2018年高考数学一轮总复习 专题2.6 对数及对数函数练习(含解析)文

真题回放

1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数f(x)在R上是增函数.若

1af(log2),bf(log24.1),cf(20.8)，则a,b,c的大小关系为

5（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab 【答案】C

【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，aflog25，再比较log25,log24.1,22.【2017高考全国卷文第9题】已知函数f(x)lnxln(2x)，则

0.8比较大小.

A． f(x)在（0，2）单调递增

B．f(x)在（0，2）单调递减

D．y=f(x)的图像关于点（1，0）对

C．y=f(x)的图像关于直线x=1对称

称 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知，f(2x)ln(2x)lnxf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误；又f'(x)112(1x)（0x2），在(0,1)上单调递增，在x2xx(2x)[1,2)上单调递减，A，B错误，故选C．

【考点】函数性质

【名师点睛】如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(bx)，那么函数

的图象有对称轴xab；如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有2ab,0)． 2f(ax)f(bx)，那么函数f(x)的图象有对称中心(23. 【2017高考全国卷文第8题】函数f(x)ln(x2x8) 的单调递增区间是 A.(,2) B. (,1) C. (1,) D. (4,) 【答案】D

4.【2015高考上海卷文第8题】 方程log(9x15)log(3x12)2的解为 .

22【答案】2

【解析】依题意log2(9令3x1x15)log2(43x18)，所以9x1543x18，

t(t0)，所以t24t30，解得t1或t3，

x1当t1时，31，所以x1，而91150，所以x1不合题意，舍去；

3，所以x2，921540，321210，所以x2满足条件，

当t3时，3x1所以x2是原方程的解. 【考点定位】对数方程.

【名师点睛】利用log242，logamloganlogamn(m0,n0)将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.

5.【2015高考湖南卷文第8题】设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是( ) A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】

【考点定位】利用导数研究函数的性质

【名师点睛】利用导数研究函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f'x；(2)确认

f'x在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f'x0时为增函数；f'x0时为减函数．研

究函数性质时，首先要明确函数定义域.

6.【2015高考山东卷文第7题】在区间0,2上随机地取一个数x,则事件

1”发生的概率为( ) “-1log（1x）212（A）

3211 （B） （C） （D） 4334【答案】A 【解析】

log11得，log12log（由-1log（1x）1x）222212121113,x2,0x，所以，22223032由几何概型概率的计算公式得，P，故选A.

204【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.

【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x范围. 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识. 7.【2015高考天津卷文第7题】已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,

记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c,的大小关系为（ ） (A) a【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.

【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数yaxmba0,a1的图像关于直线xm 对称,本题中求m的值,

logaN用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:a考点分析

考点 指数与对数 指数函数的图像与性质 对数函数的图像与性质 幂函数 融会贯通

题型一 对数式计算 典例

23Na0,a1,N0.

了解A 掌握B B B 灵活运用C B A 1(吉林省实验中学2016-2017学年高二下学期月考)化简

1log29log34_____________． 817【答案】 411【解析】log29log3428233lg32lg22117174．故本题应填． lg2lg344423【变式训练1】(湖南省醴陵二中、醴陵四中2016-2017学年高二下学期期中)求下列表达式的

值 (1)

1324lglg8lg245 2493 490.5272 -7.5()(0.5)lg25lg4log343(2)

0【答案】31

2 4【解析】根据实数指数幂的运算公式，即可求解上式的值.

考点：实数指数幂的运算.

【变式训练2】 (江西省2017届百所重点高中高三模拟试题文)设函数fx39，则

xxflog32______．

【答案】6 【解析】flog知识链接： 对数的运算：

①logaMN＝logaMlogaN ②loga2332log392log3246

MlogaMlogaN Nn③logaMnlogaM（M、N＞0, a＞0, a1）

推广：logamMnnlogaM m④换底公式：logaNlogbN（a，b＞0，a1，b1）

logba0.40.11典例2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知a2， b2c2log72，则a,b,c的大小关系为（ ）

A. cab B. cba C. bac D. bca 【答案】A

【解析】b20.420.11， 2log72log74log771，所以cab.

，

【变式训练1】(2015-2016学年贵州花溪清华中学)设alog23,blog46,clog,则下列关系中正确的是（ ）

A．abc B．acb C．cba D．cab 【答案】A 【解析】

试题分析：blog46log22611log26log26，cloglog29log239，2366216，39681，所以3963，故:abc,故选A.

考点：对数

【变式训练2】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知alog0.70.8,blog1.10.9,c1.1则a,b,c的大小关系是（ ）

A. abc B. acb C. bac D. cab 【答案】C

0.9，

知识链接：

利用对数函数比较大小问题的处理方法：

①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量． 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．

典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)log37log29log49alog41，则a________ 2【答案】

2 2

【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log34·log48·log8m=log416，则m= . 【答案】9

lg4lg8lgm【解析】由已知有lg3·lg4·lg8=2lg m=2lg 3m=9. 解题技巧与方法总结

当对数函数的底数与指数之间有倍数或者次方数的关系时，此类题目需要巧妙运用对数函数的换底公式，从而达到分子分母相消的目的，简化计算 题型二 对数函数的图像与性质 命题点1 对数函数的图像

典例1 (2015·梅州一中)若函数yloga3x2a0,a1的图象经过定点A，则点A的坐标是 . 【答案】(1，0)

【解析】当3x-2=1，即x=1时，无论a为何值，y=0，故函数的图象过定点(1，0).

知识链接：

对数函数

（1）对数函数定义：形如y＝logax（a＞0且a≠1，x＞0）的函数，叫做对数函数． （2）对数函数的图象与性质

a的范围 0＜a＜1 图象 性质 ①过点(1,0)； ②当0＜x＜1时, y＞0； 当x＞1时, y＜0； ③在(0,＋∞)上是减函数 ① 过点(1,0)； ② 0＜x＜1时, y＜0； 当x＞1时, y＞0； ③ 在(0,＋∞)上是增函数. a＞1 【变式训练】(河北省廊坊市2016-2017学年高一上学期期末考试)函

f(x)loga(2x3)4(a0且a1)的图象恒过定点（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

典例2 (2015-2016学年海南省海南中学高二下学期期末数学（文）)函数

f(x)loagx ） 1(0a的图象大致为（1)

【答案】A

【解析】由对数函数性质可知函数过定点1,1，当x0时为减函数，且函数满足

fxfx，函数为偶函数，因此A正确

考点：函数图像与性质 解题技巧与方法总结

利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象

【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数学（文）)函数fxx满足f24，那么函数gxlogax1的图象大致是（ ）

aA. B. C. D.

【答案】C

【解析】函数gxlogax1的定义域为{x|x1}，可知选项为C.

典例3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数学（理）)已知函数

ylog1x2axa在区间2,上是减函数，则实数a的取值范围是 ．

2【答案】a4 【解析】

解题技巧与方法总结

对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解. 【变式训练】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数

fxlog122． x2ax3（1）若fx定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若fx值域为R，求实数a的取值范围；

（3）是否存在aR，使fx在,2上单调递增，若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由．

【答案】（1）3a3；（2）a3或a3；（3）不存在这样的实数a．

考点：对数函数的图象与性质．

【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 知识链接： 对数函数图象特征

a0,a1时，yloga(x)与ylogax的图象关于y轴对称；

ylog1xlogaa1logax，ylog1x与ylogax的图象关于x轴对称； xa对数函数y＝logax（a＞0且a≠1，x＞0）都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴，当a1时，图象向下无限接近y轴）． 命题点2对数函数的性质

典例 若函数f(x)ln(ax4)在区间(2,4)上是减函数，则a的取值范围是________ 【答案】1a0

考点：对数函数的单调性

【变式训练1】设定义在区间(b,b)上的函数f(x)lg则a的取值范围是（ ）

b1ax是奇函数(a,bR,且a2)，12x2,2 C. 1,2 D. 0,2 A. 1,2 B. 2【答案】A

【解析】由题，定义在区间(b,b)上的函数f(x)lg1ax是奇函数，f(x)f(x) 12x1ax1axlg0 12x12x1ax1ax lg()0

12x12x lg 1ax14xa2 f(x)lgb22212x12x111，令0，可得x，0b 12x12x222 a的取值范围是1,2

【变式训练2】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数f(x)求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性

【答案】x|1x1且x0 奇函数 在(1,0),(0,1)是减函数 【解析】由x0且

11x，log2x1x1x0得 1x 定义域x|1x1且x0 f(-x)f(x)奇函数

f(x)12log2(1) x1x f(x)在(1,0),(0,1)是减函数 命题点3对数函数的图像与性质

(5a)x3a,x1典例1 (2016~2017高一数学人教A版)已知f(x)是,上的增函

logx,x1a数，则a的取值范围为_________ 【答案】,5

【解析】f(x)是R上的增函数，则当x1时，ylogax是增函数，a1

当x1时，函数y(5a)x3a是增函数，5a0,a5 由5a)13aloga1，得a考点：分段函数的单调性

【变式训练1】(2017届江西鹰潭一中高三上学期月考二数学理)已知

5

4

55，a5 44f(x)log0.5(x2mxm)．

（1）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若函数f(x)在区间(,13)上是增函数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）m0或m4；（2）223m2 【解析】

2m4m0m0或m4．

m13223m2． （2）由题意知2(13)2m(13)m0考点：函数的值域，复合函数的单调性．

【变式训练2】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文科)若函数f(x)logax(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）

A．221 B． C． 4241 2D．【答案】A

考点：对数函数的图象和性质及运用.

【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因0a1,故对数函数f(x)logax(0a1)是单调递减函数这一性质,分别求出函数f(x)logax(0a1)的最大值和最小值

fmax(x)f(a)1,fmin(x)f(2a)loga2a.再依据题设建立方程loga2a解方程求得a1,最后通过32. 41log2x1,x2典例2 已知函数f(x)若f(3－2a)＞fa，则实数a的取值范围是x11,x0.2________．

3【答案】－∞，－∪(1，＋∞)

2

【解析】画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f(3－2a)＞fa，

2得3－2a＜a，即2a＋a－3＞0，解得a或a1.

2232x3,x【变式训练】已知函数f(x)若f(2－x2)＞fx，则实数x的取值范围是

ln(x1),x0.________． 【答案】(－2,1)

【解析】画图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由f(2－x2)＞fx，得

2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得2＜x＜1.

解题技巧与方法总结

解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域) 题型三 对数函数的综合运用

典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)函数fx2log2x的零点x个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C

【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) f(x)是定义在R上的奇函数，且当

x(0,)时，f(x)2016xlog2016x，则函数f(x)的零点的个数是________

【答案】3

xx【解析】作出函数y12016,y2log2016x的图像，可知函数f(x)2016log2016x在

x(0,)内存在一个零点，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x(,0)上也有一个零点，又f(0)0，所以函数f(x)的零点的个数是3个

x典例2 (2016~2017高一数学人教A版)函数f(x)log2(32)的值域为（ ）

A．0, B．0, C．1, D．1, 【答案】C

【解析】Q322

x f(x)=log2(32)log221

x f(x)的值域为1,

考点：指数、对数函数值域、复合函数值域

【变式训练】函数f(x)aloga(x1)在[01]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 . 【答案】

x1 2

典例3设函数f(x)42xx11,g(x)lg(ax24x+1)，若对任意x1R，都存在x2R，

使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为（ ） 【答案】a4

x【解析】f(x)(2)221，令t2，则f(t)t2t1(t1)0，设g(x)x2x22值域为A，因为对任意x1R都存在x2R使f(x1)g(x2)，所以,0A，设

yax24x1的值域为B，则0,1B，显然当a0时，上式成立；当a0时，

V164a0解得0a4，当a0时，ymax综上a4

知识链接：

对数函数与指数函数的关系

4a11即ymax11恒成立，4aax对数函数y＝logax（a＞0且a≠1，x＞0）是指数函数ya (a0,且a1)的反

函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称． 知识交汇

1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理科)函数ylog0.5(x为（ ）

A．(,2] B．[2,) C．(,2] D．[2,) 【答案】A

11)(x1)的值域x1111x12224(当且仅当x11,即x2时取等x1x11号),故ylog0.5(x1)log0.54,即y2,故应选A.

x1【解析】因x考点：基本不等式和对数函数的性质. 【交汇技巧】本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 2.(2015-2016学年河北省冀州市中学高一下开学考试)函数f(x)lg(33域是R,则实数a的取值范围是________． 【答案】2, 【解析】

xxa)的值

考点：1、基本不等式；2、对数函数的性质． 【交汇技巧】

本题主要考查基本不等式与对数函数的性质问题，本题解题的关键“是函数的值域为R”这一条件的等价转换，求函数的值域问题转化为集合间的关系问题

3. (2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知a＞b，函数

（fx）（x）（agx）（log（）的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） x）baxb

A. B. C. D.

【答案】B

考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象． 【交汇技巧】

本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x轴交点的分布，从而得到a，b的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线

4.(河北省定州市

2016-2017

学年高一上学期期末)已知

fxlomxg2mm2xlomg，且3(1) 0（1）当m2时，解不等式fx0；

（2）fx0在2,4恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）{x|11x2}（2）0,34,. 842【解析】试题分析：（1）m2时，原不等式变为log2x2log2x30，解这个一元二次

不

等

式

可

求

【交汇技巧】

本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得

3log2x1，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的

解法，求得3logmx1，由于m的范围不确定，故要对m分成两类，结合单调性来讨论.

3x,(x0)25.已知函数f(x)，函数g(x)f(x)f(x)t，tR，则下列判断

log3(x),(x0)不正确的是( )

A．若t2，则g(x)有四个零点 B．若t2，则g(x)有三个零点 C．若2t【答案】A

【解析】令mf(x),m1时，mf(x)有两根，m1时，mf(x)有一根

11，则g(x)有两个零点 D．若t，则g(x)有一个零点 44

【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究f(x)m的根的个数 练习检测

1.(2017乌什县二中高一数学测试)解下列对数方程 （1）log2(x1)log2(2x1)

2（2）log2(x5x2)2

（3）log16xlog4xlog2x7 （4）log2[1log3(14log3x)]1 【答案】-2 -1或6 16 3 2.比较下列各题中两个值的大小：

（1）log69,log75； （2）log3,log20.6； （3）log20.7,log30.7；

【答案】（1）log69>1，log75<1，∴log69>log75；

（2）log3>0，log20.6<0，∴log3>log20.6； （3）log0.73=log20.7．

log0.73log0.722gla(xx1)oagl3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数ylogax，当o立时，a的取值范围是_________.

3成4【答案】0a1 【解析】Qxx123 4 Q函数ylogax，a1时，单调递增，0a1时，单调递减 当loga(xx1)loga 0a1

4.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式log1(x3x)1的解集是

2223成立时， 4___________________. 【答案】x317317,U, 22

5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)函数ylog1(2x23x1)的递减区2间为（ ）

A．（1，＋∞） B.(,34 C．（－∞，1） D.[,) 【答案】A 【解析】

试题分析：令2x3x12x1x1t，则函数ylog1t，（t＞0）．

223411，或x＞1，故函数y的定义域为{x|x，或x＞1}． 22函数ylog1(2x23x1)的递减区间，根据复合函数的单调性规律，

令t＞0，求得x2本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-∞，1）∪（1，+∞）上的增区间． 2利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞）， 考点：复合函数的单调性

fx）lnx2，若（fx﹣）＜42，则实数x的取值范围 ． 6. 已知函数（【答案】（﹣

，﹣2）∪（2，

）

x27.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,上为增函数，f(1)0，则不等式

f(log2x)0的解集为________

【答案】0,U2,

12

8.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理科)已知

x0,y0,lg2xlg8ylg2，则A．11的最小值是（ ） x3y4 B．3 C．2 D．4 3【答案】D

【解析】

试题分析：lg2xlg8ylg2lg2x23ylg2x3y1

11113yxx3y22214， x3yx3yx3y当且仅当3yx时等号成立，取得最小值4 x3y1，2≤x≤8. 28.已知函数y(log2x2)log4x(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围； (2)求该函数的值域．

【答案】解：(1) y(log2x2)log4x1 2

即该函数的值域为

.

1,18