24.3正多边形和圆
【知识与技能】
了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.
【过程与方法】
结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.
【情感态度】
学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.
【教学重点】
正多边形与圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.
一、情境导入，初步认识
观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.
（1）你能从图案中找出多边形吗？
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？ 【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创
设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.
二、思考探究，获取新知 1.正多边形和圆的关系
问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.
教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.
已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论. 答案：五边形ABCDE是正五边形.
证明：在⊙O中，∵ABBCCDDEEA，∴AB=BC=CD=DE=EA，
BCECDA3AB ，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE
是正五边形.
【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带领学生完成证明过程.
问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
答案：这个n边形一定是正n边形.
【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.
问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.
答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边
形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.
【教学说明】问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.
2.正多边形的有关概念
综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念. 正n边形：中心角为：
360°n；内角的度数为：180°（n-2）n 3.正多边形和圆有关的计算问题
例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题. 解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=360°/6=60°.
∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，
∴这个亭子地基的周长为:4×6=24（m）.
过O点作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2.
.
例2填空.
【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.
4.画正多边形
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式： （1）用量角器等分圆周.
方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.
【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差. （2）用尺规等分圆
正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.
正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.
方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.
【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.
三、运用新知，深化理解
1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.
2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____. 3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.
4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.
（1）求图1中的∠MON的度数；
（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；
（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案） 【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.
【答案】1.72°
4.解：（1）连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与（1）相同)
(3)∠MON=360°/n. 四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？
【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.
1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取. 2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力.
2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
24.3正多边形和圆
一、新课导入 1.导入课题： 情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？ 2.学习目标：
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形. 3.学习重、难点：
重点：正多边形的有关概念与计算. 难点：正多边形的有关计算. 二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容. (2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：完成自学参考提纲. (4)自学参考提纲：
①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形.
②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 是轴对称图形，不一定是中心对称图形.
③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.
中心：点O.半径：OC、OE、OF.
中心角：∠EOF.边心距：OM. ④正n边形的每个内角都为
180n2?n，每个外角都为
360360，中心角为. nn⑤有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一位).
解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC,∵ABCDEF是正六边形, ∴△OBC为正三角形,∴∠MOC=1∠BOC=30°，OB=BC=OC.
2∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMC中，∵∠MOC=30°，∴MC=1OC=2m.
2∴OM=OC2-MC2=23m. ∴SOBC11. BCOM4234（3m2）22OBC∴S正六边形6S24341.6m2.
即地基的周长为24m,面积约为41.6m2. 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：
①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. (2)生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：
(1)正多边形的相关概念. (2)正n多边形的对称性. (3)填表：
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第107页的内容. (2)自学时间：4分钟.
(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解. (4)自学参考提纲：
①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是 作相等的圆心角 ；第二种方法的依据是在圆上作相等的弧.
②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.
2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生：
①明了学情：明了学生是否明白画图的依据. ②差异指导：根据学情进行指导. (2)生助生：生生互动，交流、研讨. 4.强化：正多边形的画法. 三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？ 2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等. (2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并将结论由特殊推广到一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作正多边形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的
正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列说法中正确的是（ C ） A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
2.(10分)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A）
A.36°
B.18°
C.72°
D.54°
3.(10分) 如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使直角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（A）
A.4
B.5
C.6
D.7
4.(20分) 如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°.AB＝a,AC＝b.过B作BD⊥AC于点D, 则AD=DC=
1b. 2在Rt△ABD中，∠BAC=30°, ∴BD=
1AB=3mm. 2∴ADAB2BD2623233（mm）.
∴b=2AD=63mm.
即扳手张开的开口b至少要63mm.
5.(20分) 如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八
边形的边长和面积.
解：设正八边形的边长为xcm,
4x则2x2.即x2+8x-16=0. 2解得x1424，x2424 (舍去).
24424∴剪去的四个小三角形的面积为21448322cm2. 22∴正八边形的边长为424cm,面积为444832232232cm. 二、综合应用（20分）
6.(20分) 如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM. （1）求证：△BCF≌△CDM； （2）求∠BPM的度数.
（1）证明：∵ABCDE是正五边形， ∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM, ∴△BCF≌△CDM.
（2）解：由（1）知∠FBC=∠MCD，
∴∠BPM=∠FBC+∠BCM=∠MCD+∠BCM=∠BCF=3×180°=108°.三、拓展延伸（10
52分）
7.(10分) 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（B）
A.a4＞a2＞a1
B.a4＞a3＞a2
C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
