述实验操作过程：你发现了什么规律？

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线：都可以把平行四边形分成满足条件的图形： 7－1－2．（资阳市）阅读以下短文：然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合：且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上：则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示：矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然：当△ABC是钝角三角形时：其“友好矩形”只有一个 .

(1) 仿照以上叙述：说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”： (2) 如图8②：若△ABC为直角三角形：且∠C=90°：在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”：并比较这些矩形面积的大小：

(3) 若△ABC是锐角三角形：且BC>AC>AB：在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”：指出其中周长最小的矩形并加以证明.

7－1－3．（玉林）阅读下列材料：并解决后面的问题．

在锐角△ABC中：∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)：则sinB=

ADADbc：sinC=：即AD=csinB：AD=bsinC：于是csinB=bsinC：即． cbsinBsinCcaab：． sinCsinAsinAsinBabc 所以………(*) sinAsinBsinC 同理有

即：在一个三角形中：各边和它所对角的正弦的比相等．

(1)在锐角三角形中：若已知三个元素a、b、∠A：运用上述结论(*)和有关定理就可以 求出其余三个未知元素c、∠B、∠C：请你按照下列步骤填空：完成求解过程：

第一步：由条件a、b、∠A 第二步：由条件 ∠A、∠B． 第三步：由条件．

∠B： ∠C： c．

(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上：随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行：半小时后到达B处：此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)：求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3：sin65°=0．90 6：sin70°=0．940：sin7 5°=0．9 6 6)．

7－1－4、（佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题：但仅用尺规不可能“三

等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定

1的图象交于点P：x以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线：

1两直线相交于点M ：连接OM得到∠MOB：则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法：

3的锐角∠AOB置于直角坐标系中：边OB在x轴上、边OA与函数y请研究以下问题：

1b（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线：两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM

1上：并据此证明∠MOB=∠AOB．

3（1）设P(a,)、R(b,)：求直线OM对应的函数表达式（用含a,b的代数式表示）． （3）应用上述方法得到的结论：你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

1a

7－1－5、（福州）已知：如图8：AB是⊙O的直径：P是AB上的一点（与A、B不重合）：QP⊥AB：垂足为P：直线QA交⊙O于C点：过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则

△CDQ是等腰三角形。 对上述命题证明如下：

Q证明：连结OC ∵OA＝OC C2DQ∴∠A＝∠1

1∵CD切O于C点

BA∴∠OCD＝90°

BOPP∴∠1＋∠2＝90° AD∴∠A＋∠2＝90°

C图9在RtQPA中：QPA＝90° 图8∴∠A＋∠Q＝90° ∴∠2＝∠Q ∴DQ＝DC

即CDQ是等腰三角形。

问题：对上述命题：当点P在BA的延长线上时：其他条件不变：如图9所示：结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立：误给予证明：若不成立：请说明理由。

能力提高：

7－1、（内江）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时 曾经研究过这样一个问题：

1+2+3+…+100＝？经过研究：这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n1nn1：其中ｎ2是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…nn1＝？ 观察下面三个特殊的等式

121123012 3123234123

3134345234

313将这三个等式的两边相加：可以得到1×2+2×3+3×4＝34520 读完这段材料：请你思考后回答：

⑴1223100101

⑵123234nn1n2 ⑶123234nn1n2

（只需写出结果：不必写中间的过程） 7－2、（陕西）阅读：我们知道：在数轴上：x＝1表示一个点：而在平面直角坐标系中：x＝1表示一条直线：我们还知道：以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象：它也是一条直线：如图①.

观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1：3）就是方程组

x1x1的解：所以这个方程组的解为 2xy10y3在直角坐标系中：x≤1表示一个平面区域：即直线x＝1以及它左侧的部分：如图②：y≤2x＋1也表示一个平面区域：即直线y＝2x＋1以及它下方的部分：如图③。

y y y 3 P(1,3) x x x O l O l O l y=2x+1 x=1 x=1 y=2x+1 7-2题图① 7－2题图②

7－2题图③

回答下列问题：

（1） 在直角坐标系（图④）中：用作图象的方法求出方程组x2的解：

y2x2x≥－2（2） 用阴影表示y≤－2x＋2：所围成的区域。

y≥0

答案：

7－1－1．（1）_________：_________： （2）无数：图略：

7－1－2．(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合：三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上：则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

(2) 此时共有2个友好矩形：如图的BCAD、ABEF.

易知：矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍：∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.

(3) 此时共有3个友好矩形：如图的BCDE、CAFG及ABHK：其中的矩形ABHK的周长最小 .

证明如下： 易知：这三个矩形的面积相等：令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1：L2：L3：△ABC的边长BC=a：CA=b：AB=c：则

2S2S2SL1=+2a：L2=+2b：L3=+2c .

abc2S2SabS∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)：

abab而 ab>S：a>b：

∴ L1- L2>0：即L1> L2 . 同理可得：L2> L3 .

∴ L3最小：即矩形ABHK的周长最小.

ab, ∠A+∠B+∠C=180°：a、∠A、∠C或b、∠B、∠C： sinAsinBcabc 或 sinCsinAsinBsinC7－1－3．解：(1)

(2)依题意：可求得∠ABC=65°： ∠A=40°. BC=14．2． AB≈21．3．

答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)

7－1－4、解：（1）设直线OM的函数关系式为ykx,P(a,),R(b,)．

1a1b11． baab1∴直线OM的函数关系式为yx．

ab则M(b,),∴k1a1x：∴点Q在直线OM上． ab1∵四边形PQRM是矩形：∴SP=SQ=SR=SM=PR．

2（2）∵Q的坐标(a,)满足y∴∠SQR=∠SRQ． ∵PR=2OP：∴PS=OP=

1b1PR．∴∠POS=∠PSO． 2∵∠PSQ是△SQR的一个外角：

∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR． ∵QR∥OB：∴∠SOB=∠SQR． ∴∠POS=2∠SOB． ∴∠SOB=

1∠AOB． 3（3）以下方法只要回答一种即可．

方法一：利用钝角的一半是锐角：然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．

方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角：然后利用上述结论把锐角三等分后：再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．

方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分：再作它的余角．

7－1－5、答：结论“△CDQ是等腰三角形”还成立 证明：略

7－1、⑴343400(或100101102

131nn1n2 31⑶nn1n2n3 4⑵

7－2. 解：（1）如图所示：

在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2： 这两条直线的交点是P（－2：6）。 则y P x O l x2x2是方程组的解。

y6y2x2（3） 如阴影所示。

x=－2 y=－2x+2 第7－2图